1. Le vocabulaire dans les énoncés et les démonstrations Le cours de Mathématiques : autour du raisonnement et des démonstrations 1. Le vocabulaire dans les énoncés et les démonstrations

1. Le vocabulaire des énoncés et des démonstrations Références : Introduction générale pour le collège (B.O. Hors-série n°4 du 9 septembre 2004) Composition des textes scientifiques, recommandations de l’Inspection générale (accessible sur le serveur académique Euler).

1. Le vocabulaire des énoncés et des démonstrations Dans les énoncés (de théorèmes ou d’exercices) Soit, étant donné, on considère : Présenter des objets. Données, hypothèses : Termes utilisés pour parler de l’énoncé. Consécutifs, respectifs, successifs : Ces mots ne sont pas forcément connus des élèves à l’entrée au collège. Quelconque : Désigne l’élément générique d’un ensemble. Attention, un triangle quelconque est un triangle sur lequel on ne fait aucune hypothèse (ce n’est pas nécessairement un triangle scalène). Quel que soit, quels que soient, quelle que soit, tout, tous : Conditions d’utilisation à préciser. La... de... du... : Bien expliciter comment lire un enchaînement de compléments de noms . Le ou un ? : Le rayon, un rayon du cercle . Une ou des ? : Il y a un pluriel de précaution : l’équation a-t-elle des solutions ? Certains adjectifs employés au singulier ou au pluriel n’appellent pas la même syntaxe : parallèle, perpendiculaire, colinéaire, etc

1. Le vocabulaire des énoncés et des démonstrations Dans les énoncés (de théorèmes ou d’exercices) Dessiner, tracer, placer, représenter, construire : Expliciter et respecter la hiérarchie de ces verbes. Vérifier que, expliquer pourquoi, prouver que, montrer, démontrer : Les deux premiers appellent moins de formalisation que les trois derniers. En déduire : Montrer sur des exemples cette démarche intellectuelle. Factoriser, développer, effectuer : Les deux premiers renvoient à des gestes techniques. Comparer, classer : Renvoient à une définition. Déterminer, calculer : Renvoient à autre chose que des mesures. Résoudre : Renvoie à des gestes techniques. Conjecturer : Invite à formuler un énoncé. Vrai, faux : S’applique à des phrases dont on veut savoir si elles sont des propriétés (des théorèmes).

1. Le vocabulaire des énoncés et des démonstrations Dans les démonstrations Soit : Introduction d’un objet utile à la démonstration. Données, hypothèses : Termes utilisés pour parler de l’énoncé. Donc, car, parce que, puisque, or : Bien expliciter leurs conditions d’utilisations. Donc..., donc..., donc.... : Marquent les étapes de conclusions partielles à la conclusion définitive (ne concluent pas au même niveau). La logique est toujours présente même si elle n’est pas explicitée Condition nécessaire, condition suffisante, condition nécessaire et suffisante Dans une formulation du type “ si... alors... ”, ce qui vient après “ alors ” est la condition nécessaire. Propriété caractéristique : Pourrait remplacer la définition, à condition d’en avoir donné une. Si... alors.... : utilisé dans les énoncés, plutôt que dans la rédaction d’une démonstration. Dans les démonstrations, on utilise « on sait que, …, donc… », ou toute formulation analogue. Réciproque : La réciproque du théorème « Si A alors B » s’énonce « Si B alors A ». Elle est vraie ou fausse.

2. a) Différentes utilisations du signe = (égale) Deux noms pour un même objet 21 = 3  7 : deux écritures d’un même nombre, (AB) = (CA) : deux noms pour une même droite Identité L’égalité k(a + b) = ka + kb a lieu quels que soient les nombres désignés par a, b et k. Dans ce cas, il vaut mieux écrire : “ Pour tous nombres a, b et k, k(a + b) = ka + kb ”. Définition L’écriture : “ pour tout réel x, f (x) = ax + b ” sert à définir la fonction f. Pour montrer certaines propriétés de la fonction f, dans lequel la variable figure, on utilise des expressions quantifiées. Équation Le signe = sert à poser un problème. L’activité consistant à “ tester une égalité ” renvoie au paragraphe 1.

2. c) Démontrer une égalité A = B 2. b) Quelques usages illicites Utiliser le signe = dans des calculs enchaînés 3 + 4 = 78 = 56 – 9 = 47. Mieux vaut ne pas écrire des chaînes d’égalités. Si on veut écrire des égalités successives, on peut nommer l’objet à calculer. Le signe = de certaines calculatrices (il tend à disparaître) doit être remplacé (au moins mentalement) par “ exécution de la séquence programmée ”. 2. c) Démontrer une égalité A = B S’il s’agit d’une identité, toutes les écritures doivent être quantifiées. Exemple : pour tous nombres a et b, (a + b)² = a²+ 2ab + b². Toutes les façons de faire correspondent à des transformations d’écritures : de A en B ou de B en A ou de A et B en C. On peut aussi montrer que (A – B) = 0. C’est la logique du calcul qui importe : ne pas trouver, en un temps fini, de contradiction au fait que A = B (et obtenir par exemple 0 = 0) ne constitue pas une preuve.

3. Les démonstrations au collège Des démonstrations aussi bien en géométrie que dans le domaine numérique pour : donner du sens aux notions abordées structurer, renforcer les connaissances, les décloisonner introduire de nouveaux outils pour démontrer articuler les notions entre elles acquérir des compétences dans le domaine du raisonnement …

3. Les démonstrations au collège Réserver le mot « démonstration » à de vraies démonstrations mathématiques, ne pas l’utiliser pour des illustrations de raisonnements. Qualifier systématiquement les énoncés (définition, propriété, théorème) à distinguer des « méthodes » ou « illustrations ». Signaler systématiquement un énoncé admis. La progression choisie détermine les démonstrations possibles. Il ne s’agit pas de faire toutes les démonstrations de la liste mais de déterminer en équipe pédagogique celles qui seront faites par toutes les classes.

4. Différents types de raisonnements Différents types de raisonnements rencontrés au collège raisonnement déductif raisonnement par disjonction de cas infirmation par production d’un contre-exemple raisonnement par l’absurde

Un exemple de bibliothèque de démonstrations en 4ème bibdemo4

En quatrième Type de raisonnement Organisation, gestion de données, fonctions Nombres, calcul Géométrie déductif Proportionnalité et alignements de points Quotients Ordre et addition Ordre et multiplication Toute la géométrie avec un contre-exemple Situations de non-proportionnalité Opposé du produit et produit des opposés Somme des inverses et inverse de la somme par disjonction de cas Intersection droite-cercle par l’absurde (approche) Suites de nombres non proportionnelles (graphique) Tester si un nombre est solution d’une équation Un triangle n’est pas rectangle Si alors 4 (MN) et (BC) sont parallèles

4. Travailler le sens, décloisonner, introduire des outils, … Soit a et b deux nombres, avec b  0. Le quotient est le nombre (unique) dont le produit par b est égal à a. Soient a, b, c et d des nombres, avec b et d non nuls. Si alors ad = bc . On suppose que et on pose q = Alors q b d =(q b )d =( q d )b , donc a d = c b Soient a, b et c des nombres, avec b non nul. Alors .

4. Travailler le sens, décloisonner, introduire des outils, … Théorème de Pythagore Le calcul littéral permet d’établir que BC² = AB² + AC² Réciproque du théorème de Pythagore On suppose que AB² + AC² = BC². On construit le triangle ACE rectangle en A tel que AE = AB, E et B de part et d’autre de la droite (AC). Les triangles sont isométriques (théorème de Pythagore) donc (AC) est la médiatrice du segment [EB], donc (AE) = (EB), donc (AB) est perpendiculaire à (AC).

4. Travailler le sens, décloisonner, introduire des outils, … Droite des milieux (1) Soit un triangle ABC et les points I et J milieux (respectifs) des segments [AB] et [AC]. Alors les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. Avec les aires : « Une médiane dans un triangle partage celui-ci en deux triangles de même aire » G Des triangles de même aire : BIJ et AIJ, puis AIJ et CIJ, puis BIJ et CIJ. BK = CL donc (IJ) et (BC) sont parallèles. Droite des milieux (2) Soit un triangle ABC et le point I milieu du segment [AB]. Alors la droite passant par I et parallèle à la droite (BC) coupe la droite (AC) au point J milieu du segment [AC]. Remarque : Démonstration possible de la propriété de concours des médianes, par des considérations sur les aires. On retrouve les hypothèses du théorème 1 en plaçant J’ milieu de [AC]. Donc les (IJ) et (IJ’) sont confondues. (IJ) = (IJ’) Les propriétés de l’une sont des propriétés de l’autre et réciproquement. Donc J est le milieu du segment [AC].

4. Travailler le sens, décloisonner, introduire des outils, … Dans le plan muni d’un repère d’origine O, soit M(a, b) et M’(a’, b’) deux points alignés avec O. Alors On se place dans le cas où a, b, a’, b’ sont positifs. Deux applications successives du théorème de Thalès conduisent au résultat. Conséquence : donc Coefficient directeur, vecteurs colinéaires, vecteurs directeurs Dans le plan muni d’un repère d’origine O, soit M(a, b) et M’(a’, b’). Si alors O, M et M’ sont alignés. Soit M’’(a’, b’’) le point d’abscisse a’ sur (OM). Alors donc b’’ = b’, donc M’’ = M’. Donc O, M et M’ sont alignés.

4. Travailler le sens, décloisonner, introduire des outils, … Indépendance des longueurs des côtés de l’angle aigu pour le calcul du cosinus d’un angle aigu  Le théorème de Thalès permet de justifier que le cosinus ne dépend que de la mesure de l’angle.

5. Démontrer en produisant un contre-exemple Pour une proposition mathématique, la production de plusieurs exemples non contradictoires n’apporte pas la preuve que la proposition soit toujours vraie Mais un seul contre-exemple peut apporter la preuve qu’une proposition est fausse. L’inverse d’un produit de deux nombres non nuls est égal au produit des inverses de ces deux nombres Mais la proposition « si la somme de deux nombres non nuls n’est pas nulle, alors l’inverse de cette somme est égal à la somme des inverses des deux nombres » est fausse Soit a = 1 et b = 2. Alors Il existe deux nombres non nuls a et b, de somme non nulle, tels que Un élément de logique difficile. Bien distinguer de la production d’exemples proposés pour proposer des conjectures.

6. Initiation au raisonnement par l’absurde Si un triangle ABC est tel que BC²  AB² + AC², alors ce triangle n’est pas rectangle en A Soit un triangle ABC tel que BC²  AB² + AC². Le triangle ABC ne peut pas être rectangle en A, car s’il l’était, on aurait l’égalité BC² = AB² + AC², qui est en contradiction avec l’hypothèse. Donc « si BC²  AB² + AC² alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A ».

7. Raisonnement par disjonction de cas Ordre de deux nombres de même signe et de leurs carrés Soient a et b deux nombres de même signe, tels que a < b. 1er cas : a et b sont tous les deux positifs. Alors, a < b et a > 0, donc aa < b a a < b et b > 0, donc ba < b b Donc par transitivité de la relation  d’ordre, a² < b² 2ème cas : a et b sont tous les deux négatifs. Alors, a < b et a < 0, donc aa > b a a < b et b < 0, donc ba > b b Donc par transitivité de la relation  d’ordre, a² > b² Conséquence : Soient a et b deux nombres positifs si a² < b² alors a < b. Application : dans tout triangle rectangle il existe un côté dont la longueur est plus grande que celle de chacun des deux autres, et le côté ayant la plus grande longueur est l’hypoténuse. BC² = AB² + AC². Donc BC² > AB², donc BC > AB. De même, BC > AC.