TEMPS FORT MATHEMATIQUE cycle 2 l’approche de la soustraction à travers des situations problèmes Animation pédagogique Mercredi 28 novembre 2012

Références théoriques BO N°3 19 juin 2008 Equipe ERMEL – INRP Dominique VALENTIN (Membre de l’Equipe de Didactique des Mathématiques de l'INRP ) Gérard VERGNAUD (Directeur de recherche au CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique ) Le nombre au cycle 2, SCEREN Site TFM (Télé Formation en Mathématiques)

BO N°3 19 juin 2008 La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable.

Equipe de didactique des Mathématiques ERMEL Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances : Selon G.Vergnaud (Directeur de recherche au CNRS, spécialiste de psychologie cognitive et de didactique : « le savoir se forme à partir de problèmes à résoudre, c’est-à-dire de situations à maîtriser…Les conceptions des élèves sont façonnées par des situations qu’ils ont rencontrées ».

Les « problèmes pour apprendre » : Les problèmes qui permettent de construire de nouvelles connaissances – les « problèmes pour apprendre » - doivent à la fois permettre à l’élève d’utiliser ses connaissances pour comprendre ce qu’il s’agit de trouver mais aussi l’amener à prendre conscience de l’inadéquation ou de l’insuffisance de ces mêmes connaissances. (Selon D.Valentin : «Un problème est une situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d’élaborer une suite d’actions et d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. »)

Ces « problèmes pour apprendre » sont donc entièrement sous la responsabilité de l’enseignant qui les construit spécifiquement pour chaque objectif précis. Ce sont souvent des situations de manipulation dont nous nous efforçons de faire de réelles situations d’anticipation.

PROGRESSION DANS LES APPRENTISSAGES : La progression conduit à se dégager progressivement des manipulations et à amener l’élève à dépasser le simple stade de l’action afin de s’engager dans un processus de conceptualisation (il faut donc redéfinir la place du problème dans une séquence structurée de Mathématiques)

1 – mettre en œuvre une situation « problème pour apprendre » : - manipulations encadrées (tutelle indispensable) - construction d’une nouvelle notion/connaissance - en début de situation d’apprentissage ou de séance 2 – conduire les élèves à identifier progressivement des catégories de problèmes : Variété maîtrisée des problèmes proposés : diversité des situations additives regroupant les problèmes d’addition et de soustraction.

3 – une fois les manipulations suffisantes :  A travers les situations multiples proposées, recenser les diverses procédures personnelles pour aller vers une procédure experte  construction d’une affiche de référence collectant les différentes procédures (allant du schéma, dessin, addition à trous, soustraction)  Proposer des situations de réinvestissement, d’ automatisation, de transfert : - problèmes d’application (entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle; après la construction d’une connaissance)

- problèmes de réinvestissement (utilisation d’une connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on l’a découverte; pour enrichir le sens d’une connaissance et son champ d’application) - problèmes complexes ou d’intégration (utilisation conjointe de plusieurs connaissances; après un travail sur diverses connaissances.) - problèmes ouverts (pour apprendre à chercher indépendamment des apprentissages notionnels. Ce sont souvent des problèmes à solutions multiples ou n’ayant pas de solution, …)  Pratiquer des situations d’évaluation (vérification des acquisitions des connaissances)

II – traiter conjointement les problèmes additifs et soustractifs Les problèmes additifs et soustractifs relèvent du même domaine conceptuel; il n’y a donc pas lieu de les séparer au niveau des apprentissages. Les savoirs se construisent en interaction les uns avec les autres, par « ressemblances » et par « différenciation ». (Pour mieux comprendre le signe +, il lui faut un « concurrent » : ils se mettront alors en valeur réciproquement.) Il ne s’agit pas d’enseigner prématurément la soustraction, mais de proposer aux élèves de résoudre des problèmes « soustractifs » avec leurs moyens propres et de disposer d’une écriture utilisable dans certains contextes où elle s’oppose à l’écriture additive.

Les différentes catégories de problèmes additifs et soustractifs : 1 – Recherche de l’état final connaissant la transformation positive et l’état initial. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo? » négative 2 – Recherche de l’état final connaissant la transformation négative et l’état initial. « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? » 3 – Recherche de l’état initial connaissant la transformation positive et l’état final. « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo? » 4 – Recherche de l’état initial connaissant la transformation positive et l’état final. « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait-il de billes? » 5 – Recherche de la transformation positive connaissant l’état initial et l’état final. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo? » 6 – Recherche de la transformation négative connaissant l’état initial et l’état final. « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a-t-il données à Juliette? » 7 – Recherche de la composée de 2 états. « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo a-t-il données à Juliette? »

8 – Recherche d’un état connaissant un second état et la composée des 2 états. « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes? » 9 – Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison positive. « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 10 – Recherche de l’état à comparer connaissant l’état comparé et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 11 – Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison positive. « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 12 – Recherche de l’état comparé connaissant l’état à comparer et la comparaison négative. « Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle? » 13 – Recherche de la comparaison positive connaissant les 2 états. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a-t-elle de plus que Léo? » 14 – Recherche de la comparaison négative connaissant les 2 états. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a-t-elle de moins que Léo? »

LA SOUSTRACTION Les trois sens de la soustraction Il y a 3 manières de concevoir la soustraction. Il est préférable de les aborder simultanément et non les unes derrière les autres. Le sens « enlever » : j’utilise la soustraction pour calculer le reste d’une quantité d’objets. Un paquet de bonbons contient 12 bonbons. Léa en donne 5 à sa soeur. Christophe avait 52 billes et il en perd 18 pendant la récréation. Combien lui en reste-t-il ? Ce sens est rapidement compris des élèves et permet d’introduire facilement le signe -. Pour obtenir le résultat, l’élève peut dessiner des images et en barrer ou bien, s’il effectue un réel calcul, décompter (12, 11, 10). Il y est d’autant plus invité qu’on trouve dans l’énoncé la présence de mots inducteurs « donne », « perd ». 12 – 5 = 7 Il reste 7 bonbons Ce sens est particulièrement adapté lorsqu’on enlève peu.

Le sens « pour aller à » : j’utilise la soustraction pour calculer un complément ou ce qui manque Stéphanie avait 34 images. Sa maman lui en donne d’autres. Stéphanie a maintenant 50 images. Combien d’images lui a données sa maman ? J’ai 25 € pour acheter un jeu vidéo qui coûte 42€. Combien me manque t-il ? Le sens « pour aller à » est bien adapté à la compréhension des problèmes arithmétiques nécessitant de chercher ce qu’on a ajouté ou de chercher une partie connaissant le tout et l’autre partie. Du point de vue du calcul, ce sens facilite la recherche du résultat d’une soustraction dans e cas où on enlève beaucoup. 34 pour aller à 5042 – 25 = 17 Il me manque 17 € Une recherche sur bande numérique est adaptée.

Le sens « écart » : j’utilise la soustraction pour calculer un écart ou une différence. Paul et Ingrid comparent leurs tailles. Paul mesure 164 cm et Ingrid 152 cm. Antoine a 13 images et Lucas a 28 images. Qui a le plus d’images ? Combien en a- t-il en plus ? Le sens de la différence ou écart intervient dans des problèmes de comparaison. Rien, dans ce type d’énoncé n’invite à la soustraction. On peut transformer le problème en une situation d’égalisation: Ex : combien faut-il donner d’images à Antoine pour qu’il en ait autant que Lucas? Je peux calculer : 164 – 152 = 12 Entre Paul et Ingrid, il y a 12 cm d’écart. 13 pour aller à 28 ou 28 – 13 = 15 On se rapproche alors de la situation « pour aller à ».

En conclusion… L’apprentissage de la technique opératoire ne peut être dissocié de la résolution de problèmes qui donnent du sens aux techniques de calcul. Il est indispensable d’entretenir les connaissances et de reprendre ces types de problèmes et leur classification régulièrement, tout au long de l’année, dans des contextes variés et différents. C’est un ancrage à long terme qui est visé. Enfin, cette logique peut être transposée au champ multiplicatif (l’approche de la division, groupement/partage, nouvelle au CE1, se prête particulièrement à cette démarche.