La fonction quadratique - Le sommet de la parabole. - L’équation de l’axe de symétrie. - L’extrémum. - L’ordonnée à l’origine.

Le sommet d’une parabole est donné par S(h , k). Démonstration 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x La parabole de base à son sommet à l’origine du plan. Les coordonnées du sommet sont donc (0 , 0). Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple : si h = 2, alors nouvelles coordonnées : S (0 + 2 , 0) S (0 + h , 0) S (h , 0)

Le sommet d’une parabole est donné par S(h , k). La parabole de base à son sommet à l’origine du plan. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Les coordonnées du sommet sont donc (0 , 0). Le paramètre k crée une translation verticale. Exemple : si k = 3, alors nouvelles coordonnées : S (0 , 0 + 3) S (0 , 0 + k) S (0 , k)

S (h , k) Ainsi, dans la fonction f(x) = (x – 2)2 + 3 le sommet de la parabole : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x S (0 + 2 , 0 + 3) S (0 + h , 0 + k) S (h , k)

x = h L’équation de l’axe de symétrie est donné par x = h Démonstration La parabole de base a comme axe de symétrie l’axe des y. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x ou x = 0 Le paramètre h crée une translation horizontale. Exemple : si h = 2, alors x = 0 + 2 x = 0 + h x = h

∞ , 1] [ 1 , + ∞ L’axe de symétrie est utile, car il permet : - d’analyser la croissance et la décroissance de la fonction : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x f(x) sur : - ∞ , 1] f(x) sur : [ 1 , + ∞ - de déterminer l’abscisse du sommet de la parabole : S ( 1 , k ) - de repérer les zéros de fonction : x1 = - 1 axe de symétrie x = 1, donc x2 = 3

La coordonnée K nous renseigne sur l’extrémum de la fonction. S (h , ) k Ainsi, dans la fonction : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x f(x) = (x – 2)2 + 3 S (2 , ) 3 k = 3 Minimum absolu : 3 Dans la fonction : f(x) = - (x – 2)2 + 3 S (2 , ) 3 k = 3 Maximum absolu : 3

L’ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) est la valeur de f(x) quand x = 0. À cet endroit, la fonction traverse l’axe des ordonnées (axe des y). x y Donc f(0) Elle se calcule donc assez facilement dans n’importe quelle forme. Exemples : f(x) = 2x2 + x - 15 f(x) = 2 (x - 2)2 - 7 f(0) = 2 X 02 + 0 - 15 = -15 f(0) = 2 (0 - 2)2 - 7 f(0) = -15 f(0) = 2 (-2)2 - 7 f(0) = 2 X 4 - 7 = 1 f(0) = 1

Forme canonique Forme générale f(x) = a (x – h)2 + K La fonction quadratique peut s’écrire sous la forme canonique ou sous la forme générale, donc : Forme canonique Forme générale f(x) = a (x – h)2 + K f(x) = ax2 + bx + c - b 2a 4a 4ac – b2 S , Sommet : S (h , k) Sommet : - b 2a x = Axe de symétrie : x = h Axe de symétrie : 4ac – b2 4a Extrémum : k Extrémum : Ordonnée à l’origine : f(0) Ordonnée à l’origine : f(0)

Exercice Dans les fonctions suivantes, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine. S (h , k) x = h Extrémum : k Ordonnée à l’origine : f(0) f(x) = 3 (x – 2)2 - 4 S (2 , - 4) x = 2 Min. abs. : - 4 8 f(x) = - 2 (x + 3)2 + 2 S (-3 , 2) x = - 3 Max. abs. : 2 - 16 Attention aux signes ! f(x) = - 2 (x + 3)2 + 2 f(x) = - 2 (x - - 3)2 + 2 Car, f(x) = a (x - h)2 + k Donc, h = - 3

Exercice Dans la fonction suivante, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine. f(x) = x2 + 6 x + 8 a = 1 b = 6 c = 8 - b 2a 4a 4ac – b2 S , Axe de symétrie : x = - 3 Extrémum : Min. abs. : - 1 - 6 2 X 1 4 X 1 4 X 1 X 8 - 62 S , Car a = + 1, donc - 6 2 4 32 - 36 S , Ordonnée à l’origine : f(x) = x2 + 6 x + 8 f(0) = 02 + 6 X 0 + 8 = 8 - 6 2 4 - 4 S , S (- 3 , -1) f(0) = 8