DES SUJETS D’EPREUVE PRATIQUE DE MATHEMATIQUES AU BACCALAUREAT 1 .Les raisons de cette épreuve  2. L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 3. Exemples d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation 4. L’expérimentation 5. Utilisation des TICE en classe : comment modifier nos pratiques pour intégrer les TICE et préparer les élèves à l’épreuve pratique 6. Mise en situation Nous nous référerons à plusieurs reprises d’une part à ce que nous avons entendu dans nos salles des professeurs respectives, mais également lors d’un séminaire sur l’utilisation des outils logiciels dans l’enseignement des mathématiques (février 2007) et au sein de différents groupes de l’APMEP et de l’IREM de Clermont. Je citerai ainsi mot pour mot des propos tenus par M. Artigue et J. Lubczanski. En ce qui concerne les raisons de l’épreuve, j’ai utilisé le rapport de M Marc Fort disponible sur le site de l’Inspection Générale.

Les raisons de cette épreuve 1. L’utilisation des TICE reste marginale dans l’enseignement des mathématiques, malgré le fait que ce soit un des objectifs des programmes en vigueur (2000 pour le lycée). Devant les choix à faire compte tenu des contraintes du programme et du temps limité dont disposent les enseignants, et compte tenu du fait que les capacités expérimentales ne sont actuellement pas évaluées au baccalauréat, de nombreux professeurs utilisent peu, voire pas, les TICE,et ce d’autant plus que certains établissements sont encore pauvrement équipés en matériel informatique. Les enseignants fréquentant les IREM ou impliqués dans la vie de l’APMEP ont parfois l’impression que tout prof utilise régulièrement l’informatique, ce qui est tout à fait faux. De plus, même parmi les personnes convaincues de leur intérêt, la plupart ne l’utilisent pas autant qu’ils le souhaiteraient en raison de la lourdeur des programmes.

Les raisons de cette épreuve 2. L’utilisation des calculatrices dans les examens écrits devient de plus en plus problématique : un élève ayant une calculatrice avec calcul formel est avantagé, certaines calculatrices pourront bientôt contenir tout le cours de terminale, et il devient de plus en plus difficile d’être certain qu’il n’y a pas communication entre machines. Les modalités, et les sujets, pour les épreuves écrites sont donc à repenser. Une autre solution consiste à imposer une calculatrice « éducation nationale », la même pour tous.

Les raisons de cette épreuve 3. certaines compétences mathématiques sont actuellement peu valorisées (conjecture, prise d’initiatives, utilisation des TICE). La formation passée des enseignants ne les a pas habitués à valoriser les 8 moments de l’activité mathématique tels que proposés par l’APMEP : - poser un problème, modéliser - expérimenter, prendre des exemples - conjecturer - se documenter - bâtir une démonstration - mettre en œuvre des outils adéquats - évaluer la pertinence des résultats - communiquer Seuls les 4 derniers moments sont valorisés par la formation actuelle, alors que les TICE paraissent être un outil performant pour évaluer les 3 premiers (voire les 4 premiers). Qui plus est, de par leur formation, les enseignants ont souvent tendance à mésestimer l’importance des premières pour une vraie formation scientifique.

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts Une autre façon d’évaluer : l’évaluation se fait en cours de travail, et non sur un « produit fini ». On peut donc valoriser la façon dont l’élève réagit aux « coups de pouce » donnés par l’enseignant, et accorder plus de poids à la démarche expliquée qu’à sa réalisation finalisée. J’aurais du écrire vu par certains enseignants…… je n’exprime pas forcément le point de vue le plus répandu. Mais de ce fait il n’est pas évident de savoir ce qu’on évalue du fait des interactions élève – enseignant (voir plus loin)

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts L’utilisation des TICE permet d’explorer des problèmes jusque là inaccessibles : Simulation en probabilités Gestion de données de taille importante en statistiques Étude de problèmes dont la résolution exacte est impossible pour un élève de terminale (équations différentielles)

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts L’utilisation par exemple d’un logiciel de calcul formel permet de se libérer de la part purement calculatoire pour mieux réfléchir au sens de ce qu’on fait (dérivation, intégration, ….)

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts L’observation « en direct » du travail des élèves permet à l’enseignant de repérer des blocages, des notions non assimilées (cf. sujet n° 1). L’utilisation des TICE peut faciliter la compréhension de certaines notions (par exemple la recopie vers le bas du tableur est intimement liée à la notion de suite récurrente). La grande majorité des élèves n’a pas fait le lien entre parabole et second degré, ni ensuite entre intersection avec les axes et forme de la fonction. Certains élèves peinent d’ailleurs à utiliser efficacement le tableur et cette fonction (comme ils peinent dans l’étude des suites). De même, grosse difficulté à construire un point sur une courbe : les élèves n’ont pas compris que la courbe est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts Les TICE permettent une meilleure interaction entre les différents registres de représentation (par exemple en ce qui concerne les fonctions). Ces différents registres sont indispensables pour dégager l’objet mathématique étudié. CF M Artigue En ce sens, l’émulateur de TI (même chose chez Casio je crois ) est intéressant.

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts La mise en place de l’épreuve pratique au sein d’un établissement rend nécessaire une concertation entre les enseignants, qui débouche sur des échanges allant souvent au-delà de l’épreuve et redynamise l’équipe pédagogique. Cet effet second a été souligné par de nombreux expérimentateurs.

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 1. Intérêts Les allers-retours et interactions entre expérimentation et preuve peuvent redonner de la saveur aux maths et donner aux élèves le goût de la recherche en leur permettant de ne pas se cantonner à une simple application de techniques données par l’enseignant.

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2 L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2. Réticences Quand on utilise un logiciel, on ne fait pas de maths (cf. J Lubczanski). Et pourtant, si on étudie la méthodologie du travail pratique : Question posée, et éventuels calculs préliminaires Mise en place expérimentale (construction, calcul sur tableur) Recherche de conjecture, en faisant varier « quelque chose » Mise à l’épreuve de la conjecture Retour à la théorie pour valider la conjecture Entendu dans des discussions. Commentaires de Jacques disponibles sur le site APMEP Les étapes marquées en rouge correspondent à un réel travail mathématique, trop négligé actuellement dans l’enseignement, et qui peut être extrêmement motivant pour les élèves.

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2 L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2. Réticences La conjecture est une devinette, avant de passer réellement aux mathématiques. Il s’agit de se poser DES questions, de faire varier les paramètres (terme initial d’une suite par exemple), prendre des initiatives, et on fait réellement des maths. M^me commentaire, les professeurs n’ont pas été formés pour prendre la mesure de l’importance de ces étapes dans l’activité mathématique (construction des savoirs et recherche).

L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2 L’épreuve vue par les enseignants : intérêts et réticences 2. Réticences On ne sait pas si on note l’élève, ou soi-même pour l’aide qu’on lui a apporté On est à la merci d’un problème, entre autre d’ordre informatique Il s’agit d’une grande mutation dans la façon de noter, cela n’est pas facile pour les enseignants. Exemples vécus : alerte incendie pendant la passation, calculatrice mal maîtrisée par un élève, mais tout aussi mal par l’enseignant (moi en l’occurrence), fichiers « disparaissant » en raison d’une sécurité inconnue de certains profs.

Exemples d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation Avant d’étudier plus particulièrement les exemples issus du rapport de l’Inspection Générale, citons trois sujets qui nous ont paru intéressants pour différentes raisons :

Certains élèves ont fait ce TP en passant directement à la dernière question, car ils avaient déjà utilisé Excel en physique et savaient faire un ajustement, même non linéaire. Mais si on n’a pas Excel ? Il devrait y avoir plus de coordination entre nos deux matières….

Ici, il y a utilisation de la fonction alea(), vue en seconde, mais souvent peu, et de toutes façons oubliée depuis. C’est dommage, car l’aléatoire a une grande importance en mathématiques appliquées, et que c’est quelque chose qui intéresse les élèves.

Suivant le logiciel utilisé, la représentation du vecteur est plus ou moins aisée (difficulté avec géoplan, même si la résolution de la difficulté par appel à la translation est intéressante). Lors de la création d’un TP, il faut donc se poser la question de la transférabilité. Pour l’épreuve, pas de pb puisqu’on choisit dans une banque ce qui semble adapté à nos élèves et notre équipement.

Un exemple d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation Chaque sujet est composé d’un descriptif, d’une fiche élève, d’une fiche professeur et d’une fiche d’évaluation.

Sujet 1 : Expression du terme de rang n d’une suite récurrente Descriptif : Situation : On considère une suite récurrente (un) définie par la donnée de son premier terme u0 et d’une relation de la forme : pour tout entier naturel n, un + 1 = un + a x n + b, a et b étant deux nombres réels donnés. On cherche à déterminer, pour tout entier naturel non nul n, l’expression explicite de un en fonction de n. L’étude est proposée pour deux valeurs du couple (a , b). ______________________________________________________ Compétences évaluées. Compétences TICE : Élaborer un processus itératif ; Représenter graphiquement les termes d’une suite. Compétences mathématiques : Déterminer une fonction polynôme à partir d’informations obtenues sur sa courbe représentative ; Mettre en place une démonstration par récurrence . Descriptif : Les descriptifs des sujets ont pour vocation de décrire le contexte du sujet sans l’énoncer précisément afin d’éviter les phénomènes de « bachotage ». Ils sont rendus publics assez tôt dans l’année scolaire pour permettre aux professeurs d’organiser leur enseignement. Les descriptifs sont mis en ligne sur le site Eduscol.

Sujet n°1 : Expression du terme de rang n d’une suite récurrente Fiche élève : Partie expérimentale (3/4) C’est à partir de la « fiche élève » que le candidat compose, elle précise : - ce qui est attendu du candidat ; - à quel moment celui-ci doit faire appel à l’examinateur et pourquoi. Partie théorique (1/4)

Fiche professeur : Fiche d’évaluation : Sujet n°1 : Expression du terme de rang n d’une suite récurrente Fiche professeur : Elles donnent des indications sur les intentions de l’auteur, sur l’analyse du sujet, sur la manière dont doivent être gérés les « appels à l’examinateur », sur l’évaluation. Elles sont très différentes dans les informations qu’elles donnent. Fiche d’évaluation : Sous cette forme les « fiches évaluation » nécessitent un travail de préparation. Dans chaque établissement l’ensemble des examinateurs utilisera cette fiche et la fiche professeur pour élaborer une grille de notation adaptée aux conditions de passation. Dans cette phase expérimentale, le choix a été fait d’utiliser le même modèle de fiche pour l’ensemble des sujets. Dans l’avenir, chaque sujet comportera une fiche évaluation spécifique.

Classe ; Établissement : Spécialité : Oui Non Date : Heure : Numéro du sujet Titre : Nom  Prénom : NOTE : Classe ; Établissement : Spécialité : Oui Non Date : Heure : Nom examinateur : Signature : Recommandations générales : On ne cherchera pas à noter chacune des compétences. Pour établir la note finale on prendra en compte les performances globales du candidat en respectant la grille de lecture suivante : La capacité à expérimenter (qui prend en compte de façon dialectique les performances dans l’utilisation des outils et la faculté de proposer des conjectures) doit représenter les trois quarts de la note finale. La capacité à rendre compte des résultats établis à partir de cette expérimentation (démonstration, argumentation …) représentera le quart restant. La capacité à prendre des initiatives et à tirer profit des échanges avec l’examinateur sera globalement prise en compte de façon substantielle. Il n’est pas nécessaire qu’une compétence soit totalement maîtrisée pour être considérée comme acquise. Compétences Évaluées Éléments permettant de situer l’élève (à remplir par l’examinateur) L’élève est capable de représenter la situation (figure dynamique, feuille de calcul, courbe…) à l’aide des TICE. L’élève tire profit des indications éventuellement données à l’oral. L’élève est capable d’expérimenter, de faire des essais… Il utilise de façon pertinente la calculatrice ou les outils informatiques… Il est capable d’émettre une conjecture en cohérence avec ses essais. Suite à un éventuel questionnement oral, l’élève est capable d’affiner ses explorations en utilisant pertinemment les TICE. Il fait preuve d’esprit critique avec un retour éventuel sur sa conjecture. L’élève montre un certain nombre de connaissances, de savoir faire mathématiques sur le sujet. L’élève propose une résolution correcte de l’exercice et il est capable d’émettre un retour critique sur ses observations.

BILAN du Sujet n°1 : Les élèves ont fait le choix du logiciel Excel (plutôt qu’une calculatrice). Tous trouvent que la courbe est une parabole. Les difficultés rencontrées relèvent : d’erreurs dans la constitution du tableau ; de lacunes portant sur la parabole et le trinôme du second degré. Certains savent très bien utiliser la fonction courbe de tendance sur Excel (Utilisée en Physique) et trouvent rapidement l’écriture Un = n² – 12n La plupart des élèves ont l’idée de faire une démonstration par récurrence mais éprouvent des difficultés à la mettre en oeuvre Du côté des questions. Les questions sont jugées bien formulées par les professeurs. La recherche de la particularité du nuage à la question 1 a donné des réponses variées, confinant parfois à l’absurde. La question 2 (a) a été comprise, mais c’est la méconnaissance des équations de paraboles qui a posé problème à certains. Du côté des appels à l’examinateur. Les appels examinateurs sont bien placés et en nombre suffisant. Du côté de la production demandée. Certains élèves manquent de temps pour la rédaction de la démonstration par récurrence car ils en ont passé beaucoup à la question 2 (a), mais ils semblent beaucoup moins soucieux de leur production écrite lors de cette épreuve pratique qu’ils le sont lors des devoirs surveillés habituels… C’est bien l’esprit de cette épreuve dans laquelle l’examinateur doit chercher d’abord à savoir si l’élève a su identifier le raisonnement à mettre en œuvre sans attendre nécessairement une production totalement rédigée.

L’expérimentation Avant Les enseignants de TS avaient emmené les élèves deux ou trois fois en salle informatique ; les élèves avaient ainsi travaillé au moins une fois avec un LGD et une fois avec un tableur. En ce qui concerne la spécialité, ils n’avaient travaillé que sur tableur compte tenue de l’avancée du programme De plus, les enseignants utilisant le vidéo projecteur en classe ont été plus enclins à détailler ce qu’ils faisaient avec les logiciels. Nous avons une licence établissement pour géoplan-géospace qui nous autorise à en donner une copie aux élèves, et nous l’avons donc fourni à tous ceux qui le souhaitait (le logiciel est de plus installé au CDI). A part une interne, tous les élèves disposaient d’un ordinateur à domicile dans ma classe. Dans certains établissements, la préparation a été plus intensive (mais de toute façon très courte compte tenue des dates de passation). J’ai pu constater chez mes élèves une très grande disparité dans l’aisance de manipulation tant du tableur (Excel) que du logiciel de géométrie dynamique (Géoplan). Ainsi, certains élèves ont fait deux TP en une heure pendant que d’autres terminaient difficilement le premier malgré mon aide. Cette disparité ne peut être imputée (en tout cas pas entièrement) aux « vilains professeurs » (ceux qui n’ont pas plus emmené leurs élèves en salle informatique que moi les années précédentes) que certains auraient eu les années précédentes : en effet, dans cette classe il ya des élèves de section européenne qui sont ensemble depuis la seconde, et pour certains même avant la seconde, et la disparité existait également au sein de ce sous-groupe. La plupart des élèves ont été intéressés par ces TP, et pour ceux qui maîtrisaient mal les outils, j’ai pu constater des progrès rapides, et une curiosité constructive vis-à-vis des possibilités des logiciels utilisés. Les TP proposés comportant également une partie théorique, je n’ai pas l’impression d’avoir « perdu de temps » par rapport à ma progression habituelle. La synthèse des activités s’est faite chaque fois en classe entière, avec utilisation du vidéoprojecteur, ce qui a permis de rappeler les fonctionnalités importants des logiciels pour toute la classe.

L’expérimentation Avant Les réunions préparatoires impliquaient également les professeurs de première car sinon la passation aurait été trop lourde. Nous avons choisi des sujets selon d’une part les compétences supposées de nos élèves, et d’autre part les nôtres ! Nous les avons testés individuellement (mais pas suffisamment) puis nous en avons discuté et avons essayé de bâtir des grilles d’évaluation. Par exemple, nous avions retenu le sujet 2, et certains élèves l’ont résolu sans le moindre recours au logiciel, laissant le professeur fort désemparé ! Les grilles d’évaluation nous ont plus bloquées qu’autre chose : il faut vraiment s’habituer à noter différemment.

L’expérimentation Pendant Tout s’est globalement bien passé Chaque professeur disposait d’une salle et encadrait quatre élèves. Il est parfois difficile de donner un coup de pouce à un élève sans que les autres en profitent. Il n’est pas non plus évident de doser l’aide apportée et de déterminer le moment adéquat. Sauf alerte incendie ! Nous sommes bien équipés. Certains élèves se sont notamment plaints d’avoir été aidés sans l’avoir demandé. Le contenu des fiches professeur gagnerait à être étoffé, et la fiche d’évaluation sera plus adaptée au sujet lors de la nouvelle expérimentation. Je ne sais pas comment ont fait les professeurs qui, dans d’autres établissements, étaient plusieurs dans la même salle.

L’expérimentation Pendant Une réelle surcharge de travail vu la période de passation, mais cela ne sera pas le cas si l’épreuve a lieu début juin comme les épreuves de Physique Chimie et de SVT.

L’expérimentation Après L’expérience engrangée pendant cette aventure a donné envie à certaines d’entre nous d’intégrer réellement l’outil informatique dans notre enseignement. Les enseignants ont pour la plupart vu l’intérêt de l’utilisation des TICE même si quelques uns restent dubitatifs. Un besoin de formation important se fait fortement sentir, d’une part pour utiliser de façon plus performante les TICE, d’autre part en ce qui concerne l’épreuve proprement dite. Il faut dire que nous sommes bien équipés au lycée : chariot mobile multimédia par couloir, deux portables avec vidéo projecteurs, et un TBI à la rentrée. Aide dans les problèmes d’évaluation, d’aide (peut-on par exemple prendre la souris à l’élève ?), de sécurité (problèmes de fraude redoutés par certains)

Comment préparer l’épreuve avec les élèves Dés la seconde, on commence à utiliser les outils informatiques (tableur – logiciel de géométrie dynamique) Droite d’Euler (LGD) Simulation (utilisation du tableur et de la fonction ALEA() ) Fonction affine (tableur et LGD) …… Tous les chapitres de Seconde peuvent donner lieu à un TP informatique. Construction, conjecture et démonstration.

Comment préparer l’épreuve avec les élèves En première, on continue d’utiliser les outils informatiques (tableur – logiciel de géométrie dynamique) Lieux et barycentre (LGD) Suites (tableur, …) ……

Comment préparer l’épreuve avec les élèves En Terminale : Avec un tableur (ordinateur ou calculatrice) tableau de valeurs d’une fonction, d’une suite représentations graphiques, fenêtre d’affichage valeurs approchées d’une solution d’une équation La méthode d’Euler Introduction de l’exponentielle et équations différentielles : y’ = y avec y(0) = 1 puis y’ = ky avec différentes valeurs de k ou de y(0) Étude de suites numériques conjectures et démonstrations, contre-exemples, procédures de contrôles, … Suites adjacentes pour tout entier naturel non nul n,

Comment préparer l’épreuve avec les élèves Avec LGD Représentation graphique des solutions d’une équation différentielle : y’ = ay + b ; y’ + y = e  x (visualisation des solutions, solution satisfaisant à une condition particulière; lieu des sommets des courbes) Construction et étude de propriétés de figures, démonstrations utilisant des affixes, problème de lieu Barycentres : alignements de points, concours de droites, lieux Suite de fonctions fn et suite (un) définie par fn(un) = 0 Conjectures relatives aux variations des fonctions, au sens de variation de la suite, comparaison à une suite de référence)

Comment préparer l’épreuve avec les élèves En fonction de l’équipement informatique des élèves (ou des conditions d’accès aux ordinateurs en libre service de l’établissement), on peut également intégrer les TICE dans des devoirs maisons, dans des préparations de cours (visualisation de propriétés, …) Il existe de nombreux logiciels libres : LGD : geogebra, geonext, geolabo, …. Tableur : Open office.

Mise en situation Nous n’avons volontairement pas choisi nos sujets « préférés », mais des sujets qu’il nous paraissaient intéressant d’étudier pour diverses raisons que nous préférons vous laisser découvrir. Nous souhaiterions qu’en traitant les sujets, vous réfléchissiez à ce que, selon vous, devraient contenir la fiche d’évaluation et la fiche professeur, ainsi qu’à la pertinence de ces sujets et à ce que vous modifieriez éventuellement dans les sujets proposés.

Références bibliographiques Rapport de la Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques : « l’informatique et l’enseignement des mathématiques » http://www.smf.emath.fr/Enseignement/commission Kahane Le rapport sur l’expérimentation, et les sujets posés sont disponibles sur le site de l’Inspection Générale : http://www.igmaths.net/ Le site educnet qui renvoie à tous les sites académiques http://www2.educnet.education.fr/maths http://www.educnet.education.fr/bd/urtic/maths/ Académie de Aix-Marseille : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/activites/ES-S/epreuve_pratique.html EDUSCOL http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_presentation.htm http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_MATHS2007.htm