02/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours

02/10/07 Rappel du dernier cours Annuité différée

02/10/07 Rappel du dernier cours Annuité différée Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes

02/10/07 Rappel du dernier cours Annuité différée Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement

02/10/07 Rappel du dernier cours Annuité différée Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement Valeur d’une annuité au m e paiement

02/10/07 Rappel du dernier cours Annuité différée Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement Valeur d’une annuité au m e paiement Rente perpétuelle

02/10/07 Rappel - Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes:

02/10/07 Rappel - Valeur actuelle d’une annuité dont le début est différé de m périodes:

02/10/07 Rappel - Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement:

02/10/07 Rappel - Valeur accumulée d’une annuité m périodes après le dernier paiement:

02/10/07 Rappel - Valeur d’une annuité au m e paiement:

02/10/07 Rappel - Valeur d’une annuité au m e paiement:

02/10/07 Rappel - Valeur d’une rente perpétuelle de fin de période

02/10/07 Rappel - Valeur d’une rente perpétuelle de fin de période

02/10/07 Exemple 1: Cicéron a laissé en héritage $ placé dans un fonds de placement rémunéré au taux d’intérêt de 6.75% par année. Dans ses dernières volontés, il a exprimé le souhait que son organisme de charité favori: « la Société pour l’amélioration du discours » recoive une rente perpétuelle consistant en des paiements de X dollars à tous les ans pour toujours, le premier paiement débutant un an après sa mort. Déterminer X.

02/10/07 Exemple 1: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

02/10/07 Exemple 1: (suite) Nous obtenons ainsi que X = $ par année.

02/10/07 Rente perpétuelle de début de période : Nous allons maintenant considérer une annuité pour laquelle les paiements ne s’arrêtent jamais et ceux-ci sont faits au début de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il n’y a pas de valeur accumulée parce qu’il n’y a pas de dernier paiement.

02/10/07 Notation: Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle de début de période par

02/10/07 Le diagramme d’entrées et sorties de cette situation est le suivant:

02/10/07 Valeur actuelle: Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires d’obtenir que où d est le taux d’escompte équivalent au taux d’intérêt i

02/10/07 Valeur actuelle: (suite) En effet, De cette dernière formule, nous obtenons le résultat.

02/10/07 Interprétation de la formule où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1.

02/10/07 Interprétation (suite) Nous avons

02/10/07 Interprétation (suite) Donc est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de

02/10/07 Interprétation (suite) Noons que ce dernier paiement est approximativement égal à k dollars.

02/10/07 Interprétation de la formule où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1.

02/10/07 Interprétation (suite) Nous avons

02/10/07 Interprétation (suite) Donc est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

02/10/07 Les notions précédentes sont utiles afin de déterminer le nombre de paiements d’une annuité lorsque nous connaissons le taux d’intérêt, les versements de l’annuité et soit sa valeur actuelle, soit sa valeur accumulée.

02/10/07 Par exemple il n’existe pas nécessairement un entier n qui permette de résoudre l’équation dans laquelle P, R et i sont donnés.

02/10/07 Cependant il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre l’équation dans laquelle P, R et i sont donnés.

02/10/07 En effet, nous obtenons où  est le taux instantané constant de l’intérêt équivalent au taux d’intérêt i

02/10/07 Exemple 2: Un capital de $ doit être utilisé pour faire des paiements de 1000$ à tous les mois. Ce placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt i (12) = 9% par année capitalisé à tous les mois et les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Le premier paiement est fait à la fin de premier mois. Combien de paiements peut-on faire?

02/10/07 Exemple 2: (suite) Le taux d’intérêt par mois est

02/10/07 Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

02/10/07 Exemple 2: (suite) Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0 La solution de cette équation est n + k = mois. Ici n = 371 et k =

02/10/07 Exemple 2: (suite) Cette solution signifie que nous pourrons faire un paiement de 1000$ à la fin de chaque mois pendant 371 mois et un dernier paiement fait mois (approximativement 2 jours) après le dernier paiement de 1000$ et ce dernier paiement est au montant de

02/10/07 Remarque 1: L’exemple précédent illustre une des difficultés lorsque ceci a à être mis en application. L’idée de faire un paiement de 62.84$ environ 2 jours après le dernier paiement de 1000$ n’est pas très pratique. La solution est plutôt de gonfler le dernier paiement ou encore de faire un paiement réduit à la fin du mois suivant.

02/10/07 Exemple 3: Nous allons illustrer ceci dans l’exemple 2. La solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons ainsi 370 paiements de 1000$ et un dernier paiement de X dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer X.

02/10/07 Exemple 4: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

02/10/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

02/10/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X = $ et est fait à la fin du 371 e mois.

02/10/07 Exemple 3: (suite) Nous allons illustrer l’autre solution, celle du dernier paiement réduit dans l’exemple 2. Nous ferons ainsi 371 paiements de 1000$ et un dernier paiement de Y dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer Y.

02/10/07 Exemple 3: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:

02/10/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est:

02/10/07 Exemple 3: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y = 63.28$ et est fait à la fin du 372 e mois.

02/10/07 Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de paiements dans le cas de la valeur actuelle peut aussi être utilisé pour le calcul du nombre de paiements dans le cas de la valeur accumulée.

02/10/07 Ainsi il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre l’équation dans laquelle A, R et i sont donnés.

02/10/07 En effet, nous obtenons où  est le taux instantané constant de l’intérêt équivalent au taux d’intérêt i

02/10/07 Exemple 4: Anatole veut accumuler un capital de $ en faisant des versements de 800$ à toutes les semaines dans un placement rémunéré au taux nominal d’intérêt i (52) = 5% par année capitalisé à toutes les semaines. Combien de versements doit-il faire?

02/10/07 Exemple 4: (suite) Le taux d’intérêt par semaine est

02/10/07 Exemple 4: (suite) Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0

02/10/07 Exemple 4: (suite) Nous avons ainsi l’équation de valeur suivante à t = 0 La solution de cette équation est n + k = semaines. Ici n = 48 et k =

02/10/07 Exemple 4: (suite) Cette solution signifie que Anatole fera un versement de 800$ à la fin de chaque semaine pendant 48 semaines et un dernier versement fait à semaine (approximativement 6 jours) après le dernier versement de 800$ et ce dernier versement est au montant de Le montant accumulé lors de ce dernier versement sera alors de 40000$.

02/10/07 Exemple 4: (suite) Si nous considérons plutôt la situation d’un dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48 versements: les 47 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de X dollars fait à la fin de la 48 e semaine. Le diagramme de ce flux est

02/10/07 Exemple 4: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est:

02/10/07 Exemple 4: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Nous obtenons ainsi que le dernier versement est X = $ et est fait à la fin de la 48 e semaine.

02/10/07 Exemple 4: (suite) Si nous considérons plutôt la situation d’un dernier versement réduit, alors Anatole fera 49 versements: les 48 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de Y dollars fait à la fin de la 49 e semaine. Le diagramme de ce flux est

02/10/07 Exemple 4: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est:

02/10/07 Exemple 4: (suite) L’équation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Nous obtenons ainsi que le dernier versement est Y = $ et est fait à la fin de la 49 e semaine.