08– Arbres Binomiaux Chapitre 12 Hull, 8 éd.

Plan de la séance Les arbres binomiaux Probabilités réelles versus Probabilités neutres au risque Le Delta d’une option Monde risque-neutre Arbre binomial à deux périodes Évaluation d’options américaines Arbre binomial avec paiement de dividendes Les arbres binomiaux en pratique

Technique très populaire d’évaluation d’options Les arbres binomiaux Technique très populaire d’évaluation d’options Développée par Cox, Ross et Rubinstein (1979) C’est une méthode numérique et non une méthode analytique comparativement à Black et Scholes (séance suivante) L’arbre représente différents chemins qu’un actif quelconque pourrait suivre au cours d’une période donnée ou sur la durée de vie de l’option.

Les arbres binomiaux Exemple : L’action du Groupe CGI est actuellement de 30$. Dans 3 mois, le prix de l’action sera soit à 28$ ou à 32$. Le taux sans risque à 3 mois est de 10% On veut calculer le prix d’une option d’achat européenne dont l’échéance est de 3 mois et le prix d’exercice est de 31$.

L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ S=30$ S=32$ S=28$ C = ? C = max ( 0 : S – K ) = 1 $ C = max ( 0 : S – K ) = 0 $

L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Hypothèse : Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Hypothèse : Il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage, il est donc possible de construire un portefeuille sans risque constitué d’actions et d’options. Considérons le portefeuille suivant: Position longue dans une quantité Δ d’actions Position courte dans une option d’achat Δ S - C

L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Le portefeuille est sans risque si D 32 – 1 = D 28 soit D = 0.25 S=30$ S=32$ S=28$ C = ? C = max ( 0 : S – K ) = 1 $ C = max ( 0 : S – K ) = 0 $ D30$ - C D 32 - 1 D 28 - 0

Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Dans 3 mois avec D = 0.25, l’arbre devient Comme la valeur du portefeuille est la même peu importe le prix de l’action à l’échéance, il s’agit donc d’un portefeuille sans risque et son rendement doit être égal au taux sans risque D30$ - C D 32 – 1 = 7 $ D 28 = 7 $

Les arbres binomiaux L’arbre binomial du Call pour K = 31$ Si le taux sans risque est de 10% en taux continu, alors la valeur présente du portefeuille est 7 e-0.1x.25 = 6.83$. On peut donc trouver la valeur de l’option aujourd’hui comme suit: (30x0.25) – C = 6.83 => C = 0.67$ D30$ - C = 6.83$ C = 0.67$ D 32 – 1 = 7 $ D 28 = 7 $

Les arbres binomiaux Modèle Général À l’échéance: Le sous-jacent peut augmenter au prix Su  S0 x u = Su Le sous-jacent peut diminuer au prix Sd  S0 x d = Sd Le flux de l’option sera donc cu, cd, (pu ou pd pour un Put) Su cu S0 c Sd cd

Les arbres binomiaux Modèle Général Su Δ – cu = Sd Δ – cd d’où Construction du portefeuille sans risque Position longue dans Δ actions Position courte dans une option Trouver le Δ rendant le portefeuille sans risque Su Δ – cu = Sd Δ – cd d’où Dsu - cu DS - c DSd - cd

c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd] Les arbres binomiaux Modèle Général La valeur présente du portefeuille sans risque est: S D – c = (Su D – cu) e–rT En substituant D par et en posant On obtient: c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd] le prix d’une option est alors la valeur présente de l’espérance de la valeur de l’option à la période suivante. p est la probabilité neutre au risque

Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$ Les arbres binomiaux Exemple Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$ On a les paramètres suivant : u = 1.1 d = 0.9 r = 9% T = 0.25 Quel est le prix d’une option d’achat européenne?

Les arbres binomiaux Exemple On calcule la probabilité p : On cherche c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ] On trouve cu: Su = 60x1.1 = 66 Cu = Max [0, 66-62] = 4 On trouve cd: Sd = 60x0.9 = 54 Cd = Max [0, 54-62] = 0 c = e–0.09x.25 [0 .6138 x 4 + (1-0.6138) x 0] = 2.40 Su = 66 Cu = 4 S = 60 C = ? Sd = 54 Cd = 0

Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Dans l’arbre du prix d’une action, l’action a une probabilité réelle q de monter à Su et une probabilité réelle (1-q) de diminuer à Sd. Donc, E[ST] = q Su + (1-q) Sd La probabilité réelle q varie d’un investisseur à l’autre selon ses anticipations et elle est utilisée pour évaluer le prix d’une action

Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque La probabilité neutre au risque est celle utilisée pour déterminer le prix de l’option. C’est une méthode de calcul permettant d’actualiser les flux monétaires d’une option au taux sans risque (r) Important : On n’utilise jamais les probabilités historiques de l’action pour le calcul de l’option! Il n’y a aucun lien entre la probabilité réelle q et la probabilité neutre au risque p

Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Monde Risque-Neutre versus réél Supposons que la probabilité risque-neutre (p) est égale à la probabilité réelle (q). E[ST] = pSu + (1-p)Sd En substituant p par On obtient: E[ST] = S erT Cela implique, qu’en moyenne, le prix de l’action augmente au taux sans risque Dans un monde neutre au risque, tous les investisseurs sont indifférents face au risque, c’est-à-dire qu’ils n’exigent pas de compensation pour le risque

Probabilités Réelles versus Probabilités Neutres au Risque Reprise de l’exemple précédent: Le prix de l’action est de 60$ La probabilité risque-neutre est p = 0.6138 Dans 3 mois, le prix de l’action sera de Su=66$ ou Sd=54$ La valeur espérée du prix de l’action dans 3 mois si p=q est: E[S3] = 0.6138 x 66 + (1-0.6138) x 54 = 61.37$ Dans un monde risque neutre, le prix de l’action capitalisé au taux sans risque est: S erT = 60 e0.09x.25 = 61.37$

Arbre binomial à deux périodes Modèle Général : S c Sd cd Su cu Suu cuu Sud cud Sdd cdd T1 T0 T2

Arbre binomial à deux périodes Exemple d’option d’achat : Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$ On a les paramètres suivant : u = 1.1 d = 0.9 r = 9% T = 0.5, deux périodes de 0.25 Quel est le prix de l’option d’achat européenne?

Arbre binomial à deux périodes 1er étape : l’arbre binomial t = 0 t = 0.25 t = 0.5 Suu = 72.6 Cuu = Max[0, 72.6 - 62] = 10.6 u Su = 66 cu u = 1.1 S = 60 c d Sud = 59.4 Cud = Max[0, 59.4 - 62] = 0 u Sd = 54 cd d = 0.9 Sdd = 48.6 Cdd = Max[0, 59.4 - 62] = 0 d

Arbre binomial à deux périodes 2eme étape : Les nœuds finaux t = 0.25 t = 0.5 cuu = 10.6 0.6138 cu = e-.09x.25 [0.6138x10.6 + (1-0.6138)x0] = 6.36 cud = 0 1-0.6138 0.6138 cd = e-.09x.25 [0.6138x0 + (1-0.6138)x0] = 0 1-0.6138 cdd = 0

Arbre binomial à deux périodes 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 0.25 cu = 6.36 0.6138 c = e-.09x.25 [0.6138x6.36 + (1-0.6138)x0] = 3.82 1-0.6138 cd = 0

Arbre binomial à deux périodes Généralisation : Calculer la probabilité Construire le 3ième niveau de l’arbre cuu = max {0 ; Suu – K} cud = max {0 ; Sud – K} cdd = max {0 ; Sdd – K} Construire le 2ième niveau de l’arbre cu = e-rΔT {p x cuu + (1-p) x cud} cd = e-rΔT {p x cud + (1-p) x cdd} Construire le 1er niveau de l’arbre c = e-rΔT {p x cu + (1-p) x cd} Remarque: ΔT correspond à l’intervalle de temps entre deux nœuds.

Arbre binomial à deux périodes Exemple d’option de Vente Le prix de l’action est de 50$ Le prix d’exercice de l’option de vente est de 52$ On a les paramètres suivant : r = 5% u = 1.2 d = 0.8 T = 2 ans, deux périodes de 1 an Quel est le prix de l’option de vente européenne?

Arbre binomial à deux périodes 1er étape : l’arbre binomial t = 0 t = 1 t = 2 Suu = 72 puu = Max[0, 52 – 72] = 0 Su = 60 pu S = 50 p Sud = 48 Pud = Max[0, 52 - 48] = 4 Sd = 40 pd Sdd = 32 Pdd = Max[0, 52 - 32] = 20

Arbre binomial à deux périodes 2eme étape : Les nœuds finaux t = 1 t = 2 puu = 0 0.628 pu = e-.05x1 [0.628x0 + (1-0.628)x4] = 1.415 1-.628 pud = 4 0.628 pd = e-.05x1 [0.628x4 + (1-0.628)x20] = 9.467 1-0.628 pdd = 20

Arbre binomial à deux périodes 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 pu = 1.415 .628 p = e-.05x1 [.628x1.415 + (1-.628)x9.467] = 4.195 1-.628 pd = 9.467

Évaluation d’options américaines Même Exemple d’option de Vente Le prix de l’action est de 50$ Le prix d’exercice de l’option de vente est de 52$ On a les paramètres suivant : r = 5% u = 1.2 d = 0.8 T = 2 ans, deux périodes de 1 an Quel est le prix de l’option de vente américaine?

Arbre binomial à deux périodes 1er étape : Même arbre binomial t = 0 t = 1 t = 2 Suu = 72 puu = Max[0, 52 – 72] = 0 Su = 60 pu S = 50 p Sud = 48 Pud = Max[0, 52 - 48] = 4 Sd = 40 pd Sdd = 32 Pdd = Max[0, 52 - 32] = 20

Arbre binomial à deux périodes 2eme étape : Les nœuds finaux t = 1 t = 2 e-.05x1 [0.628x0 + (1-0.628)x4] puu = 0 0.628 pu = Max{0, 52 - 60, 1.415} = 1.415 1-0.628 pud = 4 e-.05x1 [0.628x4 + (1-0.628)x20] 0.628 pd = Max{0, 52 - 40, 9.467} = 12 1-0.628 pdd = 20

Arbre binomial à deux périodes 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 e-.05x1 [0.628x1.415 + (1-0.628)x12] pu = 1.415 0.628 p = Max{0, 52 – 50, 5.09} = 5.09 1-0.628 pd = 12

Le D d’un Call est positif Le D d’un Put est négatif Le DELTA Définition: Le delta d’une option est le ratio de la variation du prix de l’option par rapport à la variation du prix de l’action. Mathématiquement : Le D est la dérivée partielle du prix de l’option par rapport au prix de l’action Le D d’un Call est positif Le D d’un Put est négatif

Le DELTA Stratégies : Dans la pratique : Le delta est utilisé pour faire du «delta hedging»: Quand une position d’option est «delta-couverte» (delta-hedged), elle n’est plus affectée par les variations du titre sous-jacent. Cependant, cette couverture est dynamique: parce que le prix de l’action varie, donc le delta varie continuellement; Cela implique qu’il faut constamment s’assurer d’avoir le bon nombre d’actions. Stratégies : Long Call : short D Action Short Call : Long D Action Long Put : Long D Action Short Put : Short D Action

Reprenons l’exemple d’option d’achat : Le DELTA Reprenons l’exemple d’option d’achat : Le prix de l’action est 60$ Le prix d’exercice K de l’option est 62$ On a les paramètres suivant : u = 1.1 d = 0.9 r = 9% T = 0.5, deux périodes de 0.25 Calculons les delta à chaque nœud?

1er étape : l’arbre binomial Le DELTA 1er étape : l’arbre binomial S = 60 C = 3.82 D0 Sd = 54 Cd = 0 D2 Su = 66 Cu = 6.36 D1 u = 1.1 d = 0.9 Suu = 72.6 Cuu = 10.6 Sud = 59.4 Cud = 0 Sdd = 48.6 Cdd = 0 u d t = 0.25 t = 0 t = 0.5

Le DELTA 2eme étape : l’arbre binomial et les Rappel Stratégies : Long Call : short D Action ou Short Call : Long D Action Long Put : Long D Action ou Short Put : Short D Action S = 60 C = 3.82 D0 Sd = 54 Cd = 0 D2 Su = 66 Cu = 6.36 D1 u = 1.1 d = 0.9 Suu = 72.6 Cuu = 10.6 Sud = 59.4 Cud = 0 Sdd = 48.6 Cdd = 0 u d t = 0.25 t = 0 t = 0.5

Arbre binomial avec dividendes Exemple Le prix de l’action S = 10$ Le prix d’exercices K = 9$ On a les paramètres suivant : u = 1.15 d = 0.90 r = 5% par période (deux périodes) Dividende (D) = 1$ et Ex-Dividende Date à t =1 Quel est le prix d’une option d’achat européenne?

Arbre binomial avec dividendes 1er étape : l’arbre binomial t = 0 t = 1 t = 2 Suu = 12.075 cuu = 3.075 11.5 - 1 Sud = 9.45 cud = 0.45 10.5 10 Sdu = 9.20 cdu = 0.20 9 - 1 Dans la vraie vie, le prix de l’action baisse à la date ex-dividende. Dans la série d’exercices, on utilise d’ailleurs la date ex-dividende. Sdd = 7.20 cdd = 0 8

Arbre binomial avec dividendes 2eme étape : Les nœuds finaux t = 2 t = 1 cuu = 3.075 cu = e-.05x1 [0.6051x3.075 + (1-0.6051)x0.45] = 1.94 cud = 0.45 cdu = 0.20 cd = e-.05x1 [0.6051x0.20 + (1-0.6051)x0] = 0.115 cdd = 0

Arbre binomial avec dividendes 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 cu = 1.94 c = e-.05x1 [0.6051x1.94 + (1-0.6051)x0.115] = 1.16 cd = 0.115

Arbre binomial avec dividendes Même exercice, Option d’achat Américaine 2eme étape : Les nœuds finaux t = 1 t = 2 e-.05x1 [0.6051x3.075 + (1-0.6051)x0.45] cuu = 3.075 cu = Max {0, 11.5 - 9, 1.94} = 2.5 cud = 0.45 e-.05x1 [0.6051x0.20 + (1-0.6051)x0] cdu = 0.20 cd = Max {0, 9 - 9, 0.115} = 0.115 cdd = 0

Arbre binomial avec dividendes Même exercice, Option d’achat Américaine 3eme étape : Le dernier nœud t = 0 t = 1 e-.05x1 [0.6051x2.5 + (1-0.6051)x0.115] cu = 2.5 c = Max {0, 10 - 9, 1.48} = 1.48 cd = 0.115

Arbres binomiaux en pratique À l’échéance de l’option, il est peu probable que le prix de l’action tombe sur une des trois valeurs de l’arbre. Pour ajouter de la précision, il faut ajouter des nœuds (périodes) 30 nœuds ou plus donne une bonne approximation Comment détermine-t-on la valeur de u et d? On se base sur la volatilité du titre sous-jacent (σ) On fait aussi des ajustements à chaque période pour tenir compte du fait que les taux d’intérêt ne sont pas constants d’une période à l’autre.