Triangle rectangle Leçon 2 Objectifs : - Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle. - Caractériser les points d’un cercle de diamètre donné par la propriété de l’angle droit. - Caractériser le triangle rectangle par le théorème de Pythagore et sa réciproque. Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à partir des deux autres.

I - Cercle circonscrit à un triangle. a) Définition. Le cercle qui passe par les trois sommets d’un triangle s’appelle : le cercle circonscrit à ce triangle . b) Propriété. Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point de concours de ses médiatrices.

II - Cercle circonscrit à un triangle rectangle. a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse (son centre est le milieu de l’hypoténuse) .

Exemple : F Données : E G Le triangle EFG est rectangle en F Propriété : Si un triangle est rectangle, Alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse . Conclusion : Le cercle circonscrit au triangle EFG a : - pour centre le milieu de son hypoténuse [EG], - passe par le point F.

b) Réciproque. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté du triangle, Alors le triangle est rectangle, et ce diamètre est son hypoténuse.

III – Médiane d’un triangle rectangle. a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Exemple : Données : Le triangle EFG est rectangle en F I milieu de [EG], [EG] est l’hypoténuse Propriété : Si un triangle est rectangle, Alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. Conclusion : F E G I

b) Réciproque. Si dans un triangle la médiane relative au plus long côté est égale à la moitié de ce côté, Alors ce triangle est un triangle rectangle qui a pour hypoténuse ce côté.

IV – Théorème de Pythagore. a) Propriété . Si un triangle est rectangle, Alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C Le triangle ABC est rectangle en A, [BC] est son hypoténuse. Donc d’après le théorème de Pythagore: BC2 = AB2 + AC2 A B

Exemple : K Données : 7 cm Le triangle KLM est rectangle en M [LK] est son hypoténuse. ? cm M Propriété : L 3 cm D’après le théorème de Pythagore : Conclusion : LK2 = MK2 + ML2 LK2 = 72 + 32 LK² = 49 + 9 LK²= 58 Donc , valeur approchée au dixième près.

b) Réciproque. Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté.

I Exemple 1 : Données : 4,5 cm 6 cm Soit le triangle IJK tel que : IJ = 6 cm, IK = 4,5 cm et JK = 7,5 cm K J 7,5 cm [JK] est le plus long côté. JK2 = 7,52 = 56,25 IJ2 + IK2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 Propriété : On constate que : JK2 = IJ2 + IK2 Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore : Conclusion : Le triangle IJK est rectangle en I.

Exemple 2 : E Données : Soit le triangle EFG tel que : EF = 3 cm, EG = 3,5 cm et FG = 4,5 cm 3,5 cm 3 cm F G 4,5 cm [FG] est le plus long côté. FG2 = 4,52 = 20,25 EF2 + EG2 = 32 + 3,52 = 9 + 12,25 = 21,25 Propriété : On constate que : Or, d’après le théorème de Pythagore, si le triangle était rectangle, il y aurait égalité. Conclusion : Comme ce n’est pas le cas, le triangle EFG n’est pas rectangle.