Calcul mental et résolution de problèmes numériques en cycle 3 Circonscription de Marignane / 2015-2016 Cécile Berrouiller, cecile.berrouiller@univ-amu.fr

Votre questionnement

Questions qui vont être abordées Pourquoi résoudre des problèmes en calcul mental ? Sur quels éléments s’appuyer pour enseigner la résolution de problème en calcul mental ? Quelle démarche d’apprentissage mettre en œuvre ? Quelques points de repère pour construire une progression

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO BO du 19 juin 2008 : Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. Il renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2008) La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO Projet de programme (13 novembre 2015) : « L’acquisition des quatre opérations sur les nombres, sans négliger la mémorisation de faits numériques et l’automatisation de modules de calcul, se continue dans ce cycle. Les notions mathématiques étudiées prendront tout leur sens dans la résolution de problèmes qui justifie leur acquisition. »

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2015) Compétence « Modéliser » : Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes issus de situations de la vie quotidienne. Reconnaitre et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2015) Compétence « Chercher » : Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc. S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle. Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2015) Compétence « Représenter » : Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, ...

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2015) « Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d’enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d’en étudier de nouvelles. Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en fonction des nombres en jeu et de leur structure. Le calcul contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre). »

Place de la résolution de problèmes numériques dans les IO (2015) Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul : Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations. Sens des opérations. Problèmes relevant : -  des structures additives ; -  des structures multiplicatives.

Recommandations du CNESCO (12/13 nov. 2015) R1 - Les mathématiques doivent être présentées aux élèves comme des outils pour penser, résoudre des problèmes et faire face à des situations de la vie quotidienne. R4 - La compréhension du concept de nombre s’appuie sur les compétences cognitives (verbales, visuo-spatiales, mnésiques...) qui doivent être développées en classe. R5 - Les premiers apprentissages mathématiques doivent reposer sur des manipulations d’objets variées et répétées dans une visée progressive de symbolisation et d’abstraction. R15 - L’enseignement du calcul avec les nombres entiers et décimaux devrait associer l’apprentissage des techniques opératoires à celui du sens des opérations. Il est important de développer l’intelligence du calcul en lien avec une compréhension profonde de la notion de nombre. R17 - Le calcul mental et le calcul en ligne doivent être privilégiés par rapport au calcul posé.

Recommandations du CNESCO (12/13 nov. 2015) R18 - L’enseignement du calcul mental et du calcul en ligne doit être organisé selon une progressivité. R19 - L’enseignement du calcul mental et du calcul en ligne doit donner une place importante à la verbalisation par les élèves de leurs façons de faire, qu’elles soient correctes ou non. R20 - Les élèves doivent apprendre à utiliser le calcul mental ou le calcul en ligne pour déterminer l’ordre de grandeur d’un résultat afin de le contrôler ou, de façon plus générale, pour effectuer un calcul approché. R21 - Les opérations sont introduites par la résolution de problèmes.  R21.1 - Les situations relevant de l'addition et de la soustraction sont travaillées de manière quasi simultanée ; il en est de même des situations relevant de la multiplication et de la division.  R21.2 - Les problèmes proposés appartiennent aux différentes catégories de situations d’addition/soustraction et de multiplication/division afin de permettre à l'élève de reconnaître les différents modèles.

Compétences relatives à la résolution de problèmes à développer Lire, organiser et interpréter l’information Formuler des conjectures Appliquer des méthodes, des techniques Raisonner, démontrer Contrôler, interpréter les résultats Mettre en forme et communiquer

Pourquoi résoudre des problèmes en calcul mental ?

On dispose d'une jarre de vin et d'une jarre d'eau On dispose d'une jarre de vin et d'une jarre d'eau. On prend un verre de vin dans la jarre de vin et on le verse dans la jarre d'eau. Puis, on prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la jarre de vin (le verre est le même pour les deux opérations). Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ? - il y a plus de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin - il y a plus d'eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d'eau - il y a autant de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin.

Jean Julo (Représentations des problèmes et réussite en mathématiques: Un apport de la psychologie cognitive à l'enseignement (1995), Presse universitaire de Rennes) L’élève met en œuvre 3 opérations mentales : Le processus d’interprétation et de sélection Le processus de structuration Le processus d’opérationnalisation

Activité très complexe : Nécessité que celui qui traite le problème parvienne à élaborer une représentation de la situation décrite, un modèle mental Nécessité de s’appuyer sur les caractéristiques sémantiques des problèmes concernant les connaissances relatives aux accroissements, diminutions, combinaisons et comparaisons d’ensembles d’éléments, aux structures multiplicatives… Michel Fayol Donc Aider les élèves à se représenter le problèmes => les entraîner à reconnaître la catégorie du pb posé Aide : place de la question au début = appréhender + facilement l’objet de recherche

Pour Denis Butlen, la pratique régulière du calcul mental permet de réduire l’espace des opérations au profit de l’espace consacré au stockage des données et à la représentation du problème. Libération espace au profit de la construction de la représentation permet une meilleure reconnaissance du modèle (dans le cas où le modèle n’est pas trop nouveau)

Sur quels éléments s’appuyer pour enseigner la résolution de problème en calcul mental ?

Notre mission : Permettre aux élèves de reconnaître des problèmes ayant une même structure Aider à résoudre chaque type de problèmes par des procédures spontanées (personnelles) avant d’accéder aux procédures génériques (expertes) (cf document d’accompagnement des programmes 2002)

Classification des problèmes Gérard Vergnaud (dès 1986) : Les problèmes du champ additif Les problèmes du champ multiplicatif

Problèmes du champ additif Tous ces problèmes peuvent être pensés comme étant différentes manières de résoudre une équation de type x + y = z où l’on connaît deux éléments sur les trois. La classification permet de distinguer des niveau de difficulté pour des situations qui semblent très proche au départ. Il y a 4 grands types.

Problèmes du champ additif GS CP CE1 CE2 CM1 CM2 Transformation d’états Procédure personnelle Procédure experte pour Ef, personnelle pour Ei et T Procédure experte pour Ef et T Procédure experte pour Ef, Ei et T Procédure experte Compositions d’états Procédure experte pour E personnelle pour les autres Procédure experte pour E, E1, E2 Comparaison d’états Composition de transformation

Problèmes du champ multiplicatif La solution de tous ces problèmes peut s’écrire c = b x q ou c = b x q + r avec r < b Ces problèmes peuvent être classés en deux grandes catégories : Les problèmes ternaires Les problèmes quaternaires PB ternaires : 2 subdivisions Pb quaternaires : 4 subdivisions

Les problèmes ternaires A/ type « Fois plus, Fois moins » Etats : quantités, mesures, positions Un seul domaine de grandeur Une relation comparative connue Comparaison multiplicative ou de division Question sur : le référé, le référant ou la relation Dans une classe, il y a 6 filles et 3 fois plus de garçons. Combien y a-t-il de garçon dans la classe ? Avant de commencer la partie, Juliette a 72 billes et Léo 12 billes. Combien Léo en a-t-il de fois moins que Juliette ?

Les problèmes ternaires B/ Produit cartésien Etats : quantités, mesures, positions Trois domaines de grandeurs Variables discrètes ou continues Question sur : la mesure de la grandeur-produit, la mesure de l’un des deux états initiaux. 3 garçons et 4 filles vont danser. Combien de couples différents, composés d’une fille et d’un garçon, peuvent être formés ? Un jardin rectangulaire a une longueur de 7 m et une aire de 35 m2. Quelle est la largeur du jardin ?

Les problèmes quaternaires A/ Multiplication Etats : quantités, mesures, positions Deux domaines de grandeur Rapport fonctionnel faisant référence à l’unité Question sur : le nombre total d’éléments. Léo achète 6 paquets de 12 chewing-gums. Combien a-t-il acheté de chewing-gum ?

Les problèmes quaternaires B/ Division-partition (problèmes de partage) Etats : quantités, mesures, positions Deux domaines de grandeurs Rapport fonctionnel faisant référence à l’unité Question sur : le nombre d’éléments par paquets. La maîtresse a acheté 5 dictionnaires. Elle a payé 45 €. Combien coûte un dictionnaire ?

Les problèmes quaternaires C/ Division-quotition (problèmes de groupements) Etats : quantités, mesures, positions Deux domaines de grandeurs Rapport fonctionnel faisant référence à l’unité Question sur : le nombre d’éléments par paquets. Il y a 28 élèves dans la classe de CM1. Le maître veut faire des équipes de 4 enfants. Combien va-t-il faire d’équipes ?

Les problèmes quaternaires D/ Quatrième proportionnelle (produit en croix) Etats : quantités, mesures, positions Deux domaines de grandeurs 3 ascenseurs peuvent accueillir 36 personnes. Combien de personnes peuvent accueillir 8 ascenseurs ?

Problèmes du champ multiplicatif CP CE1 CE2 CM1 CM2 « fois plus, fois moins » Procédure personnelle Procédure experte (fois plus) Procédure experte Produit cartésien Procédure personnelle (arbre) Procédure experte (mesure de l’aire) multiplication Procédure experte (dimension cardinale) (dimension ordinale) Division-partition Procédure experte (cas où économie de calcul division-partition) Division-quotition Procédure experte (cas où économie de calcul division-quotition) 4ème proportionelle

Niveau de résolution des problèmes Niveau 1 : évocation par l’élève de la situation concrète Niveau 2 : évocation par l’élève d’une mise en relation de la situation avec une situation de référence Niveau 3 : élaboration d’une procédure spontanée du type dessin ou schéma Niveau 4 : élaboration d’une procédure spontanée utilisant un calcul non expert Niveau 5 : élaboration de la procédure générique La résolution de problèmes arithmétiques à l’école, Pascal Hervé

Quelle démarche d’apprentissage mettre en œuvre ?

Une démarche en 5 temps : Évaluation diagnostique Problème de découverte et d’apprentissage Problèmes d’entraînement Problème d’évaluation Problème d’entretien

Evaluation diagnostique Permet, pour chaque type de problème, de connaître le niveau de représentation et de résolution de chaque élève Sur feuille, demander aux élèves de résoudre le problème avec cadre résolution et réponse. Dans un magasin, un jouet vaut 224 €. Il vaut 135 € dans un autre magasin. De combien est-il moins cher dans le deuxième magasin ? Résous le problème dans ce cadre (tu peux dessiner, schématiser, calculer…) Réponse : ………………………………….. Permet d’adapter le parcours d’enseigneemnt aux élèves.

Problème de découverte Intéressant de choisir de passer par des situations d’apprentissage concrètes faisant appel à la manipulation Exemple : recherche de la valeur d’une part dans un problème de division-partage (situation de division-partition) Chaque binôme d’élèves dispose de boîtes d’allumettes (3,5,7) vides et d’une réserve d’allumette (entre 100 et 300). Après avoir vérifié le nombre d’allumettes contenues dans la réserve, chacun doit chercher le nombre d’allumettes qu’il y aura dans chaque boîte mais sans effectuer concrètement le partage. Autoriser calculatrice si demande Affiche

Problèmes d’entraînement Deux temps : Séance d’entraînement : proposer aux élèves des problèmes de la même catégorie de problèmes que ceux proposés dans la situation de découverte Séance de réinvestissement : proposer aux élèves des problèmes de la même catégorie de problèmes mais dans des contextes différents Ces problèmes ont un grand intérêt à être traités mentalement pour favoriser la représentation et l’opérationnalisation Place de la question : début / fin Travail sur les opérateurs sémantiques - énoncé plus ou moins lacunaire Voir le domaine numérique : entiers, décimaux…

Aides possibles Pour aider à l’appropriation du problème : évocation de la situation concrète (niveau 1) : représentation mentale (+ mime, dessin) Pour aider à la mise en relation avec la situation de référence : - « De quels objets parle-t-on ? «  «  Que sait-on sur ces objets ? » « Que cherche-t-on dans le problème ? » - affiches références Pour aider à l’opérationnalisation : - dessins / schéma pour certains élèves Pour aider à passer à l’opération générique : Autoriser calculatrice si demande

Problèmes d’évaluation Objectif : évaluer le processus de reconnaissance de l’opération correspondant à la catégorie de problèmes proposés. Ex : capacité à reconnaître la division comme moyen de résoudre des pb de division-partage

Quelques points de repère pour construire une progression

Bibliographie Le calcul mental entre sens et technique. Denis Butlen (2007). Presses universitaires de Franche-Comté Problèmes additifs et soustractifs. O. Graff, A. Valzan, B. Wozniak (2013). Scéren / CRDP Nord Situations multiplicatives- Problèmes de multiplication et de division O. Graff et B. Wozniak. (2011) Scéren / CRDP Nord

Bibliographie Le nombre au cycle 2. p.13 à 24 Scéren Le calcul mental, Résolution de problèmes et apprentissage document d’accompagnement des programmes 2002.

Bibliographie Des éléments de réflexion à partir des conférences de consensus sur la numération de la CNESCO : http://www.cnesco.fr/fr/conference-de- consensus-numeration/ Et notamment la conférence d’Emmanuel Sander : http://www.cnesco.fr/fr/les-relations-entre-resolution-de-problemes-et- operations/ Et celle de Lieven Verschaffel : http://www.cnesco.fr/fr/les-enjeux-du-calcul-a-lecole-primaire/ Dossier de veille de l’Ifé n°105 de novembre 2015 : http://ife.ens- lyon.fr/vst/DA/detailsDossier.php?parent=accueil&dossier=105&lang=fr