ACT2025 - Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours.

Slides:



Advertisements
Présentations similaires
La parité du pouvoir d'achat et La parité des taux d’intérêt
Advertisements

Leçon 4 L’intérêt Composé
Finances Personnelles
Revenus et Dettes Leçon 7 Les Prets. Definitions Période damortissement Nombre réel de mois ou d'années qu'il te faudra pour rembourser entièrement une.
Soit un tauxannuel de 3.6%, donner l’expression du tauxquinzaine
Économie pour les ingénieurs
Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
Zéros de polynômes (La loi du produit nul) Remarque :
06/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-neuvième cours.
Retour sur la notion de taux dintérêt Taux dintérêt réel, nominal, taux dintérêt composé actualisation.
ACT Cours 8 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours.
MODULE 6 La fonction EXPONENTIELLE
Chapitre 3 L’application des formules d’équivalence à des transactions commerciales concrètes Début de la première heure cours 10 (hiver 2002) Chapitre.
La fonction LOGARITHMIQUE
Systèmes d’équations du premier degré à deux variables
16/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Treizième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
11/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Douzième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
13/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
ACT Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours.
La fonction EXPONENTIELLE
Zéros de polynômes ( La loi du produit nul ) Remarque :
Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue
ACT Cours 20 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours.
04/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours.
18/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
ACT Cours 18 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-huitième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
ACT Cours 21 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-unième cours.
08/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours.
29/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-quatrième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
27/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Huitième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
4/12/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-cinquième cours.
09/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Onzième cours.
ACT Cours 11 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Onzième cours.
ACT Cours 5 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours.
13/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt et unième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Principes de tarification de base
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
ACT Cours 4 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Chapitre 4 Les taux d’intérêt.
Thème 13 Les mathématiques de l’intérêt
L’emprunt Lorsque qu’une personne (prêteur) prête une somme à une autre personne (emprunteur) il est généralement convenu de rembourser, à l ’échéance,
Évaluation des titres : actifs sans risque
ACT Cours 7 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Septième cours.
08– Arbres Binomiaux Chapitre 12 Hull, 8 éd..
Valeur Acquise. Valeur acquise Monsieur Pognon épargne en déposant 5000 € chaque année sur un compte bancaire rénuméré au taux annuel t = 3%. Le 1 er.
ACT Cours 23 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours.
CHAPITRE 5. La théorie de l’assurance
20/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Sixième cours.
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
02/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours.
Amortissement des emprunts obligataire
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
27/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours.
Tout comprendre au Taux de Croissance Annuel Moyen (TCAM)
Équivalence de taux FSA – Université Laval Février 2014.
ÉCONOMIE POUR INGÉNIEURS CHAPITRE 1 Les fondements de l’économie d’ingénierie © 2013 Chenelière Éducation inc.
Chapitre III : Le marché obligataire Dr Babacar Sène.
Transcription de la présentation:

ACT Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours

ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée

ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes

ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement

ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement

ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement Rente perpétuelle

ACT Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

ACT Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

ACT Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

ACT Cours 9 Cicéron a laissé en héritage $ placé dans un fonds de placement rémunéré au taux effectif dintérêt de 6.75% par année. Dans ses dernières volontés, il a exprimé le souhait que son organisme de charité favori: « la Société pour lamélioration du discours » recoive une rente perpétuelle consistant en des paiements de X dollars à tous les ans pour toujours, le premier paiement débutant un an après sa mort. Déterminer X. Exemple 1:

ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeur avec comme date de comparaison : le début de la première année est X/(0.0675) = Nous obtenons ainsi que X = $ par année. Exemple 1: (suite)

ACT Cours 9 Nous allons maintenant considérer une annuité pour laquelle les paiements ne sarrêtent jamais et ceux-ci sont faits au début de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il ny a pas de valeur accumulée parce quil ny a pas de dernier paiement. Rente perpétuelle de début de période :

ACT Cours 9 Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle de début de période par Notation:

ACT Cours 9 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

ACT Cours 9 Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires dobtenir que où d est le taux descompte équivalent au taux dintérêt i Valeur actuelle:

ACT Cours 9 En effet, De cette dernière formule, nous obtenons le résultat. Valeur actuelle: (suite)

ACT Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

ACT Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

ACT Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur actuelle dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait à t = n + k de

ACT Cours 9 Notons que ce dernier paiement est approximativement égal à k dollars. Interprétation (suite)

ACT Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

ACT Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

ACT Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur accumulée à t = n + k dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

ACT Cours 9 Les notions précédentes sont utiles afin de déterminer le nombre de paiements dune annuité lorsque nous connaissons le taux dintérêt, les versements de lannuité et soit sa valeur actuelle, soit sa valeur accumulée.

ACT Cours 9 Par exemple il nexiste pas nécessairement un entier n qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

ACT Cours 9 Cependant il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

ACT Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

ACT Cours 9 Un capital de $ doit être utilisé pour faire des paiements de 1 000$ à tous les mois. Ce placement est rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) = 9% par année capitalisé à tous les mois et les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Le premier paiement est fait à la fin du premier mois. Combien de paiements peut-on faire? Exemple 2:

ACT Cours 9 Le taux dintérêt par mois est Exemple 2: (suite)

ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite)

ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite) La solution de cette équation est n + k = mois. Ici n = 371 et k =

ACT Cours 9 Cette solution signifie que nous pourrons faire un paiement de 1000$ à la fin de chaque mois pendant 371 mois et un dernier paiement fait mois (approximativement 2 jours) après le dernier paiement de 1000$ et ce dernier paiement sera au montant de Exemple 2: (suite)

ACT Cours 9 Lexemple précédent illustre une des difficultés lorsque ceci a à être mis en application. Lidée de faire un paiement de 62.84$ environ 2 jours après le dernier paiement de 1000$ nest pas très pratique. La solution est plutôt de gonfler le dernier paiement ou encore de faire un paiement réduit à la fin du mois suivant. Remarque 1:

ACT Cours 9 Nous allons illustrer ceci dans lexemple 2. La solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons ainsi 370 paiements de 1000$ et un dernier paiement de X dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer X. Exemple 3:

ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X = $ et est fait à la fin du 371 e mois.

ACT Cours 9 Nous allons illustrer lautre solution, celle du dernier paiement réduit dans lexemple 2. Nous ferons ainsi 371 paiements de 1000$ et un dernier paiement de Y dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer Y. Exemple 3: (suite)

ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y = 63.28$ et est fait à la fin du 372 e mois.

ACT Cours 9 Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de paiements dans le cas de la valeur actuelle peut aussi être utilisé pour le calcul du nombre de paiements dans le cas de la valeur accumulée.

ACT Cours 9 Ainsi il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle A, R et i sont donnés.

ACT Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

ACT Cours 9 Anatole veut accumuler un capital de $ en faisant des versements de 800$ à toutes les semaines dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (52) = 5% par année capitalisé à toutes les semaines. Combien de versements doit-il faire? Exemple 4:

ACT Cours 9 Le taux dintérêt par semaine est Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite) La solution de cette équation est n + k = semaines. Ici n = 48 et k =

ACT Cours 9 Cette solution signifie que Anatole fera un versement de 800$ à la fin de chaque semaine pendant 48 semaines et un dernier versement fait à semaine (approximativement 6 jours) après le dernier versement de 800$ et ce dernier versement sera au montant de Le montant accumulé lors de ce dernier versement sera alors de $. Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48 versements: les 47 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de X dollars fait à la fin de la 48 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est X = $ et est fait à la fin de la 48 e semaine.

ACT Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement réduit, alors Anatole fera 49 versements: les 48 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de Y dollars fait à la fin de la 49 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite)

ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est Y = $ et est fait à la fin de la 49 e semaine.