27/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-troisième cours

27/11/07 Rappel du dernier cours Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d’un fonds d’accumulation.

27/11/07 Rappel du dernier cours Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d’un fonds d’accumulation. Situation où le taux d’intérêt i du prêt et le taux d’intérêt du fonds d’accumulation j sont égaux.

27/11/07 Rappel du dernier cours Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d’un fonds d’accumulation. Situation où le taux d’intérêt i du prêt et le taux d’intérêt du fonds d’accumulation j sont égaux. Obligations négociables.

27/11/07 Rappel du dernier cours Calcul du montant total versé (intérêt et dépôt) dans le cas d’un fonds d’accumulation. Situation où le taux d’intérêt i du prêt et le taux d’intérêt du fonds d’accumulation j sont égaux. Obligations négociables. Notations nécessaires pour le calcul du prix et du taux de rendement pour les obligations.

27/11/07 Rappel: la valeur actuelle d’une annuité consistant en des paiements de 1$ à la fin de chaque période pour n périodes telle que est le montant d’intérêt payé sur le prêt et est le montant versé dans un fonds à chaque période. est

27/11/07 Rappel: Nous obtenons alors l’équation suivante: Conséquemment

27/11/07 Rappel: Si le taux d’intérêt du prêt i est égale au taux d’intérêt du fonds d’amortissement j, alors la table d’amortissement du prêt est équivalente à celle du fonds d’amortissement lorsque les paiements sont égaux pour la table d’amortissement et les dépôts dans le fonds d’amortissement sont égaux.

27/11/07 Rappel: Le montant net d’intérêt payé à la fin de la k e période dans le cas du fonds d’amortissement est égal à la portion d’intérêt payé dans le k e paiement dans la table d’amortissement. Le montant net du prêt après le k e dépôt dans le cas du fonds d’amortissement est égal au solde restant après le k e paiement dans la table d’amortissement.

27/11/07 Rappel: Si i = j, nous avons aussi que et le total versé (intérêt et dépôt) dans le cas du fonds d’amortissement est égal au paiement dans le cas de la table d’amortissement.

27/11/07 Rappel: Les obligations avec coupon: L’émetteur s’engage à verser aux souscripteurs l’intérêt à intervalles réguliers (ce sont les coupons) et la valeur de remboursement de l’obligation à une date d’échéance déterminée.

27/11/07 Rappel: P désignera le prix de l’obligation. C’est ce que paie le souscripteur F désignera la valeur nominale de l’obligation (« face amount » ou « par value » en anglais). Il s’agit de la valeur inscrite sur l’obligation et qui sert à déterminer le montant d’intérêt à verser régulièrement. C désignera la valeur de remboursement, i.e. le montant remboursé à l’échéance. En général, C = F et nous disons que l’obligation est remboursé au pair. Il peut arriver que C ≠ F.

27/11/07 Rappel: r est le taux d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). C’est le taux facial. Il est indiqué sur l’obligation et sert à déterminer le montant d’intérêt que l’émetteur doit verser régulièrement aux souscripteurs. Fr est le montant d’intérêt versé périodiquement. Ce montant est appelé le coupon.

27/11/07 Rappel: g est le taux modifié d’intérêt par période de capitalisation de l’intérêt (ou encore par période de paiement des coupons). g est défini par l’équation Cg = Fr. Si l’obligation est remboursé au pair, alors g = r. i désignera le taux de rendement de l’obligation par période de paiement des coupons en supposant que l’obligation est détenue jusqu’à sa date de maturité ou de rédemption et que les versements de l’intérêt (i.e. les coupons) sont réinvestis aussi au taux i. En général, ce taux est exprimé comme un taux nominal pour lequel la période de capitalisation est celle des coupons.

27/11/07 Rappel: n est le durée de vie de l’obligation, i.e. le nombre de périodes de capitalisation du taux de rendement jusqu’à la date de maturité ou de rédemption de l’obligation. Nous supposerons premièrement que n est bien déterminé. Nous discuterons plus tard le cas des obligations rachetables (« callable bonds »). Dans ce dernier cas, il y a des dates possibles de rachat par l’émetteur de l’obligation. Ceci aura aussi des incidences sur le taux de rendement. K désignera la valeur actuelle de la valeur de remboursement C de l’obligation à la date de maturité ou de rédemption calculée au taux de rendement i, c’est-à-dire K = C n où = (1 + i ) -1. G est le montant de base de l’obligation, i.e. le montant qui investit au taux de rendement i engendre les mêmes coupons. Donc G est défini par Gi = Fr.

27/11/07 La formule basique reliant le prix P et le taux de rendement i immédiatement après le paiement d’un coupon est ou encore

27/11/07 En effet, nous avons le flux financier suivant: et nous supposons que les coupons sont réinvestis au taux de rendement i

27/11/07 Nous discuterons plus tard de la relation entre le prix d’une obligation et son taux de rendement lorsque nous sommes entre des paiements de coupon. Nous allons poursuivre notre analyse des formules immédiatement après des coupons.

27/11/07 Nous avons d’autres formules déduites de la formule basique. Si nous utilisons l’équation Nous obtenons alors le formule Prime/Escompte:

27/11/07 Si P > C, nous disons que l’obligation est vendue à prime. Si P < C, alors nous disons que l’obligation est vendue à escompte. La différence (P - C) doit être amortie d’un point de vue comptable et nous discuterons de ceci plus tard.

27/11/07 Si nous utilisons l’équation Alors nous obtenons la formule du montant de base:

27/11/07 Finalement nous obtenons la dernière formule, celle de Makeham: Cette dernière formule nous servira pour des obligations en série.

27/11/07 Exemple 1: Déterminons le prix d’une obligation dont la valeur nominale est 75000$ d’une durée de vie de 15 ans ayant des coupons semestriels au taux facial: le taux nominal de 8% par année capitalisée semestriellement et qui sera remboursé à 78000$ si cette obligation est achetée pour que le taux de rendement soit 10% par année capitalisé semestriellement.

27/11/07 Exemple 1: (suite) Avec nos notations précédentes, nous avons F = 75000$ C = 78000$ r = 8%/2 = 4% par semestre n = 15 x 2 = 30 semestres i = 10%/2 = 5% par semestre

27/11/07 Exemple 1: (suite) Le coupon semestriel de cette obligation est (0.04) = 3000$ Le flux financier de cette obligation est

27/11/07 Exemple 1: (suite) Avec la formule basique nous obtenons Dans ce cas, cette obligation est achetée à escompte.

27/11/07 Exemple 1: (suite) Nous allons aussi illustrer les autres formules. Si nous considérons la formule prime/escompte, alors Ci = 78000(0.05) = 3900$ et nous obtenons

27/11/07 Exemple 1: (suite) Si nous considérons maintenant la formule du montant de base, alors le montant de base G est défini par Gi = Fr (« = coupon ») et, pour cette obligation, nous obtenons G (0.05) = 3000 et G = 60000$. Donc le prix est

27/11/07 Exemple 1: (suite) Finalement si nous considérons maintenant la formule de Makeham, alors le taux modifié d’intérêt g est défini par Cg = Fr (« = coupon ») et, pour cette obligation, nous obtenons g = 3000 et g = %. La valeur actuelle de la valeur de remboursement au taux de rendement est K = 78000(1.05) -30 = $. Donc le prix est

27/11/07 Exemple 2: Dans le Wall Street Journal du 22 novembre 2004, il y avait les cotations suivantes du Département du Trésor américain. Rate Maturity Mo/Yr BidAskedChg.Ask. Yld Nov08n100:00100: May08n107:23107: May14104:20104:

27/11/07 Exemple 2: (suite) Nous allons vérifier les prix et taux de rendement pour ces trois obligations en supposant qu’au 22 novembre 2004 nous sommes immédiatement après un paiement de coupon. Ceci n’est pas tout à fait juste. Pour l’obligation Nov08, la date d’échéance est 15 nov 2008, celle de May08, la date est 15 mai 2008 et finalement celle de May14, c’est 15 mai 2014.

27/11/07 Exemple 2: (suite) Pour les obligations du Département du Trésor américain, les coupons sont semestriels et les taux (facial et rendement) sont nominaux. La valeur faciale des cotations est 100$ et la valeur de remboursement de ces obligations est aussi la valeur faciale 100$. Ces obligations sont remboursées au pair.

27/11/07 Exemple 2: (suite) Pour l’obligation Nov08 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 8 semestres et il y aura 8 coupons. Le taux facial est 3.375%/2 = % et le coupon est 100( ) = Le taux de rendement sur le prix demandé est 3.36%/2 = 1.68%. Donc le prix demandé est

27/11/07 Exemple 2: (suite) Le prix demandé dans les cotations est 100:01 signifie 100 1/32, c’est-à-dire $. La différence est attribuable à ce que nous ne sommes pas vraiment immédiatement après le coupon.

27/11/07 Exemple 2: (suite) Pour l’obligation May08 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 7 semestres et il y aura 7 coupons. Le taux facial est 5.625%/2 = % et le coupon est 100( ) = Le taux de rendement sur le prix demandé est 3.25%/2 = 1.625%. Donc le prix demandé est

27/11/07 Exemple 2: (suite) Le prix demandé dans les cotations est 107:24 signifie /32, c’est-à-dire $. La différence est attribuable à ce que nous ne sommes pas vraiment immédiatement après le coupon.

27/11/07 Exemple 2: (suite) Pour l’obligation 4.75 May14 et avec notre hypothèse, la durée de vie est 19 semestres et il y aura 19 coupons. Le taux facial est 4.75%/2 = 2.375% et le coupon est 100( ) = Le taux de rendement sur le prix demandé est 4.15%/2 = 2.075%. Donc le prix demandé est

27/11/07 Exemple 2: (suite) Le prix demandé dans les cotations est 104:21 signifie /32, c’est-à-dire $. La différence est attribuable à ce que nous ne sommes pas vraiment immédiatement après le coupon.

27/11/07 Si nous considérons maintenant ces mêmes obligations hier mardi 26 novembre 2007, alors leurs prix et taux de rendement sont ObligationPrixRendement Nov 08n % May 08n % May 14n %

27/11/07 Comme nous l’avons indiqué, il peut arriver que le prix P de l’obligation soit plus grand (vente à prime) ou encore plus petit (vente à escompte) que la valeur de remboursement C. Pour des raisons comptables, il est nécessaire d’amortir cette écart sur la durée de vie de l’obligation.

27/11/07 Si P C. Nous amortissons ce gain ou perte au moment de chacun des paiements de coupon. Deux méthodes peuvent être utilisées: une méthode actuarielle et une méthode linéaire.

27/11/07 Pour la méthode actuarielle, il faut parler de valeur comptable ou valeur aux livres d’une obligation (« book value » en anglais)

27/11/07 Notations: la valeur comptable de l’obligation après le versement du k e coupon sera notée par B k la portion d’intérêt du k e coupon sera notée par I k l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le k e coupon sera notée P k

27/11/07 Si l’obligation a n versements de coupon, alors B 0 = P et B n = C.

27/11/07 La valeur comptable B k immédiatement après le k e coupon est obtenue en utilisant la formule basique du prix de l’obligation au taux de rendement i lors de l’achat de l’obligation. Il faut considérer la somme des valeurs actuelles des coupons et de la valeur de remboursement.

27/11/07 La portion d’intérêt I k du k e coupon est iB (k- 1). C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i. L’ajustement P k à apporter à la valeur comptable dans le k e coupon est P k = Fr - I k. Nous avons B k = B k-1 - P k.

27/11/07 Considérons maintenant la table d’amortissement d’une obligation dont la valeur de remboursement C = 1$ et les montants des coupons sont égaux. Par la définition de taux modifié d’intérêt, les coupons sont au montant de g dollars. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif.

27/11/07 À cause de la formule prime/escompte, nous avons où i est le taux de rendement.

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Exemple 3: Considérons l’obligation May 08n du Département du Trésor américain achetée le 22 novembre 2004 au prix de pour un taux de rendement de 1.625% par six mois. Le coupon est de 5.625/2 = $ à chaque semestre. La table d’amortissement est alors

27/11/07 Période de capitalisation CouponIntérêt I k Ajustement P k Valeur comptable B k

27/11/07 Il ne faut pas confondre la valeur comptable avec la valeur sur le marché de l’obligation.