Animations pédagogiques AVDS 25 avril et 2 mai 2018 Enigme : 2-9-5-14-22-5-14-21-5 1 12 ’ 1-14-9-13-1-20-9-15-14 BIENVENUE, BONNE ANNEE 2018 ! L’enseignement du nombre à l’école maternelle est souvent perçu aujourd’hui comme évident et naturel. « Plan national maths » : lettre rentrée 17, pour répondre à une demande institutionnelle  Enjeu fort Nous avons fait le choix, (IA-DASEN, IEN(s), CPC…) de réinterroger cette évidence et de chercher à expliciter ce qui peut motiver et justifier cet enseignement à l’EM Apporter un éclairage nouveau/consolider/ réactiver vos connaissances sur la question des modalités de l’apprentissage du nombre à l’EM, sur la place de la manipulation et sur le sens des activités sur les nombres pour les jeunes enfants « Nous vous remercions de bien vouloir prendre place à une table, en veillant : d’être au plus une personne d’une même école par table »

Pôle pédagogique maternelle « Maths en Mat. » 2017-2018 CONSTRUIRE LE NOMBRE A L’ECOLE MATERNELLE L’enseignement du nombre à l’école maternelle est souvent perçu aujourd’hui comme évident et naturel. « Plan national maths » : lettre rentrée 17, pour répondre à une demande institutionnelle  Enjeu fort Nous avons fait le choix, (IA-DASEN, IEN(s), CPC…) de réinterroger cette évidence et de chercher à expliciter ce qui peut motiver et justifier cet enseignement à l’EM Apporter un éclairage nouveau/consolider/ réactiver vos connaissances sur la question des modalités de l’apprentissage du nombre à l’EM, sur la place de la manipulation et sur le sens des activités sur les nombres pour les jeunes enfants Catherine PASCUAL, IEN Mission maternelle ien-maternelles21@ac-dijon.fr

INTRODUCTION : POURQUOI CETTE ENIGME ? 2-9-5-14-22-5-14-21-5 B I E N V E N U E 1 12 ’ 1-14-9-13-1-20-9-15-14 A L ‘ A N I M A T I O N Procédé comme les enfants « mal-débutés », qui ont raté leur première rencontre avec les nombres Utilisation de la suite numérique comme une file numérotée = un nombre = un numéro Ne permet pas la compréhension de la construction du nombre, simple contexte de « comptage-numérotage »  CM1 : 8+5 : partir de 8 rajouter 5 sans penser le nombre ( 5 = 2+3 , 8 = 10-2, 8 + 2 + 3 ) UTILISATION DES NOMBRES, ICI DANS UN CONTEXTE DE SIMPLE COMPTAGE « COMPTAGE – NUMEROTAGE »  Ne permet pas la compréhension du nombre

INTRODUCTION : LE PLAN MATHEMATIQUE « Pourquoi Mathieu ne sait-il pas calculer ? Parce qu’à l’école, il apprend à compter comme Matthew » Rémi Brissiaud, « Apprendre à calculer à l’école. Les pièges à éviter en contexte francophone » Ed.Retz, 2013 Petit retour historique Difficultés liées à l’usage même de notre langue Le « basculement » de 1986 Des élèves « mal débutés » selon Henri Carnac Pourquoi un bref retour historique ? Pour mieux comprendre pourquoi on en est arrivé là… La raison de ce grand plan national « Maths » - Etude de la DEPP (Direction de l’Evaluation de la Prospective et de la Performance) dans laquelle Thierry Rocher a comparé les performances des élèves de CM2 scolarisés en 87, 99 et 2007. Montre que les performances des élèves se sont fortement dégradées entre 87 et 99  s’intéresser aux pratiques pédagogiques concernant les premiers apprentissages numériques à l’école après 86. M’appuie sur la réflexion de R.Brissiaud (« Apprendre à calculer à l’école, les pièges à éviter en contexte francophone », Ed.Retz 2013). C’est à partir de cette analyse de la DEPP que R.B a démontré que la pédagogie du nombre doit être repensée dès l’EM et le CP. 1970 : Réforme des maths moderne  pas eu les effets délétères que l’on croit (révolution sociale : samedi am pour les élèves, pas pour les Ens. qui devaient utiliser leur temps pour « se recycler en maths moderne » (à l’époque les stages de formation s’appelaient des stages de recyclage). Pour info : EM, l’ère « piagétienne » (70-86), suite aux travaux de Piaget, les pédagogues doutaient que les enfants puissent profiter d’un enseignement des nombres avant 6-7 ans, donc l’EM a mis l’accent sur des « activités pré-numériques » (ex. gros blocs en PVC de diff formes, tailles, couleurs…). Le comptage n’était en aucun cas préconisé et aucun Ens n’aurait imaginé faire une séance de comptage, faire compter ses Elèves le jour de la visite de l’IEN. D’ailleurs un article du « Monde de l’Education » en nov.82 « Pour des enfants de 5 ans, apprendre à compter jusqu’à 10 n’a guère d’utilité (sinon de faire plaisir aux parents) ». Ces Elèves là : calculaient bien arrivés en CM2… En revanche : la circulaire de 1986 concernant l’EM a eu un effet très négatif car les enfants se sont mis à apprendre en F comme aux US, un pays qui non seulement ne possède pas des petites classes équivalentes au notre, mais qui en plus, possède une langue, l’anglais, favorise mieux l’accès au nombre que la notre. C’est ainsi que depuis 86, Mathieu … « Progressivement, l’enfant découvre et construit le nombre. Il apprend et récite la comptine numérique »  « basculement de 86 » 83 : psychologue américaine, Rochel Gelman publie un article « Les bébés et le calcul »  Volte-face dans les convictions des profs de maths, si les bébés savent calculer alors il devient diff de justifier l’absence de tout apprentissage num à l’EM… A partir de ce moment là, que les mathématiciens de ERMEL se mettent à penser que le comptage devait être enseigné dès l’EM, en attirant l’attention des Ens sur le « principe de GELMAN » = « le principe de la correspondance terme à terme » (faire correspondre un mot avec un objet, en pointant l’objet, on dit « un » en montrant l’objet, « deux »…) Important de souligner que ce principe de Gelman = aussi celui utilisé par les parents, de sens commun Ce principe éloigne plus les enfants du calcul qu’il ne les en approche Pourquoi ? Parce que c’est enseigner le principe du « comptage-numérotage », l’enseignement « un mot-un élément » induit de l’incompréhension chez les enfants. Problème de langage ! Conduit à concevoir les éléments successivement pointés comme « le un, le deux, le trois.. » comme une succession d’unités et pas comme une pluralité d’éléments. Pour les jeunes enfants, les mots prononcés correspondent à des sortes de numéros renvoyant chacun à un élément et un seul et pas à une propriété de l’ensemble des objets. Attention : l’apprentissage de la comptine numérique n’est pas source de difficultés quand il reste purement verbal, c’est le comptage d’objets qui est susceptible de l’être ! L’apprentissage des comptines numériques, ne fait pas obstacle au progrès, c’est seulement lorsque l’adulte veut mettre les mots de cette comptine en correspondance un à un avec des objets qu’ils acquièrent la signification de numéros qui doit être évité. Autre remarque importante : cette confusion (signification des mots-nombres en tant que numéros ) s’installe d’autant plus facilement que les enfants vivent dans un univers de numéros en dehors de l’école (le numéro de leur immeuble, appartement, la chaîne de la télé, Ce que Henri Canac évoque dans un article , en disant que ces élèves qui arrivent au CM sont incapables de retrouver le résultat d’une addition élémentaire sans compter de un à un, c’est qu’ils ont été « mal débutés » A partir de 86 : apparition dans les classes d’un outil pédagogique dont l’utilisation est à manier avec beaucoup de précaution : une file constituée d’une suite de cases numérotées = « la file numérotée » (et pas numérique, car elle est loin de fonctionner dans les classes comme une suite numérique). Une file pour retrouver les écritures chiffrées (autre inconvénient majeur : l’avoir tout le temps sous le nez, les enfants voient les chiffres comme des symboles, ex 8 un petit rond sous un autre rond, ne voit pas l’enseignant l’écrire, ne mémorise pas la trajectoire du geste graphique  or, de nombreuses recherches récentes montrent que la mémorisation du bon geste graphique facilite l’apprentissage de la lecture-écriture des chiffres (Fischer, 2010) Pour retrouver le résultat d’une addition : ex. pour retrouver le résultat de 8+5, les enfants procèdent comme les élèves « mal débutés » de Carnac, ils avancent de 5 cases, 8,9,10,11,12 , ils ne voient pas 5 comme 5 doigts mais comme 5 sauts d’une case , alors que s’ils savaient que 5 = 2+3, 8+2 = 10 +3 = 13 Pourquoi cette baisse si spectaculaire ? Parce que les enfants les plus fragiles, se sortent difficilement des apprentissages mécaniques précoces. Ils utilisent les stratégies qu’ils connaissent, qui sont au final très coûteuses en effort, ce sont des enfants qui n’ont pas un rapport stratégique aux tâches ; quand ils disposent d’une façon de faire, ils l’utilisent systématiquement , ils n’arrivent pas à mémoriser les résultats d’additions élémentaires (Fayol, 2002) Les difficultés liées à l’usage même de notre langue, la langue française. Pourquoi les enfants chinois (Taïwan) mémorisent-ils les résultats d’additions élémentaires 1 an ½ en moyenne avant les enfants US ? (Etude de Geary, 1992) : due à la langue L’absence d’irrégularité dans la façon de nommer les nombres dans une langue s’accompagne systématiquement de bonnes performances des élèves en calcul (cas pays asiatiques, mais aussi en Finlande, en Hongrie) 11, 12, 13 (alors qu’en chinois, dix-un, dix-deux…  Favorise l’usage de stratégies de décompositions-recompositions, et donc de progrès en calcul et de mémorisation En français : les obstacles rencontrés : - La polysémie du mot « un » = 2 significations ; le « un » (le pronom indéfini) et le un (quantité, le nombre) , même mot alors qu’en anglais « a » cat et « one » cat  Pas de confusion possible, Par ailleurs l’existence du féminin pour le mot « un » créée une autre source de difficulté pour accéder à l’idée d’unité celle-ci s’exprime tantôt avec « un » et tantôt avec « une » alors qu’en anglais, toujours avec « one » DONC dénombrer, c’est tout à la fois construire mentalement des unités, les énumérer et utiliser un système symbolique pour exprimer la totalité La construction des unités est l’opération de base, celle sans laquelle rien n’est possible, quand une langue ne favorise pas la construction mentale de ce qui est « un », elle est un obstacle important au dénombrement Autre difficulté : le pluriel des noms qui ne s’entend pas (contrairement à l’anglais), one cat, three cats  les noms portant la marque orale du pluriel Quand le pluriel s’entend dans une langue, cela aide les enfants à comprendre que les mots-nombres désignent des pluralités, cela les aide à accéder à leur signification cardinale. NB. Rapport VB 2011 signalait que les « apprentissages culturels » (suite numérique) ont pris le pas sur les traitements des quantités et ka relation entre le nombre et la quantité Le rapport IGEN de V.BOUYSSE, F.CLAUSS de 2011 Un Une Pluriel

LA REPRESENTATION DES NOMBRES INTODUCTION : QUE VEUT DIRE REPRESENTER LES NOMBRES ? LA REPRESENTATION DES NOMBRES 1 SYMBOLIQUE : « collection-témoin » Procédé ancestral  Compréhensible par tous 2 SIGNE LINGUISTIQUE : mot-nombre oral, écriture alphabétique, écriture idéographique, écriture chiffrée  Aspect culturel, nécessite un apprentissage

I. DEFINITIONS : COMMENT DEFINIR LE NOMBRE ? = un concept, une notion fondamentale permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des mesures, mais aussi d’ordonner ou nommer des éléments par une numérotation DENOMBRER : « C’est trouver le nombre quelque soit la procédure choisie » F.Emprin : c’est « extraire de » C.Berdonneau : c’est répondre à la question « Combien ? » R.Brissiaud : « Toute procédure pour accéder au nombre » Pour exprimer des quantités et les mémoriser Pour repérer et exprimer des positions dans une liste Pour traiter des problèmes : comparer des quantités, ajouter, anticiper

I.DEFINITIONS : « COMPTER », « CALCULER » ? COMPTER : « Dans le langage courant, l’action de compter correspond à réciter la comptine numérique, c’est énoncé la suite des nombres…Cette activité de récitation n’est qu’une partie de ce que l’élève doit être capable de faire pour dénombrer les quantités en comptant (le « comptage-dénombrement ») » F.Emprin R.Brissiaud : « C’est mettre en correspondance terme à terme les objets d’une collection avec la suite des mots-nombres, tout en respectant l’ordre conventionnel » CALCULER : Le travail effectué directement sur les nombres et non sur les objets. Par opposition aux termes « dénombrer » ou « compter » R.Brissiaud : « C’est mettre en relation des quantités directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique d’une ou plusieurs collections dont le nombre seraient dénombrés »

II. PLACE DE LA MANIPULATION ? Du matériel simple des coins-jeux, au matériel de récupération : manipuler pour construire quelques concepts clés. Retour sur le matériel proposé en animation pédagogique 3. Biberons, boules cotillon/Bouchons, 1. Cubes Duplo / Animaux Petits paniers/assiettes Sac /boîtes 4. Véhicules/Personnages 2. Boîtes œufs, petits maïs, gros pompons / Perles, cure-pipes ; perles-lacets Parkings dessinés/feuilles Barquettes 5. Bouchons, assiettes/jetons, bâtons Boîtes/gobelets

LES PROCEDURES MISES EN JEU COMPARER TRIER/CLASSER ESTIMER DISTRIBUER DENOMBRER RANGER AJOUTER/ENLEVER COMPLETER ENUMERER ANTICIPER

A partir matériel carton 2 EXEMPLE D’UNE SITUATION MATHEMATIQUE EN MS : COMPARER : - Comparer des collections par estimation - Comparer des collections, des quantités - Comparer des collections en utilisant les nombres jusqu’à 5 A partir matériel carton 2 Comparer par estimation Exprimer la quantité « beaucoup/pas beaucoup » Comparer des quantités  « Trop/assez/pas assez »  « Le plus, le moins » Varier les objets, les quantités dans les barquettes… Introduire les mots-nombres après un certain temps Séquence 1 : comparer des collections par estimation Découverte : aller chercher des barquettes pour remplir ses boîtes à œufs (24, 12, 6), comparer ses collections « beaucoup/pas beaucoup », Structuration/systématisation : prendre des photos, les regarder, mettre ens celles qui en ont beaucoup/pas beaucoup…faire émerger de façon prégnante le »beaucoup/pas beaucoup »  jeu avec photos (rapidité) Evaluation/réinvestissement : varier le matériel : petit maïs, perles puis avec des jeux de la classe, sans boîtes  faire un petit album « Beaucoup/pas beaucoup » Puis 2ième séquence : barquettes 20, 10, 8  « trop, assez, pas assez » Découverte : Prendre la barquette qu’il faut pour remplir sa boîte, il faut que tous les trous soient occupés AUCUNE OBLIGATION D’UTILISER LE MOT-NOMBRE, champ numérique trop important pour MS faire émerger « assez, pas assez, trop » : est-ce qu’il y assez de pompons ? Pas assez ? … Structuration/systématisation : éloigner les baquettes, varier le nombre dans les barquettes… Contrainte : remplir exactement avec un seul objet dans chaque alvéole, multiplier les situations, le matériel Evaluation/réinvestissement : mise en œuvre correspondance terme à terme pour valider, emploi du voc

Introduire des collections en utilisant les nombres jusqu’à 5 Réaliser une collection (nombre 5) Les différentes représentations de cette collection 3ième séquence : Comparer les collections en utilisant les nombres jusqu’à 5 Barquettes avec perles et colliers de 2 à 5 (on ne peut pas ni en enlever ni en rajouter des colliers , choisir sa barquette en fonction de sa boîte Barquettes avec colliers intrus Travailler sur les différentes représentations du nombre cinq  Utiliser les mots-nombres

Ce que dit le programme B0.26 mars 2015 : III. LE PROGRAMME DE 2015 CONSTRUIRE LES PREMIERS OUTILS POUR STRUCTURER SA PENSEE : Découvrir les nombres et leurs utilisations LES 2 ASPECTS DU NOMBRE Usage ordinal : rang/position d’un élément dans un ensemble Nombre : un outil pour mémoriser des positions (Le 4ième cube, le cube n°4) Ce que dit le programme B0.26 mars 2015 : « L’école maternelle doit conduire progressivement chacun à comprendre que les nombres permettent à la fois d’exprimer des quantités (usage cardinal) et d’exprimer un rang ou un positionnement dans une liste (usage ordinal). Cet apprentissage demande du temps et la confrontation à de nombreuses situations impliquant des activités pré-numériques puis numériques. » Avec les élèves : il est d’ailleurs préférable de parler des positions et des rangs en utilisant les mots (premier, deuxième…) ceux que la grammaire qualifie d’ordinaux Usage cardinal :  Nombre d’éléments d’un ensemble (il y a 4 cubes dans cette boîte), pour exprimer une quantité « L’usage cardinal des nombres est le plus important car c’est celui qui permet de comprendre comment les quantités sont reliées entre elles, cad de construire le nombre… « 

DES OBJECTIFS INCONTOURNABLES Construire le nombre pour exprimer des quantités Eléments de progressivité : « la construction du nombre s’appuie sur la notion de quantités, sa condition orale et écrite, l’acquisition de la suite orale des nombres et l’usage du dénombrement. Chez les jeunes enfants, ces apprentissages se développent en parallèle avant de pouvoir se coordonner : l’enfant peut, par exemple, savoir réciter assez loin la comptine numérique sans savoir l’utiliser pour dénombrer une collection. Il convient de faire construire le nombre pour exprimer les quantités, de stabiliser la connaissance des petits nombres et d’utiliser le nombre comme mémoire de la position . » Stabiliser la connaissance des petits nombres Utiliser le nombre pour désigner un rang, une position Construire des premiers savoirs et savoir-faire avec rigueur 1. La stabilisation de la connaissance de la suite orale La connaissance de la correspondance suite-orale/suite écrite (par le biais de la file numérotée) 2. Construire le nombre pour exprimer des quantités 3. Maitriser la décomposition des nombres  Apprendre différentes méthodes pour dénombrer 3. Comprendre l’intérêt des nombres - La compréhension du fait que les nombres sont des outils pour mémoriser des quantités (aspect cardinal) La compréhension du fait que les nombres sont des outils pour mémoriser des positions dans une liste rangée (aspect ordinal) Selon Robert CHARNAY - Acquérir la suite orales des mots-nombres - Ecrire les nombres - Dénombrer Proposer aux enfants des situations pour construire le nombre et en créer le besoin En donnant des outils pour utiliser les nombres

4 CONCEPTS – CLES POUR L’APPRENTISSAGE DU NOMBRE Selon R.Brissiaud LES DECOMPOSITIONS - RECOMPOSITIONS L’ITERATION DE L’UNITE STABILISER LA CONNAISSANCE DES PETITS NOMBRES 1er concept-clé : les décompositions : 6 fois dans le programme 2015 « comprendre le nombre 8 » : c’est comprendre que pour construire une collection de 8 unités, on peut ajouter 1 à une collection de 7, on peut ajouter 3 à une collection de 5, on peut définir deux collections de 4, on peut enlever 2 unités à 10… Savoir qu’il est composé de nombre plus petits que lui et savoir l’utiliser pour en composer de plus grands  usage pertinent de stratégies de décomp/compo Savoir que ce concept est constamment présent quand on cherche à définir les 2 autres concepts : l’itération de l’unité et le comptage-dénombrement L’itération de l’unité : se construit progressivement et pour chaque nombre L’enfant apprend que « Deux cubes, c’est un cube et encore un cube », « Trois, c’est deux et encore un » … comprendre ce qu’est un nombre : enfant va comprendre le nombre 5 quand il aura compris qu’à une collection de 4 objets quand on lui ajoute un = alors on obtient une collection de 5 unités Comprendre qu’en ajoutant une nouvelle unité à une collection de 5, le nombre change et donc le nom de ce nouveau nombre change, on l’appelle 6 et ce nouveau mot est le successeur de 5 dans la suite des noms des nombres Stabiliser la connaissance des petits nombres : les collections –témoins organisées  Constellations dés, doigts de la main, « les nombres figuraux » pour passer de la notion du « nombre de… » au nombre : importance de l’usage des doigts mais en variant les façons de montrer les doigts(ou en utilisant un gant uni) Le comptage-dénombrement : théâtraliser l’itération de l’unité  déplacer les objets si pas possible, cacher la totalité pour faire comprendre la pluralité des unités LE COMPTAGE-DENOMBREMENT

LE COMPTAGE 2 FAÇONS DE PARLER LE NOMBRE aux enfants de l’école maternelle : LE COMPTAGE-NUMEROTAGE et LE COMPTAGE-DENOMBREMENT selon R.BRISSIAUD LE COMPTAGE-NUMEROTAGE  Chacun des mots-nombres prononcés, y compris le dernier, est un numéro qui réfère uniquement à l’objet pointé Répondre à la question : Combien de ? Difficulté de l’enfant de PS de comprendre le comptage  son comptage ne constitue pas un dénombrement mais est de l’ordre du pointage L’enfant de PS met bien en correspondance terme à terme les mots-nombres et les objets de la collection, mais il n’isole pas le dernier mot nombre prononcé pour répondre à la question (combien objets ? 1,2,3,4 …) Son comptage ne constitue pas un dénombrement mais est plutôt de l’ordre du pointage Risque de construire pour chacun de ces mots une signification proche de celle des numéros : va penser que compter c’est attribuer une sorte de numéro à chacun des objets pointés et le dernier mot prononcé en pointant un seul objet n’acquiert pas sa signification la plus importante = celle du nom du nombre qui exprime la totalité des objets (ppe du comptage avec la file numérotée , ppe de GELMAN) IMPORTANCE DES DIALOGUES FONDAMENTAUX Difficulté liée au code verbal (M.Fayol, 2012)

LE COMPTAGE-DENOMBREMENT Attendus de fin de cycle 1: « Un, un, un et encore un » : Une autre façon de parler le nombre en favorisant l’accès au sens LE COMPTAGE-DENOMBREMENT  Permet la représentation de la quantité par le dernier nombre « Parler les nombres avec les décompositions permet d’éviter que les jeunes enfants aient, dans un même contexte, à coordonner les deux significations des mots-nombres : numéros et noms de nombres » Attendus de fin de cycle 1: « Parler des nombres à l’aide de leur décomposition » R.BRISSIAUD, 2013

Eléments de progressivité BO 26 mars 2015 : DENOMBRER Eléments de progressivité BO 26 mars 2015 : Dénombrer : « Les activités de dénombrement doivent éviter le comptage-numérotage et faire apparaître, lors de l’énumération de la collection, que chacun des noms des nombres désigne la quantité qui vient d’être formée(…). Ultérieurement, au delà de cinq, la même attention doit être portée à l’élaboration progressive des quantités et de leurs relations aux nombres sous les différents codes. Les enfants doivent comprendre que toute quantité s’obtient en ajoutant un à la quantité précédente et que sa dénomination s’obtient en avançant de un dans la suite des noms des nombres ou de leur écriture avec des chiffres. … » Différentes procédures pour dénombrer : L’estimation La correspondance terme à terme La construction de collection-témoin Le comptage La décomposition-recomposition  Procédures de quantification, de comparaison, de réalisation de collections Constituer des collections Enumérer des collections Désigner des collections  Travailler sur l’énumération et la désignation avant un travail sur le nombre prépare au dénombrement Il existe deux types de procédures : Les procédures non numériques Les procédures numériques

LES PROCEDURES A CONSTRUIRE : LES PROCEDURES NON NUMERIQUES L’estimation La procédure perceptive Permet de comparer des collections selon leur taille, lorsqu’une des collections comprend beaucoup plus d’éléments que l’autre Eléments de langage : « Beaucoup/pas beaucoup », , « plus que/moins que », « Trop/pas assez »… La correspondance terme à terme La procédure perceptive : Une telle procédure ne permet pas de déterminer la taille d’une collection La correspondance terme à terme :  Pas besoin du recours au comptage… Permet de comparer deux collections du point de vue leur taille, sans avoir à la déterminer Le recours à la procédure de comptage n’est pas nécessaire La correspondance groupe à groupe

Un point important du programme 2015 : LES PROCEDURES NUMERIQUES Le subitizing L’enfant identifie la quantité sans avoir à la compter, il associe cette quantité à un mot-nombre. Cette perception reste limitée à de très petites quantités (jusqu’à 3 ou 4) Un point important du programme 2015 : Importance de « stabiliser la connaissance des petits nombres : Au cycle 1, la construction des quantités jusqu’à dix est essentielle. Cela n’exclut pas le travail de comparaison sur de grandes collections. La stabilisation de la notion de quantité, par exemple 3, est la capacité à donner, montrer, évaluer ou prendre un, deux ou trois et à composer et décomposer deux et trois… »  C’est une capacité d’énumération immédiate. C’est associer une quantité à un mot-nombre (ou à une collection-témoin) sans utiliser explicitement le comptage NB. Le subitizing permet de donner une réponse sans aucune procédure de comptage, mais par la perception globale de la quantité Ce n’est pas un comptage-dénombrement intériorisé, c’est une véritable reconnaissance quantitative. Elle doit pouvoir se pratiquer sur des collections, quelles que soient leurs dispositions spatiales  Pas seulement la reconnaissance d’une constellation « Aperception globale  ou subitisation » Fayol, Emprin, Berdonneau Véritable reconnaissance quantitative, quelque soit la disposition spatiale de la collection

La procédure de comptage LES PROCEDURES NUMERIQUES La procédure de comptage À partir MS… Mettre en correspondance terme à terme les éléments d’une collection avec les mots de la comptine et les associer à chaque mot énoncé la quantité d’éléments déjà comptés. Nécessite la coordination de deux tâches : La connaissance de la comptine numérique Le pointage, par le doigt ou le regard, de chaque élément pris tour à tour jusqu’à ce que tous aient été considérés exactement une fois (énumération) Brissiaud : Amener les enfants à comprendre que les mots-nombres désignent des quantités successives formées par ajout d’une unité IGEN en 62, Jeanne BANDET : préconisait cet enseignement et conseillait d’utiliser un cache et découvrir progressivement les unités. l’emploi du cache permet d’itérer les unités et de mettre en correspondance les mots-nombres avec la pluralité de points que l’enfant voit Privilégier le déplacement des objets ou commencer par masquer la totalité avant de les découvrir un à un pour faire comprendre l’ajout successif d’une unité

Les décompositions-recompositions Construire le repère du 5 LES PROCEDURES NUMERIQUES Les 10 premiers nombres: Les décompositions-recompositions construire le concept de nombre, c’est prendre en compte les relations entre deux nombres pour en construire un nouveau  C’est le passage de la logique de comptage à la logique de calcul Décomposer la collection en sous-collections : C’est faire remarquer que : 6, c’est 5 et encore 1. 6, c’est 3 et encore 3 … Construire le repère du 5 Dénombrer : procédure permettant de déterminer le nombre d’éléments d’une collection Compter : réciter la suite numérique à partir de 1 (Brissiaud) Pour R.Brissiaud : compter, ce n’est pas dénombrer Construire le repère du 5 Décomposer la collection en sous-collections c’est prendre en compte les relations entre deux nombres pour en construire un nouveau C’est la passage du comptage à la logique de calcul Les trois années de l’école maternelle sont nécessaires et parfois non suffisantes pour stabiliser ces connaissances en veillant à ce que les nombres travaillés soient composés et décomposés. La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre.

LES PROCEDURES NUMERIQUES Les collections -témoins Permettent de communiquer des quantités, d’une manière analogique, sans recours à une communication verbale (gestes, signes graphiques…)  Pour bien dénombrer, il convient d’apprendre à se représenter les quantités par la construction de collections-témoins S’appuyer sur la représentations des petits nombres à l’aide de collections-témoins : aide pour la construction du nombre avec des jeunes enfants Les collections – témoins : un procédé ancestral ! Des points d’un dé, des collections de points, des traits, les doigts, des bruits sonores Favoriser des collections témoins de doigts variés Utiliser les deux mains Permet de créer des images mentales d’unités, de les énumérer et de les totaliser ( = les trois conditions pour dénombrer)  Favoriser le dénombrement par des collections-témoins plutôt que par le comptage Pourquoi dénombrer en utilisant des collections-témoins ? Permet de créer mentalement des unités De les énumérer De les totaliser Attention à l’utilisation des doigts : varier les représentations

CONSTRUIRE LA FILE NUMERIQUE LA FILE NUMERIQUE OU FILE NUMEROTEE ? CONSTRUIRE LA FILE NUMERIQUE

LIENS AVEC LE PROGRAMME Construction des quantités→10 et la stabilisation : 3 en PS, 5 en MS, 10 en GS Stabiliser la connaissance des petits nombres Comparaison, correspondance terme à terme Décomposition et recomposition Reconnaissance et observation des constellations Chaque nom de nombres désigne la quantité qui vient d’être formée. Dénombrer Toute quantité s’obtient en ajoutant ou en enlevant un à la quantité précédente : itération. Varier la nature des collections et l’organisation spatiale

Désigner un rang une position Conserver la mémoire du rang d’un élément d’une collection organisée Désigner un rang une position Garder en mémoire le rang et la position des objets (troisième, cinquième), donner un ordre Une ressource pour dénombrer, segmenter les mots-nombres La suite orale des nombres En PS jusqu’à 5 ou 6 et jusqu’à 30 en fin de grande section. Repérer le suivant et le précédent →lien entre l’augmentation ou la diminution Introduction progressive de l’écriture des nombres en chiffres

LES ATTENDUS DE FIN DE CYCLE Évaluer et comparer avec des procédures numériques ou non Réaliser une collection, comparer deux quantités Utiliser les nombres (à quoi ça sert ?) Utiliser le nombre pour exprimer une position Mobiliser des symboles analogiques pour communiquer (oral ou écrit) Le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des objets. Tout nombre s’obtient en ajoutant un au nombre précédent, soit une unité à la quantité précédente. Étudier les nombres comprendre le concept, donner du sens Quantifier des collections jusqu’à dix au moins, composer, décomposer / ajouter, enlever Dire la suite des nombres jusqu’à 30 Lire les nombres écrits en chiffres jusqu’à 10.

V. COMMENT ORGANISER L ’APPRENTISSAGE DU NOMBRE ? Les irrégularités de la chaine numérique La non maitrise des nombres de 1 à 10 Prendre en compte les difficultés évoquées La précocité du comptage rend difficile la notion de quantité car le pointage induit que le mot-nombre désigne l’objet et non la quantité → comptage-numérotage L’absence de synchronisation entre connaissance numérique et organisation de la collection Absence de sens, compter sans dénombrer

QUELLE DEMARCHE ? SE QUESTIONNER . Se situer sur le type de séance : Apprentissage, consolidation (autonomie, différenciation), évaluation → Problématique ou seulement application ? . Si c’est un apprentissage : quelle anticipation, prise en compte de la réussite ou non ? La connaissance est-elle nécessaire à la résolution ? En petits groupes, en individuel avec l’enseignant ? La validation est-elle liée à un problème à résoudre ? Quelle situation de référence ? . Quelle consigne de travail : précise ? compréhensible ? Appropriation du support, du matériel, de la consigne, explicitation des connaissances 4. Quelle place donnée à la manipulation ? Se substitue-t-elle au raisonnement ? L’organisation permet-elle une confrontation au problème, faire des essais ? Des échanges ? 5. Quelle trace écrite ? Quel rôle dans la mémoire ? Quelle évaluation ?  L’apprentissage se fait dans la durée : besoin de stabilisation, rester suffisamment longtemps sur une même situation puis varier les modalités, complexifier

CONSTRUIRE LA QUANTITE Situation fondamentale : aller chercher en 1 fois 1 collection équipotente à une référence non visible sans que la consigne indique l’utilisation du nombre Construire la mémoire de la collection = la collection témoin (rôle des constellations mais pas que…) → La collection témoin permet de désigner des premières quantités de manière analogique préfigurant la la quantité symbolique → le total Construire le comptage, l’itération : attribuer un nombre à l’ensemble des objets énumérés et non plus au dernier mot-nombre dit : conscience que 3 c’est 2 et encore 1… → La correspondance terme à terme : alvéoles d’oeufs, coccinelles → La relation entre les nombres = réunion de 2 sous-collections, de 3-4 éléments et 1-2 éléments « 4, c’est 3 et encore 1; 5, c’est 4 et encore 1 » … : boite avec jetons → Donner du sens au comptage : avec la comptine, comparaison = plus je compte plus la taille est grande, construction de collections = « juste ce qu’il faut », les commandes… Décomposer : connaître les différentes écritures du nombre (jeu des 5 familles) Comparer : comparer deux collections, proches, éloignées à n objets et n+1 ordonner : est-ce qu’il y en a plus ? Moins ? Sans utiliser le nombre anticiper le résultat Utiliser la construction perceptive au dénombrement, puis l’itération.

CONSTRUIRE LA QUANTITE : progressivité PS : Privilégier la compréhension des 3 premiers nombres Notion de beaucoup/peu Construire des collections avec des objets : quantité à 3 puis introduire 1, 2, 3 Repérer la place vide = boites à œufs, coquetiers Décomposition : collection, constellation, chiffre → « Donne-moi 2 crayons, 1 et encore 1 comme cela » en montrant la constellation des doigts PS : construction perceptive, itération, synchronisation Construire la suite orale jusqu’à 5-6 Jouer sur des collections d’objets proches, éloignés → «Juste ce qu’il faut » : bus / nourrir les animaux Comparer : plus/moins/pareil entre 2 collections ordonnées ou non « Est-ce qu’il y a plus / moins ? » → poules / poussins, jeu domino

CONSTRUIRE LA QUANTITE : progressivité MS : Privilégier la compréhension des 5 premiers nombres Diminution, augmentation de collection, juste ce qu’il faut, trop, pas assez → comparaison → chenille, bus Correspondance terme à terme, collections équipotentes → coccinelle Suite orale à 15-20 MS Reprise de PS + Introduire la file numérique simple Dénombrer, itération, décomposition → 5-6

CONSTRUIRE LA QUANTITE GS : Favoriser l’anticipation Comparer : ranger ordre croissant/décroissant, intercaler (en + ou en -), encadrer (1 de + ou 1 de moins) → Boites de tri tirelire, jeu de bataille Réunir 2 sous-collections → Jeu du saladier Utilisation de l’écrit, écriture chiffrée, Verbalisation de la procédure GS Consolider les acquis de MS + Suite numérique jusqu’à 30 Compléter pour qu’il y ait la même quantité qu’une collection donnée, créer une collection, trop/pas assez/juste ce qu’il faut → jusqu’à 10 → bus, voitures Construire, résoudre des problèmes de diminution, augmentation, partage → Combien de pattes, de roues… ?

LA MÉMOIRE DE POSITION, DE RANG Situation fondamentale : Une collection est rangée dans une file (= série de référence). Replacer un objet choisi dans une file identique mais vide, à la même place que dans la référence (qui n’est pas visible) La file est la mémoire de rang, de position Construction et utilisation de la comptine numérique comme outil Utiliser les termes de premier, deuxième…. dès la TPS/PS  Mise en jeu de deux types de tâches : 1. Repérer à l’aide d’un nombre le rang d’un objet dans une collection ordonnée 2. placer un objet à un rang donné dans une file = choisir la même origine que dans la file référence

LA MÉMOIRE DE POSITION, DE RANG Passer d’une file à taille réelle à une file réduite GS : amener les enfants à prendre conscience que le dénombrement sera le plus efficace File d’objets (sur un fil, des objets sont fixés) De la TPS/PS à la GS GS : suite muette GS : suite vierge Train des lapins : un lapin dans un train de référence (jusqu’à 25 wagons) → après observation, enfant doit aller placer le lapin au bon endroit dans son train personnel

VI . QU’EST-CE QU’UNE SITUATION MATHEMATIQUE ?  Quand elle engage l’élève dans une résolution de problème où il va devoir agir, argumenter, justifier ses choix, les modifier, prendre en compte les effets de ses actions  Proposer des tâches qui mettent en jeu des procédures mentales, qui mettent à distance les procédures sensori-motrices, où l’élève ne peut agir directement sur les objets Cas simple : Un élève lance 2 dés et doit déterminer combien cela fait  simple, fait plusieurs fois SI : au lieu de lancer les 2 dés, il ne lance qu’un dé mais doit le faire 2 fois  alors tâche nouvelle : provoque une authentique situation maths dans la mesure la réponse n’est pas directement accessible  IL FAUT INVENTER UN AUTRE PROCEDE  représenter les points avec ses doigts, les tracer sur une feuille, …  compléxifier : lancer le dé dans une boite , la M. annonce ce qui figure sur chaque dé sans que l’E. le voit  autre situation math  l’E. va devoir construire, anticiper une solution (qui pourra être validée ensuite en vérifiant dés dans boîte)  C’est parce que l’on a privé d’agir directement sur les objets  réfexion, une procédure mentale Un exemple :

MANIPULER ET ANTICIPER Indispensable : appropriation des problèmes, validation d’une solution, avant l’abstraction Participe à l’anticipation : déclencheur de réflexion, construit des images mentales Amener l’enfant à se libérer des actions matérielles Mais pour être efficace, cette manipulation doit toujours être contrainte et à moment empêchée ANTICIPER Pour trouver un résultat dans une résolution de problème → le retour sur la situation de référence, avec la comparaison permet la validation La non indication du nombre oblige à développer l’autonomie → en GS : le dortoir (combien d’enfant dorment encore/ sont réveillés), la boite opaque… De la manipulation en TPS/MS à l’abstraction en GS

L’EVALUATION POSITIVE VII. DES POINTS D’APPUI LES VARIABLES DIDACTIQUES LES VARIABLES PEDAGOGIQUES - Différentes situations mais le même objet d’étude, stabilisation des connaissances (au niveau de la construction d’une collection par ex.) : faire, refaire, faire autrement, complexifier - - Travailler en motricité, passer par le corps, le mouvement - Le rôle des rituels, La construction de la file numérique - L’apprentissage des comptines numériques - Le cahier des nombres - Travailler la compréhension des nombres par la décomposition-recomposition-composition Variables didactiques ; les consignes, la taille des collections, les dispositions des collections, le nombre de déplacements pour aller chercher Variables pédagogiques : la nature du matériel, les supports choisis, la mise en scène LE LANGAGE Le langage oral : accompagne la construction du concept, met de la distance avec l’action de l’élève, permet d’interagir Le langage écrit : un écrit mémoire  dessin, écriture chiffrée (boîtes au trésor…) L’EVALUATION POSITIVE

QUELQUES POINTS DE VIGILANCE Eviter d’enseigner le comptage-numérotage trop précocement, être prudent en PS, attention au pointage. Importance des « dialogues fondamentaux ». Eviter les mises en scène excessives qui cachent la tâche Eviter de parler de mot-nombre en tant que numéro En TPS/PS- début MS : approcher le concept de nombre comme mesure de quantité sans comptage

 C’est aussi rendre les enfants capables de résoudre des problèmes CONCLUSION Enseigner le nombre à l’EM, ce n’est pas seulement transmettre des connaissances sur les nombres  C’est aussi rendre les enfants capables de résoudre des problèmes Repenser la place de la manipulation  Faire acquérir aux élèves une attitude : discerner, de façon autonome les situations nécessitant l’utilisation des nombres RAPPEL : Enseigner le nombre aux enfants à l’EM, ce n’est pas seulement leur transmettre des connaissances sur les nombres, c’est aussi les rendre capables de résoudre les problèmes qui ont conduit à cette construction de l’esprit humain chaque fois qu’ils seront confrontés à l’école, mais surtout hors de l’école. C’est la résolution de problèmes qui va donc être au centre des apprentissages sur le nombre à l’EM. Les enfants devront y acquérir des techniques de résolution mais aussi une attitude : discerner de façon autonome les situations nécessitant l’utilisation des nombres. Être compétent dans le domaine des nombres, ce n’est pas seulement réaliser des performances sous la houlette d’un adulte enseignant, c’est à terme être capable de se passer de l’enseignant pour utiliser le nombre à bon escient. Rappel :dans ce processus, la manipulation n’est pas une recette magique qui résoudrait toutes les difficultés des enfants dans cet apprentissage Elle est indispensable pour permettre aux élèves de s’approprier, de représenter les problèmes Elle joue un rôle fondamental dans la validation par les élèves de solutions proposées MAIS LE BUT reste de dépasser cette manipulation pour accéder au nombre, qui est et restera un concept, une abstraction POUR QU’elle soit un LEVIER dans l’apprentissage ; la manipulation devra toujours être contrainte, et à un moment donné, empêchée ; sans cela elle deviendra un obstacle aux apprentissages, en enfermant l’élève dans l’action alors que l’objectif est de la conduire à penser cette action ! La question du sens : l’apprentissage du nombre a du sens pour l’élève lorsqu’il comprend que l’utilisation du nombre est une clé qui lui donne de plus en plus de pouvoir sur le monde ; l’enseignement du nombre à l’école maternelle a du sens pour l’enseignant lorsque celui-ci le place dans un dynamique intellectuelle de l’humanité, lorsque celui-ci mesure tous les enjeux Amener les enfants à penser cette action

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES / RESSOURCES Ressources Eduscol – « Jouer et apprendre » : les jeux de construction, les jeux à règles : cliquer ici ARPEME (Association pour l’élaboration et la diffusion de Ressources pédagogiques pour l’Enseignement des Mathématiques à l’Ecole – IFE) - « Mallette maternelle : la construction du nombre » http://www.arpeme.fr/m2ep/ Rémi BRISSIAUD – « Premier pas vers les maths : les chemins de la réussite à l’école maternelle » - Retz 2007, réactualisé Janvier 2016 – « Apprendre à calculer à l’école : les pièges à éviter en contexte francophone » - Retz 2013 – Conférence CANOPE-Dijon Novembre 2017 « Le nombre dans le nouveau programme maternelle », Café pédagogique, Rémi Brissiaud (octobre 2015) : cliquer ici Joël BRIANT – Conférence « Construire le nombre à l’école maternelle, quelques principes élémentaires » Congrès AGEEM Albi Juillet 2017 Michel FAYOL – « L’acquisition du nombre », 2012 – « Que sais-je ? »n°3941-PUF Ressources DSDEN 21 : Espace Mathématiques : cliquer ici Le P’tit TIC – Maths : cliquer ici

Pôle pédagogique maternelle « Maths en Mat » Référent du groupe « Maths en mat » : Philippe LOISON Membres du groupe : Véronique BARBIER Florence FREROT Michèle JOLY Isabelle LAJUGEE Sylvie MAUPASSANT Sous la responsabilité de l’IEN Mission maternelle qui remercie l’ensemble du groupe pour leur active collaboration.