THEOREME DE PYTHAGORE Chapitre 8 1) Vocabulaire 2) Théorème de Pythagore 3) Réciproque du théorème de Pythagore

ABC est un triangle rectangle en A. 1) Vocabulaire Hypoténuse B A C Côtés de l’angle droit Côtés de l’angle droit ABC est un triangle rectangle en A.

2) Théorème de Pythagore a) Construction b) Énoncé du théorème c) Exemples d) Contraposé

a) Construction

b) Énoncé du théorème donc a ² + b ² = c ² aire 1 + aire 2 = aire 3 L’aire de ce carré est b ² L’aire de ce carré est a ² 2 1 a b c L’aire de ce carré est c ² 3 donc a ² + b ² = c ² aire 1 + aire 2 = aire 3

AB ² + AC ² = BC ² Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés. B Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB ² + AC ² = BC ² A C

c) Exemples Utilisation : Exemple 1 Calculer EF. Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté si on connaît la longueur des deux autres côtés. Exemple 1 D Calculer EF. On sait que Le triangle DEF est rectangle en F. d’après le théorème de Pythagore, on a donc : EF ² + ED ² = DF ² EF ² + 6 ² = 10 ² EF ² + 36 = 100 EF ² + 36 – 36 = 100 – 36 EF ² = 64 EF = 8 cm. 6 cm 10 cm E F

Exemple 2 Calculer BC. C 10 cm On sait que B Le triangle ABC est rectangle en A. d’après le théorème de Pythagore, on a donc : BC ² = AB ² + AC ² BC ² = 8 ² + 10 ² BC ² = 64 + 100 BC ² = 164 BC ≈ 12,8 cm. B 8 cm A On utilise la touche de la calculatrice

d) Contraposé Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle. N MNP est un triangle dont le plus grand côté est [MP] ; MP ² MN ² + NP ² Si M Alors le triangle MNP n’est pas rectangle. Exemple P Ce triangle est-il rectangle ? Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AB] et AB ² = 7 ² = 49 ; AC ² + BC ² = 5 ² + 6 ² = 25 + 36 = 61 C 5 cm 6 cm A 7 cm On a AB ² AC ² + BC ², Donc le triangle ABC n’est pas rectangle. B

Si un triangle EFG est tel que Alors ce triangle est rectangle en E. 3) Réciproque du théorème de Pythagore Si un triangle EFG est tel que FG ² = EF ² + EG ², Alors ce triangle est rectangle en E. Utilisation : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle.

Exemple Démontrer que le triangle suivant est rectangle. C 3,3 cm A B Dans le triangle ABC, le plus grand côté est BC et BC ² = 6,5 ² = 42,25 ; AC ² + AB ² = 3,3 ² + 5,6 ² = 42,25 Donc BC ² = AC ² + AB ², et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.