KATALIN GOSZTONYI Université de Szeged, Université Paris 7

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1 KATALIN GOSZTONYI Université de Szeged, Université Paris 7
CULTURE MATHÉMATIQUE ET ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES EN HONGRIE AU XXe SIECLE Problèmes et énigmes au carrefour des cultures, mardi 6 novembre 2012, après-midi KATALIN GOSZTONYI Université de Szeged, Université Paris 7

2 LE CONTEXTE SOCIO-ECONOMIQUE ET CULTUREL

3 RÉFORMES DU SYSTÈME ÉDUCATIF
1868 1ère loi sur l'enseignement général: école primaire obligatoire de 6 à 12 ans Plusieurs réformes concernant l'enseignement secondaire et la formation des enseignants (1883, 1890, 1924 etc.) L'enseignement secondaire en mathématiques: Manó Beke, Gyula Kőnig L'enseignement supérieur en mathématiques: Université de Budapest, l'Université Technique de Budapest et à partir de 1872, l'Université de Kolozsvár (plus tard à Szeged) 1895 Eötvös Collegium à l’example de l’ENS de Paris (formation des enseignants-chercheurs) 1891 Mathematikai és Physikai Társulat [Société des Mathématiques et de la Physique] 1894 Concours Eötvös (en mathématiques pour lycéens) 1892 Mathematikai és Physikai Lapok [Journal mathématique et physique] 1894 KÖMAL [Journal pour lycéens en mathématiques] (hongrois) ou (francais)

4 Lipót FEJÉR (1880-1959) George Pólya
« Pourquoi la Hongrie a-t-elle produit tant de mathématiciens de notre temps? Beaucoup de gens ont posé cette question à laquelle, à mon avis, personne ne peut répondre entièrement. Toutefois, il y avait deux facteurs dont l'influence est manifeste et indéniable sur les mathématiques hongroises. L'un d'entre eux était Léopold Fejér, son travail et sa personnalité. L'autre facteur est la combinaison d'un concours en mathématiques avec un périodique. » G. Pólya: Leopold Fejér, J. London Math. Soc. 36 (1961), Lipót FEJÉR ( ) Chercheur important en analyse mathématique Autour de sa personne, la première école cohérente en recherche mathématique était organisée un professeur charismatique, exercant un influence remarquable sur ses étudiants

5 Sándor KARÁCSONY (1891-1952) - Pasteur calviniste
- Pédagogue, psychologue, philosophe, linguiste… - Dans les années 1940, cercle autour de lui réfléchissant sur les questions de l’éducation - Plusieurs mathématiciens y participent (L. Kalmár, R. Péter, A. Rényi, T. Varga)

6 László KALMÁR (1905-1976) Rózsa PÉTER (1905-1977) Alfréd RÉNYI
Logique, linguistique mathématique, informatique etc Professeur passionné, ayant eu beaucoup d’influence Rédaction de longues lettres mathématiques d’un style très suggestif recherches sur les fonctions récursives Expérience dans l'enseignement public Jeux avec l'infini (livre de vulgarisation, 1943) Manuels scolaires pour les lycées avec T. Gallai (à partir de 1949) Alfréd RÉNYI ( ) Tamás VARGA ( ) Théorie des probabilités Fondation et direction de l'Institut de Mathématiques Soutien au mouvement de réforme de T. Varga Dialogues sur les mathématiques, Lettres sur la probabilité ( oeuvres de vulgarisation pastichant Platon, Galilée Pascal) Prof. de maths, chercheur sur l’enseignement des mathématiques Le chef des expérimentations à l’école primaire et le mouvement de réforme „ complex éducation des mathématiques”

7 LE MOUVEMENT DE RÉFORME DE TAMÁS VARGA
1962 congrès international de l’UNESCO sur l’enseignement des mathématiques à Budapest À partir de 1963: direction d’expérimentations à l’école primaire (élèves de 6-10 ans, plus tard des ans) Années 1970 : le cercle des enseignants participants à l’expérimentation s’élargit; programme du primaire élaboré à partir des éxpériences 1978 nouveau programme officiel Effets importants jusqu’à aujourd’hui Mémoire de T. Varga: conférence, compétition, prix etc. portent son nom Tamás VARGA ( )

8 RÓZSA PÉTER et la publication des « JEUX AVEC L’INFINI »
Née „Rózsa Politzer” en famille juive 1927 diplôme de mathématique-physique à l’Université Péter Pázmány (Budapest) – amitié avec son camarade László Kalmár Enseigne en collège jusqu’à la guerre Recherches sur les fonctions recursives 1943 rédaction de Játék a végtelennel [Jeux avec l’infini] – publié après la guerre Après la guerre, enseigne à l’Institut de la Formation des Enseignants puis à l’Université des Sciences de Budapest De 1949, rédaction de manuels scolaires pour lycées avec T. Gallai Membre de l’Académie Scientifique à partir de 1973 Rózsa PÉTER ( ) Fort intérêt pour les arts, surtout pour la littérature. Conférences et articles pour l’équilibre entre culture scientifique et littéraire, traduction d’un poème de Rilke, critiques de films dans des journeaux… Suit et encourage le mouvement de réforme de T. Varga, le soutient dans la communauté mathématique ainsi qu’au niveau politique

9 RÓZSA PÉTER et ses JEUX AVEC L’INFINI
2010 1957 1944 1974 Traductions en 12 langues étrangères Édition française en 1977

10 RÓZSA PÉTER et son JEUX AVEC L’INFINI
LIRE LES CHAPITRES 4 ET 5 COMME DES SÉRIES DES PROBLÈMES Identifier des problèmes dans le texte le motif et la solution de chaque problème Comment sont-ils organisés en série(s) ?

11 Introduction de la similitude : Borosay-Holenda-Korányi, 1939

12 Introduction de la similitude : Gallai-Péter, 1950

13 Gallai-Péter, 1950 : Les premières phrases du texte
LOTIR UN TERRAIN POUR UN ASSOLEMENT AVEC HERBES. « En quoi diffère le rocher inféconde du sol fertile ? C’était découvert par la biologie soviétique. C’est la science de la vie qui répond à cette ancienne question car le célèbre savant soviétique, Williams a démontré que seulement une végétation vivante peut transformer la roche en sol fertile. » Gallai-Péter, 1950 : Les premières phrases du texte

14 Introduction de la similitude : Gallai-Péter, 1950

15 RÉSUMÉ DES IDÉES PRINCIPALES
Les mathématiques ne sont pas considérées comme statiques et éternelles, plutôt comme une création de l’esprit humain, quelque chose qui change et évolue sans cesse. Les élèves doivent également être accompagnés selon le même processus évolutif de création. La source des mathématiques est l'intuition et l'expérience (non limitée aux observations physiques réelles). Il est important de développer l'intuition à l'aide de nombreux expériences riches et diverses à tous les niveaux de l'éducation. L'activité mathématique est essentiellement dialogique, il s'agit d'une série des questions, des problèmes et des tentatives pour y répondre. L'enseignement des mathématiques est une activité conjointe de l'élève et de l'enseignant. Tout formalisme inutile est découragé, l'utilisation d'un langage formel ne doit être introduite qu’après une préparation appropriée. Le but de l'enseignement des mathématiques n'est pas de transmettre de manière irréfléchie des recettes des calculs : il est de fournir une initiation au processus de la création mathématique, et par conséquent d'éduquer les gens à réfléchir. Le processus de la création mathématique est en relation étroite avec le jeu, et dans cette aspect ludique, c’est la nature artistique des mathématiques qui se manifeste.

16 1. Rózsa Péter: Jeux avec l’infini (1943)
« Arrivée à ce point, je suis contrainte de m’arrêter, car je me heurte aux limites de la pensée mathématique contemporaine. Notre époque est celle des remises en cause : les mathématiques ont fait leur devoir dans ce domaine, puisqu’elles ont mis au jour leurs propres limites. Mais s’agit-il de limites infranchissables ? Si l’on considère l’histoire des mathématiques, on voit qu’elles ont réussi à sortir de toutes les impasses où elles semblaient enfermées. La démonstration de Church comporte également un point qui donne à réfléchir : il a dû formuler avec précision ce que nous devons entendre par « raisonnement mathématiques tels que nous les concevons aujourd’hui », si l’on veut traiter cette notion par des procédés mathématiques. Formuler une idée, c’est la délimiter ; or, toutes les limites sont étroites et les problèmes indécidables les font éclater. Elles seront en tout cas repoussées par l’évolution future des mathématiques, même si nous ne voyons pas encore comment et dans quels sens. La grande leçon que l’on peut dégager dès maintenant est celle-ci : les mathématiques ne sont pas immuables et fermées sur elles-mêmes ; elles sont vivantes et mouvantes. Nous avons beau essayer de les figer en les enfermant dans des cadres préconçus, elles trouvent toujours une brèche pour s’en échapper avec la violence qui caractérise les organismes vivants. » 16

17 László Kalmár: Le développement de l’exactitude mathématique de l’intuition à la méthode axiomatique (1942) 2.a) « Le point de départ de notre voyage est l'intuition. Tout le monde admet que nos concepts géométriques – comme point, ligne, surface, direction, angle, longueur, aire, volume, etc – tirent leur orinine des contenus de l'intuition. Si l'on considère les choses de plus près, on se rend compte qu’il en est aussi de même pour les concepts de l'arithmétique : cinq craies, une demi-pomme désignent des contenus clairs de l'intuition. Mais il y a un accord général parmi les experts que certains concepts plutôt abstraits des mathématiques n'ont rien à voir avec l'intuition. La théorie des ensembles est peut-être la branche la plus abstraite des mathématiques; [...]; néanmoins, au niveau le plus rudimentaire de la formation du concept, on imagine les ensembles intuitivement, comme s’ils étaient des sacs dans lesquels quelqu'un a mis leurs éléments. » 2.b) « Dès que nous reconnaissons, en passant par des étapes logiques, une propriété qu’on ne pouvait pas tirer de l'image à l'origine, nous revenons à cette image pour la colorer avec la propriété qui vient d'être décelée. L'image devient ainsi de plus en plus vive et colorée, ce qui nous permet d’en lire à nouveau des propriétés nouvelles, jusqu'ici cachées. Par ce développement de l'intuition, le sentiment de perte occasionné par l'effet de décoloration du processus d'abstraction se trouve, pour les mathématiciens amplement compensés : ils se sentent même enhardis à effectuer un nouveau tour d'abstraction sur les concepts obtenus par l’abstraction et recolorés à nouveau. »

18 3.a) László Kalmár : Le développement de l’exactitude mathématique de l’intuition à la méthode axiomatique (1942) « Il me semble que le plus important motif qui nous pousse à nous détacher de l'intuition est le fait que les êtres humains, y compris des mathématiciens, sont des créatures sociales. Ils aiment à communiquer aux autres ce qui leur semble le plus saisissant et remarquable. C'est le moment des premiers déceptions. Il s'avère que ce qui est évident pour moi après mon intuition, peut provoquer un air d’incompréhension chez les autres. [...] La meilleure façon de gérer cela est d’énumérer, avant de présenter une certaine idée, les concepts ainsi que les propriétés auxquels je ferai référence comme évidemment donnés par mon intuition. Celui à qui je présente mes preuves peut les examiner une par une, les comparer à sa propre intuition, pour voir s'il trouve également clair ces «concepts fondamentaux» et ces «vérités fondamentales». [...] » C’est vraiment un passage super joli

19 3.b) Alfréd Rényi: Dialogues sur les mathématuques. Postsface (1967)
« Le dialogue socratique est dialectique, pas seulement à l’égard de sa forme mais aussi de son contenu : car il présente les idées en création, en développement, il dramatise les pensées abstraites. Ce faisant, il maintient l’attention et facilite la compréhension. » « En choisissant Socrate comme personnage principal du dialogue, il se déroule à l’époque où les mathématiques, au sens moderne, sont nées. Je présente ainsi les mathématiques ‘in statu nascendi’. » 3.c) George Pólya: Comment poser et résoudre un problème? (1945) « Lorsque [le professeur] résoud un problème devant la classe, il doit un peu « mettre en scène » son idée, et se poser les questions même qu’il emploie lorsqu’il aide ses élèves. » (Professeur et élève. Imitation et pratique.)

20 George Pólya: Comment poser et résoudre un problème?
5. a) « Les mathématiques, en plus d'être une voie nécessaire à des métiers d'ingénieurs et des connaissances scientifiques, peuvent être amusantes et peuvent aussi ouvrir la perspective de l'activité intellectuelle au plus haut niveau. » (Préface à la deuxième édition.) 5. b) « Grâce à de tels conseils, l’élève découvrira sans doute la façon d’utiliser les questions et les suggestions, et acquerra ainsi des connaissances plus importantes que celles d’un simple fait mathématique. » (Professeur et élève. Imitation et pratique.) 5.c) Endre Czapáry «L'essentiel, c'est que ce qu’on enseigne, doit rendre l’élève capable d'apprendre à penser. Je crois que la vraie valeur des mathématiques n’est pas dans la capacité de résoudre des équations trigonométriques, mais que, pendant qu’on les résout ou pratique, et qu’on tire des idées de sa tête, on apprend à réfléchir logiquement. Quelqu’un qui peut réfléchir logiquement peut utiliser cela dans une carrière en droit, à l'usine, partout. Une personne pensante ne peut qu’être utile n’importe où. » (In Gordon-Halmos-Munkácsy-Pálfalvi 2007)

21 Tamás Varga 6.a) (Lettre à Kalmár 1946) « […] c’est encore un résultat de Nyíregyháza qu’il y a deux matières. Il ne s’agit pas de l’arithmétique et de la géométrie, bien sûr. Mais 1) Calculer le monde 2) Jouer avec les nombres (et avec des figures, des objets … c’est aussi intimement lié aux sciences naturelles ici que 1).) 1) est le côté science > du moi et toi. 2) est le côté arts […] J’ai toujours préféré la partie arts. Je l’ai remarqué comme c’était toujours ce genre des choses que j’avais envie de montrer à mes élèves de première année. » (In Szabó 2005) 6.b) ( Az egyszeregy körül 1987) «Les mathématiques, du plus bas au plus haut niveau, sortent toujours de l'expérience: des essais, des conjectures et de leur examen, de rejet ou de confirmation. Pourtant, elles sont une libre création de l'esprit humain, un pont entre les deux cultures. Elles sont imprégnées d’esprit ludique et esthétique: c’est aussi un art . »

22 BIBLIOGRAPHIE Borosay-Holenda-Korányi: Mennyiségtan a gimnázium és leánygimnázium V. osztálya számára. Szt. István Társulat 1939 Frank Tibor: Teaching and Learning Science in Hungary, 1867–1945: Schools, Personalities, Influences. Science and Education 21:(3) pp (2012) Gallai Tibor-Péter Rózsa: Matematika a gimnáziumok II. osztálya számára. Tankönyvkiadó, Bp. 1950 Gordon-Halmos-Munkácsy-Pálfalvi: A matematikatanítás mestersége – mestertanárok a matematikatanításról. Gondolat, Budapest 2007. Gurka Dezső: Kalmár László szerepe Lakatos Imre matematikafilozófiájának alakulásában In. Recepció és kreativitás Kalmár László: Integrállevél. Gondolat, Budapest 1986. Kalmár László: The Development of Mathematical Rigor from Intuition to Axiomatic Method (trad. by Zsófia Zvolenszky) In. Der Wiener Kreis in Ungarn/The Vienna Circlein Hungary (Hrsg. A. Máté, M. Rédei, F.Stadler), Springer Wien-New York 2011,. Karácsony Sándor (ed.): A másik ember felé. Exodus, Debrecen 1942. Kontra György: Karácsony Sándor. Országos Pedagógiai Könyvtár és Múzeum Budapest 1992 Lakatos Imre : Bizonyítások és cáfolatok [Proofs and refutations]. Typotex, Budapest 1998. Lakatos, Imre (ed.): Problems in the Philosophy of Mathematics. North-Holland Publishing Co., Amsterdam 1967. Lakatos Imre: Mathematics, Science and Epistemology. Philosophical Papers vol. 2. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1978. Máté András: Árpád Szabó and Imre Lakatos, Or the relation between history and philosophy of mathematics. Perspectives on Science 14.3 (2006): Péter Rózsa: Jeux avec l’infini [Játék a végtelennel]. Éditions du Seuil 1977. Pólya György: Comment poser et résoudre un problème [How to solve it. Trad. C. Mesnage]. Dunod, Paris 1965. Pukánszky Béla – Németh András: Neveléstörténet Rényi Alfréd: Ars Mathematica. Rényi Alfréd összegyűjtött írásai. Typotex, Budapest 2005. Róka Sándor (ed.) : Matematikusok. Typotex, Budapest 2008 Szabó Péter Gábor (ed.): Kalmárium I. Polygon, Szeged 2005 Szabó Péter Gábor (ed.): Kalmárium II. Polygon, Szeged 2008 Varga Tamás : Az egyszeregy körül. Kritika décembre