Tableau d’amortissement à amortissements constants Tableau d’amortissement à annuités constantes Les annuités Intérêts composés L’essentiel des Mathématiques financières Emprunts indivis prof ilias Elkhodari

INTERETS COMPOSES Définition: Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période de placement (mois, trimestre, année…), l’intérêt de la période est incorporé au capital pour le calcul de l’intérêt de la période suivante. Calcul de la valeur acquise: Un capital C 0 est placé au taux périodique t, la valeur acquise C n au bout de n périodes est: L’intérêt I est: Exemple: un capital de 10000dhs est déposé au taux annuel de 4% pendant 8 ans. La capitalisation est annuelle. t=0,04etn=8 dhsdhs SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Calcul d’une valeur actuelle La valeur actuelle d’un capital Cn est le capital C 0 qu’il faut placer à l’époque 0 pour obtenir Cn à l’époque n. Exemple: La valeur acquise d’un capital placé au taux annuel de 6,3% pendant 5 ans est 8143,62 dhs (capitalisation annuelle). Calcul du capital placé:8143,62 x (1+0,063) -5 = 6000 dhs SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

LES ANNUITES On appelle annuité un règlement constant versé pendant des intervalles de temps successifs égaux. Valeur actualisée d’annuités constantes: C’est le cas lorsque l’on verse à intervalles réguliers la même somme d’argent pour se constituer un capital. Exemple: pour rembourser une dette, on verse chaque année en fin d’année pendant 4 ans une somme de 500dhs (taux d’actualisation annuel: 6%; capitalisation annuelle). Somme versée année SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Calculons la valeur actualisée totale notée V 0 au début de la première année. Le premier versement est effectué 1 an après la date choisie pour calculer l’actualisation. Année du versementVersementDuréeValeur actuelle de chaque versement C 0 =C n (1+t) -n x1,06 -1 ≈ 471, x1,06 -2 ≈ 445, x1,06 -3 ≈ 419, x1,06 -4 ≈ 396,05 TOTAL ≈ 1732,56 Nous observons que les valeurs actualisées successives forment une suite géométrique de premier terme: U 1 = 500 x 1,06 -1 Et de raison q = 1,06 -1 Leur somme est: SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Si, pendant n périodes, on verse en fin de chaque période une même somme « a » en vue de rembourser une dette, la somme des valeurs actualisées V0 de tous les versements, une période avant le premier versement est: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Valeur acquise par des annuités constantes: On place chaque année, en début d’année pendant 4 ans, une somme a = 800dhs (taux annuel 5%, capitalisation annuelle): capital versé année Le capital placé en début de première année a rapporté pendant trois ans quand arrive le début de la quatrième année SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

La valeur acquise Vn par l’ensemble des versements constants au moment du dernier versement est donnée par: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Calculons la valeur acquise totale notée V4 au début de la quatrième année juste après le versement des 800dhs Année du versementVersementDuréeValeur actuelle de chaque versement C 0 =C n (1+t) -n x1,05 3 = 926, x1,05 2 = x1,05 = x1 = 800 TOTAL = 3448,10 Nous remarquons que les valeurs acquises 800; 800x1,05… forment une suite géométrique de premier terme: u 1 = 800 et de raison q = 1,05 On peut donc calculer leur somme en appliquant la formule: C’est-à-dire: SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

L’ESSENTIEL Intérêts composés Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes C n : valeur acquise C 0 : capital initial t : taux par période n : nombre de périodes t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

TABLEAU D’AMORTISSEMENT L’emprunt indivis: c’est un emprunt contracté auprès d’un seul prêteur: banquier, établissement financier… en opposition avec un emprunt obligataire pour lequel il y a plusieurs prêteurs. L’emprunteur verse au prêteur des annuités ou versements de remboursement comportant des intérêts sur la somme restant due et le remboursement d’une partie de la dette. Tableau d’amortissement: L’ensemble des éléments de remboursement est présenté dans un tableau qui précise pour chaque période: Le capital restant dû; L’amortissement du capital ou remboursement du capital; L’intérêt; L’annuité ou versement de remboursement. Annuités constantes: lorsque les versements de remboursement d’un capital sont égaux, on parle de remboursement par annuités constantes. Pour le calcul des annuités constantes, il faut qu’il y ait équivalence entre le montant emprunté et les annuités. ou SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Méthode pour compléter un tableau d’amortissement à annuités constantes. Calcul de l’annuité ou montant de l’échéance. On utilise la relation: L’intérêt. I = D x t intérêt Capital restant dû Taux périodique L’amortissement. M + I = a amortissement intérêt Annuité ou versement Capital restant dû. Il se calcule à partir de la ligne précédente. SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Titre des colonnes du tableau On prépare un tableau ayant pour titres de colonne: Première ligne du tableau: On reporte le capital restant dû et l’annuité; On calcule l’intérêt correspondant; B2 x 0,005 On en déduit l’amortissement; M = a - I Emprunt de 5000dhs à 6% l’an. Il rembourse tous les mois la même mensualité pendant 8 mois. V 0 = 5000 ; t mensuel = 0,005 et n = 8 dhs Colonne annuité: On complète la colonne « annuité » en recopiant l’annuité déterminée précédemment Colonne amortissement: On complète la colonne « amortissement » en calculant les nombres de la suite géométrique ayant pour 1er terme l’amortissement de la première ligne et pour raison 1+t: Dans C3 écrire: C2*(1+0,005) et recopier Colonnes restantes: On en déduit la colonne «Capital restant dû » et la colonne « intérêt ». Dans B3 écrire: B2-C2 et recopier SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

Tableau d’amortissement à amortissement constant. Dans le cas de l’amortissement constant, l’emprunteur rembourse la même somme en ce qui concerne le capital, c’est-à-dire que les amortissements vont être constants mais les annuités vont varier. Calcul de l’amortissement: M: amortissement V 0 : capital emprunté n: nombre de périodes. Calcul du montant de l’annuité: M 1 = M 2 = ……. = M n a n = I n + M n In = Dn x t intérêt Taux périodique Capital restant dû amortissement intérêt Annuité ou versement M: amortissement V 0 : capital emprunté n: nombre de périodes. In: intérêt correspondant à la période SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

CONCLUSION Le tableau d’amortissement précise pour chaque période: Le capital restant dû L’amortissement du capital L’intérêt Le montant de l’échéance Si les annuités sont constantes, les amortissements successifs forment une suite géométriques de raison (1+t) Si les amortissements sont constants, les annuités forment une suite arithmétique de raison SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari

En classe de Terminale BAC Professionnel Tertiaire (comptabilité et commerce), les amortissements sont étudiés. L’exemple de séquence proposée permet de traiter un crédit automobile. Je propose une activité destinée à constituer un tableau d’amortissement sur ordinateur, à l’aide du logiciel de calcul EXCEL. Par ce biais, nous utilisons la transversalité entre les mathématiques, la comptabilité, l’informatique mais également le domaine commercial. EXEMPLE TRAITE: Monsieur DURAND souhaite changer sa voiture. Il va emprunter une somme de MAD sur 5 ans et la rembourser par mensualités. La banque lui propose un taux de 5,5% annuel. « RECETTE DU TABLEAU D’AMORTISSEMENT » INGREDIENTS  Le capital emprunté: V0 = …………………..  La durée en mois: n = ……… mois  Le taux annuel : T = ……………. USTENSILES  La formule du taux proportionnel mensuel : t = ………………  La formule générale de l’intérêt mensuel : i = ………………..  La formule générale de la mensualité : a = ……………………..  La formule générale de l’amortissement mensuel : amortissement = ………….. SommairePrécédentSuivant prof ilias Elkhodari