Calcul mental et en ligne C’est un prédicteur de réussite Calculer, c’est choisir donc réfléchir En fonction de ce que l’on recherche Résultat exact vs estimé ? En fonction de ce que l’on sait, de ce que l’on sait faire. En fonction du temps et du matériel dont on dispose. Estimé : soldes… Matériel : calculatrice…

Choisir, rechercher, expliciter, mémoriser, automatiser Mots clés Choisir, rechercher, expliciter, mémoriser, automatiser Efficacité, rendement, besoin, entrainement Évaluation positive, différenciation, sentiment de compétence Difficulté scolaire Efficacité : vite et sûr Sentiment de compétence : On fait de préférence ce qui nous gratifie

3 piliers Mémorisation des faits numériques Tables d’addition, de multiplication, décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine et à la centaine supérieure, multiplication par 10 et par 100, doubles et moitiés d’usage courant. Automatisation des procédures Passage à la dizaine supérieure, distributivité… « Voir les nombres » Habileté dans la décomposition pour choisir la procédure adaptée, estimation Automatisation des procédures : l’utilisation des presque doubles, +9, +11 entre dans ce cadre. Programmes : calcul sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20 50, 100 en lien avec la monnaie, 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées

Accepter les différences Ce qui est un fait numérique pour l’un nécessite l’utilisation d’une stratégie pour l’autre 8+5 = 8+2+3 = 5+5+3 = 8+ surcomptage = 13 (je sais) Ce qui relève du calcul mental pour l’un relève du calcul posé pour l’autre: 38+27 ? Conséquences Ce qui prend 5s pour l’un prend 30s pour l’autre. Le saut qualitatif et/ou quantitatif diffère de l’un à l’autre. Anecdote : hali galli (complément à 5) en mars SM pour une grosse moitié de classe. Mais aussi tirer vers le haut, avancer…

Proposition 1 gagner en efficacité Enseigner des faits numériques pour La table d’addition

Enseigner les faits numériques : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + 9 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 6 + 1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 Rappel (repères pour la progressivité des apprentissages) : Progressivement, au CP, on collectionnera le répertoire additif relatif aux premiers nombres (et particulièrement les compositions/décompositions de 10 et les doubles) CP : -Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”). - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Le constat de l’ambition de ces premiers repères justifie de penser les étapes de la progressivité : comment passer du dénombrement, du surcomptage (efficaces dans le champ des nombres jusque 20) à la mémorisation ? Comment en montrer l’intérêt aux élèves ? CE1 : - Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. CE2 : Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. CM2 - … et décimaux. Au CM la formule générique « consolider… » s’applique à la fois aux faits numériques et aux procédures. Elle reste bien générale ! Michel FAYOL : « L’acquisition du nombre » - Que sais-je ? « La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation » : Ex 4+3 ? Du surcomptage « 4…5, 6,7 » à la restitution « 4 et 3 ->7 » ; le passage n’est pas « naturel » seul un enseignement peut assurer le saut qui s’impose. « La mémorisation nécessite que les 3 composantes (les deux opérandes et le résultat) puissent être présents simultanément dans la mémoire temporaire malgré le traitement. Or, plus le second opérande est grand, plus les calculs sont difficiles et la probabilité faible de le mémoriser (en particulier lorsque le second opérande est grand » Quelques exemples d’outils supports de mémorisation… CP : Les « maisons de nombres » construites au CP permettent de repérer les décompositions des premiers nombres, jusque 20. Ici une première forme (jusque 10) où on met en valeur les décompositions à mémoriser après avoir effacé celles qui relèvent de la numération (on connaît le successeur) et celles qui sont redondantes (commutativité) en veillant à mettre en valeur la priorité des compléments à 5 et surtout à 10.

12 8 4 Boite de Fischer, très présente dans ACE (Arithmétique et Compréhension àl’école)

Enseigner les faits numériques : + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer - La commutativité (on réduit de moitié les faits à mémoriser) Les doubles Les décompositions de 10 Les calculs sans passage à la dizaine supérieure Les sommes avec passage à la dizaine (le mot « retenue » a trait au calcul posé) calcul mental (1)

Enseigner les faits numériques : + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer avec les élèves la commutativité (il ne reste que la moitié –environ- des cas à mémoriser !) A enseigner : La transposition… Le cas « 3 + 4 = 7 » peut-il être reconnu par un élève débutant dans… « soixante-quatorze plus treize » ? « trente plus quarante » ? Cela s’enseigne, s’accompagne : « Où est caché 3+4 dans le calcul de 30+40 ? » calcul mental (1)

« Je vois ce que je sais de plus » Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats « résistants » apparaissent) + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Un outil individualisé : Une grille lacunaire peut donner à chaque élève le panorama de ses connaissances à un moment donné. Sur ce type de support, chaque élève ne laisse apparaître que les résultats qu’il ignore (au fur et à mesure des interrogations, l’élève gomme les résultats qu’il connaît, réécrit ceux qu’il a oubliés). C’est bien entendu la partie en bas à droite qui regroupe les résultats les plus incertains. calcul mental (1)

Enseigner les faits numériques : La table de multiplication 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 2x30 = 60 4x30 = 120 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 20x3= 60 … Enseigner les tables de multiplication relève d’un fin travail d’OBSERVATION et d’EXPLORATION : Quelques exemples : - Pairs / impairs Doubles (4x3 est le double de 2x3) et triples Les transpositions 2 x 3 / 2 x 30 / 20 x 3 … doivent s’enseigner ! REMARQUE : On peut recommander de présenter séparément la « table des carrés » On doit éviter la « table » de 0 et de 1 calcul mental (1)

Préoccupation Qu’est ce qui conduira l’élève à mémoriser ? Sens compris : voir, entendre, vivre, des situations variées (pattes des araignées, jetons gagnés, configurations différentes…) Le sens qu’y met l’élève : demande de l’adulte, posture scolaire, envie de faire plaisir à…. BESOIN : « Si j’ai mémorisé, je vais beaucoup plus vite et je ne commets aucune erreur ».(Nb : Le surcomptage est un frein à la mémorisation).Cf : Nombreuses situations d’entrainement Sentiment de réussite : « Je me vois progresser »

Des situations d’entrainement La minute chrono : Améliorer son record Clacul@tice : composante vitesse très présente. Se voir avancer. Lotos : cartes add + grilles (Plusieurs ont les mêmes résultats : jouer à 3) 3 8 7 9 4 1 10 6 2 5 S’assurer que les situations d’entrainement permettent d’agir à un rythme soutenu. Jouer à 4 ne permet pas de beaucoup calculer, est donc peu efficace 8 14 16 13 10 17 11 9

Habileté dans la décomposition Proposition 2 Au-delà de la composition (a+b=?) Vers le calcul à l’envers Habileté dans la décomposition Principe du « compte est bon » avec un nombre-cible (Ex : Fabrique le nombre 10 en utilisant une addition) Implique une sollicitation des connaissances automatisées. A enseigner « explicitement ». Ex : 9=10-1 Donne du sens aux nombres Rend l’élève acteur, il choisit ce qu’il utilise, au regard de ses savoirs et compétences. Savoir décomposer, c’est voir les nombres. C’est ce qui permet d’entrer en connivence avec eux

Des situations Carnet de recherche ou autre dénomination: « le nombre du jour ». - 24 = … +…, 24 = ... - …, ……24 = …. + …..+…., …. Limites ? 24 = 7+4+13. Utile ? 24 = 16+3+13-8. Utile ? Ce qui est à mettre en évidence Défis : Fabriquer 72 avec 2 nombres, avec 3. 9x8, 12x6, 8x10-8, 7x10+2. Fichiers: carrés magiques, carrés de 10, 50, rectangles additifs… http://www.ac-caen.fr/manche/circo/mortain/articles.php?lng=fr&pg=154 site de Jean Louis Sigrist (PIUFM en Alsace) Jeux : mathador, le compte est bon… Attention : coopération, concurrence?   9 2 15 5

Nombre du jour : pertinence ?

Présence d’une bande numérique. Nécessaire !!!

Mathador : 24 avec 2 ; 3 ; 8 ; 1 ; 15 Solutions : 1 point : 3x8 = 24 24/08/12 Solutions : 1 point : 3x8 = 24 2 points : 15 + 8 + 1 = 24 3 points : 15 – 3 = 12 12x2 = 24 4 points : 15 + 8 = 23 23 + 2 = 25 25 – 1 = 24 7 points : 2x15 = 30 8 – 3 = 5 30 – 5 = 25 13 points (coup Mathador) : 8 + 1 = 9 9:3 = 3 Adapter en fonction des objectifs, du niveau des élèves

Savoir faire des liens pour apprendre plus, gagner en autonomie Addition-soustraction, multiplication-division : recherche de l’état final, du complément, de l’état initial Langage oral-langage écrit Écriture chiffrée mais pas que… Déduire : si… alors… Cardinal-Ordinal Numération de position (utiliser des bandes aussi…)

Alterner : 6 + 7 = 13, ? + 7 = 13 et ? + 6 = 13 13 - 6 et 13 – 7, 13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13… Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… 6 13 Trios : si 6+7 = 13, 13 - 6 = ?, 13-7 = ? J’ai 10 jetons dans la boite, j’en remets 7… J’étais sur la case 20, je dois reculer de 12 cases. 2d + 3, 20d + 3, 23d+ 2d, 2d+4c+13d……. En 24 combien de fois 6 ? Remarques applicables aux deux diapositives suivantes… La récitation des tables ne doit pas faire l’objet d’un travail trop systématique : il favorise la mémorisation d’un bloc (qu’il faudra alors réciter, en entier, pour retrouver un résultat). Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes – des temps courts). Le seul écrit autorisé est le résultat du calcul. Une variable des interrogations est essentielle : Oral / Ecrit Les mécanismes en jeu, l’organisation en mémoire de travail y sont très différentes : ces deux types d’entraînement sont très complémentaires. Exemple d’interrogations : dix calculs écrits au tableau – SILENCE TOTAL (pas de lecture, pas de murmures) dix calculs dits (aucun support visuel) Réponse des élèves : Ardoise (La Martinière - gros succès d’école…) vitesse, visibilité directe du maître. On doit interroger l’efficacité de cette méthode… Cahier : les résultats écrits sur le « cahier du jour » (cahier de l’entraînement des élèves) permettent la concentration (pas d’arrêt entre les calculs, pas de déperdition d’attention). La liste des calculs et des réponses est fournie et permet à l’élève de connaître son taux de réussite (d’intervenir au niveau de sa table « lacunaire » personnelle) La présence sur le cahier permet le suivi du travail quotidien dans ce domaine (l’enseignant, l’élève, les parents). Remarque sur la « correction » : On sait que beaucoup de temps est consacré à la « correction ». Est-il utile, nécessaire, de corriger chaque cas ? L’objectif étant la mémorisation, on peut douter qu’un travail ponctuel lié aux aléas des interrogations participe à cet ancrage qui relève d’un travail spécifique et structuré. Cet avis n’englobe pas la mise en commun dans les séances où les procédures sont en jeu. On y revient un peu plus loin. calcul mental (1)

Enseigner les analogies : 6 + 7… 16 + 7 26 + 7 36 + 7… 6 + 7… 16 + 7 26 + 7 36 + 7… 6 + 7… 6 + 17 6 + 27 6 + 37 6 + 7… 60 + 70 600 + 700… « Dans 26+7, je vois 6+7 »… Trios : si 6+7 = 13, 13-6 = 7, 13-7 = 6 Boites de Fischer Avec nombres et/ou collections Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + … 12 8 4

Outils pour l’élève Le « carnet de recherches »; Lesquelles ? Propositions : Tout ce qui relève de « réponses » personnelles, variées. A partir d’un calcul, déduire (analogies) Plusieurs opérations pour un résultat Plusieurs stratégies pour un calcul Calcul en ligne « long » 13+8+5-4+6………….pour regrouper, décomposer-recomposer. Le matériel : boites à œufs, bandes, abaques, règlettes Brissiaud, matériel de numération décimale…. Utile pour faire des liens, du sens, retourner au sens mais prudence… Manipuler n’incite pas à mémoriser.

Outils (suite) Les traces de mes savoirs : savoirs et stratégies maitrisées. Les affichages de la classe : stratégies enseignées et/ou « l’intelligence du calcul », stratégies pour une situation donnée… Ex Ex: intelligence du calcul: 5x36 = 2x5x18 = 30x5+6x5 = 36x10:2 Doubles Moitiés Presque doubles Dizaine sup Dizaine inf Centaine sup Centaine inf 46+26=60+12 17+6=16+6-1 18+9=18+8+1 9=10–1 11=10+1 17+6=17+3+3 Tableau à compléter, enrichir, repenser…. Différencier variété des stratégies et stratégies possibles pour une situation donnée

Différents types de séances Essai de synthèse Différents types de séances Enseignement d’une stratégie, (ou d’un constat) puis entrainement de cette stratégie. Créer le besoin de calculer plus vite, plus sûrement Apprentissage de tables puis entrainement (type la minute chrono). Choix de stratégies : écrire la stratégie  « c’est comme …» et/ou liste de calculs avec choix variés (faits numériques, automatisés, stratégies variées). Choix des calculs effectués : marquer le plus de points en 5’. 1 réussi = 1 pt, 1 erreur = -1pt. On a le droit de passer. Poser ??? Variété des présentations pour inciter à faire des liens Proposer plusieurs fois la même fiche (ou presque) sur une courte période

Pour savoir verbaliser ce que l’on sait, se voir progresser Jeux : pour s’entrainer. Veiller au rendement, (donc par 2, voire 3 si on joue chacun son tour). Fichiers ou ordi : idée de défi personnel Recherche : sur carnet ou jeu type mathador Nombre du jour ??? : pour traiter des différentes composantes du nombre Pour savoir verbaliser ce que l’on sait, se voir progresser Pour différencier et permettre à chacun de se sentir compétent. Pour permettre à l’enseignant d’accompagner, de remédier, de valoriser

Exemple séance chez Mme Longuenesse CE2 Lakanal Le compte est bon . 1 pt si uniquement additions, 2 pts si multiplication ou soustraction en sus, 3 pts si division en sus 10, 5, 12, 6, 4, 10, 7, 3, 9, 2 : Obtenir 40. Constats Savoirs et stratégies de calcul enseignés ne sont pas convoqués. Peu de certitudes, beaucoup de surcomptage. Pas d’anticipation Les décompositions-recompositions ne sont pas automatisées.

Travailler la décomposition Analyse de ces constats Les élèves ne savent pas ce qu’ils savent, ce qu’ils « peuvent » utiliser. Propositions Chacun doit avoir une trace de ses savoirs (faits numériques et stratégies). Laisser un temps pour se projeter, se représenter les savoirs « utiles » dans la situation. Entrainer régulièrement pour libérer, enrichir. Travailler la décomposition

Des points de vigilance ESTIMER : trop peu souvent enseigné. De « beaucoup-pas beaucoup » à « au plus près ». Collections variées voire peu ressemblantes, organisées différemment (8 pattes d’araignée vs 8 fleurs du vase). Placement sur bande numérique (ou autre forme) (entre 2 dizaines…) Plus proche de … « Possible-pas possible ». Avant de calculer, de vérifier On calcule de gauche à droite On ne pose que lorsque le calcul mental ou en ligne est inefficient

Les élèves en difficulté Calcul oral-calcul écrit : Ne « voient » pas les nombres oralisés, oublient ce qui a été dit. Cherchent des routines : sécuriser et avancer. Ex du surcomptage ou du calcul posé systématique. Perdent le sens. Y retourner « C’est comme… », retourner au matériel, à une situation de référence. Ne font pas spontanément les liens (entre les situations, les matériels…) Les verbaliser, accompagner (ex: décompositions de 26 sur carnet puis 26+27) Ne se sentent pas apprenants, ne se sentent pas inventifs, … Evaluation positive et situations « ouvertes » (recherches) Investissent les « trucs et astuces » (4+3=3+4) Théâtraliser ……………….

Conclusion En débat L’évaluation : Entretenir une dynamique : les brevets, ceintures apportent-ils quelque chose ? Programmations : Souplesse ? http://gdmaths.ia60.ac-amiens.fr/spip.php?article39 Limites et intérêts de l’enseignement collectif ? Calcul oral : 10 d’un bloc sans correction ?

la différence entre 6 et 5 est ____ 10 - 5 = ____ Les ceintures http://www.laclassedejenny.fr/calcul-mental-ceintures-generateur-d-exercices-tableaux-de-suivi-a5013372 2 + 5 = ____ la différence entre 6 et 5 est ____ 10 - 5 = ____ 8 pour aller à 10 : ____ 97 x 10 = ____ le complément à 5 de 4 est ____ 7 + 8 = ____ la différence entre 7 et 5 est ____ 8 - 3 = 2 pour aller à 10 : ____ 12 - 7 = ____ 20 x 10 = ____

Faites « Parler les nombres » Ressources possibles Le nombre au cycle 2 (Eduscol) Le calcul en ligne au cycle 2 (eduscol) Jean-Louis Sigrist IEN Landivisiau (nombreux jeux) Eric TROUILLOT (traite beaucoup de la décomposition) Magistere calcul mental (JJ. CALMELET) Calcul@tice ERMEL Faites « Parler les nombres » En toute détente

Pistes de travail en équipe Traces des stratégies et savoirs : langage enseignant VS langage élève, supports. Le cahier de recherche Les jeux et le rendement Un jeu et ses variables pour différencier et valoriser (ex : mathador)