La dynamique locale des écoulements fluides parfaits

Définition : Un fluide parfait est un modèle dans lequel le fluide ne subit pas de force de cisaillement ou de force de viscosité

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation

Photo à l’instant t P O x y z (R) rM M dm = (M,t).d A l’instant t, les points M et P coïncident : a(M,t) = aP(t)

L’équation d’Euler En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

L’équation d’Euler En M, à la date t, dans le référentiel R’ non galiléen :

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences a) Le champ du vecteur tourbillon

Théorème de Lagrange Dans un champ de forces volumiques conservatif, comme le champ de pesanteur, un écoulement parfait, incompressible et homogène, qui est irrotationnel à un instant t0 reste irrotationnel ultérieurement, t > t0.

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences a) Le champ du vecteur tourbillon b) Écoulement horizontal

Le long de l’axe z, la pression suit la loi de la statique v(M,t) = v(x,t).ux g v1 v2 O x z (R) Le long de l’axe z, la pression suit la loi de la statique

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits I) L’équation d’Euler 1) Expression de l’équation 2) Conséquences 3) Solution d’un problème

Fluide en mouvement O v, P v0 P0

vt,fluide est quelconque Conditions aux limites au niveau d’une paroi Obstacle Fluide ambiant n t  M Fluide parfait : n.vfluide = n.vparoi ; vt,fluide est quelconque Fluide réel : vfluide = vparoi

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait 1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel

Théorème de Bernoulli En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Théorème de Bernoulli L’écoulement est stationnaire : Dans le champ de pesanteur uniforme, la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z) L’écoulement est incompressible et homogène :  est constant et uniforme

Théorème de Bernoulli Pour deux points A et B quelconques appartenant à la même ligne de courant d’un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel :

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits II) Les théorèmes de Bernoulli pour un écoulement parfait 1) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et rotationnel 2) Écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel

Théorème de Bernoulli En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Théorème de Bernoulli L’écoulement est stationnaire : Dans le champ de pesanteur uniforme, la densité massique de force s’écrit : g = – grad(g.z) L’écoulement est incompressible et homogène :  est constant et uniforme L’écoulement est irrotationnel : rotv = 0

Théorème de Bernoulli L’équation d’Euler devient : En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :

Théorème de Bernoulli Pour un écoulement parfait, stationnaire, homogène, incompressible et irrotationnel en tout point M du fluide

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi a) Le phénomène Venturi

S1 > S2 ; v1 < v2 ; P1 > P2 Le phénomène Venturi S1 1 P1 A1 v1 S2 2 P2 A2 v2 ux S1 > S2 ; v1 < v2 ; P1 > P2

Le phénomène Venturi L’effet Venturi est l’apparition d’une dépression dans une région où les lignes de courant se resserrent

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi a) Le phénomène Venturi b) Mise en évidence et applications

La balle de ping – pong Aspiration de la balle P2 < P1 F P1 P2 Resserrement des lignes de courant P2 < P1  Aspiration de la balle

Le brumisateur P1 P2 P2 < P1  Aspiration du liquide

L’aile d’avion P2 < P1  Extrados Intrados P1 P2 Portance

Resserrement au niveau du toit La toiture Maison P1 P2 F F’ P2 < P1 Resserrement au niveau du toit

La pompe à vide Aspiration P1 P2 Tube B P1 > P2 le rétrécissement donne naissance à une dépression qui permet l’aspiration du fluide dans le tube B

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot

Le tube de Pitot A B Ecoulement h

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir a) Vitesse d’éjection

Vidange d’un réservoir Liquide O x z h zA B A S g s P0 zB

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir a) Vitesse d’éjection b) Temps de vidange

Vidange d’un réservoir Liquide O x z h zA B A S g s P0 zB

La dynamique locale des écoulements fluides parfaits III) Applications du théorème de Bernoulli 1) L’effet Venturi 2) Le tube de Pitot 3) Vidange d’un réservoir 4) L’effet Magnus

v0 Obstacle Portance Traînée

 A B C O F V0 Fluide en mouvement Cylindre en rotation

L’effet Magnus Si  > 0, la balle est coupée, la portance est augmentée ; si  < 0, la balle est liftée, la portance est réduite.

Fluide en mouvement V0 F  Balle coupée F  Balle liftée