04/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perpétuelle de début de période

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et les paiements

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et les paiements

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et les paiements Dernier paiement gonflé

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur actuelle, le taux dintérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuité étant donné la valeur accumulée, le taux dintérêt et les paiements Dernier paiement gonflé Dernier paiement réduit

04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période

04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période

04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente perpétuelle de début de période Nous avons aussi la formule

04/10/07 Rappel du dernier cours est égale à la valeur actuelle dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait à t = n + k de

04/10/07 Rappel du dernier cours est égale à la valeur accumulée à t = n + k dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme dentrées et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme dentrées et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme dentrées et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme dentrées et sorties suivant:

04/10/07 Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux dintérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée. Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer la méthode de Newton-Raphson.

04/10/07 Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux dintérêt revient à déterminer les zéros dune fonction f connue, cest-à-dire les x tels que f(x) = 0.

04/10/07 Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x 0 et nous construisons récursivement une suite: x 1, x 2, …, x s, …. Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f.

04/10/07 Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

04/10/07 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante. Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons

04/10/07 Exemple 1: Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur.

04/10/07 Exemple 1: Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. La dérivée de f(x) est

04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante

04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) sxsxs

04/10/07 Remarque 1: La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x 3 - 5x. La règle récursive est

04/10/07 Remarque 1: La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x 3 - 5x. La règle récursive est

04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x 0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, … et ainsi de suite

04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commençons avec la valeur x 0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, … et ainsi de suite Cette suite ne converge pas!

04/10/07 Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons

04/10/07 Exemple 2: Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton-Raphson pour résoudre lexemple 4 du 5 e cours, cest-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection.

04/10/07 Exemple 2: (suite) Déterminons le taux dintérêt dun prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme dentrées et sorties suivant:

04/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

04/10/07 Exemple 2: (suite) Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

04/10/07 Exemple 2: (suite) La règle récursive de la méthode de Newton- Raphson est

04/10/07 Exemple 2: (suite) La règle récursive de la méthode de Newton- Raphson est Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x 0 = 6%, alors nous obtenons par la méthode

04/10/07 Exemple 2 (suite): sxsxs 06% % % % % % %

04/10/07 Considérons maintenant la question de déterminer le taux dintérêt dune transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle dune annuité simple constante de fin de période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité.

04/10/07 Nous voulons résoudre léquation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i.

04/10/07 Nous voulons résoudre léquation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre léquation:

04/10/07 Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

04/10/07 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

04/10/07 Pour compléter la méthode de Newton- Raphson, il nous faut une valeur initiale i 0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

04/10/07 Exemple 3: Dans un prêt de $, lemprunteur sengage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal dintérêt i (4) de ce prêt.

04/10/07 Exemple 3: Dans un prêt de $, lemprunteur sengage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal dintérêt i (4) de ce prêt. Nous avons ainsi que L = , R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux dintérêt par trimestre.

04/10/07 Exemple 3: (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors

04/10/07 Exemple 3: (suite) La règle récursive pour la méthode de Newton- Raphson est alors

04/10/07 Exemple 3: (suite) En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant.

04/10/07 Exemple 3: (suite) s xsxs 4x s (Taux nominal) % % % % % % % % % % % % % % % %

04/10/07 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

04/10/07 Première hypothèse: Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à léchéance moyenne. Faute de connaître le taux dintérêt i, nous allons utiliser léchéance moyenne approchée.

04/10/07 Deuxième hypothèse: Nous allons supposer que lintérêt est simple plutôt que composé.

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: Léchéance moyenne approchée est car

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous notons par j: lapproximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que lintérêt est simple. Nous obtenons alors léquation:

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0

04/10/07 Justification de lapproximation: Il est aussi possible dobtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Ceci est présenté dans le recueil de notes de cours.