Mathématiques discrètes Jean-Pierre Boutin. 1234567891011121314151618192021222324252627282930313233 S1S2 Math Discrètes 44hgraphes et langages 44h DS.

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1 Mathématiques discrètes Jean-Pierre Boutin

2 1234567891011121314151618192021222324252627282930313233 S1S2 Math Discrètes 44hgraphes et langages 44h DS

3 PARTIE 1 : LOGIQUE PARTIE 2 : ENSEMBLES et RELATIONS PARTIE 3 : ARITHMETIQUE 12345678910111213141516 S1 Math Discrètes 44h DS 123

4 PARTIE 1 : LOGIQUE 1. PROPOSITION a. Proposition élémentaire b. Proposition composée : les connecteurs de base      c. Table de vérité d’une proposition composée d. Propositions équivalentes e. Règles de calcul f. Tautologie ┬ et contradiction ┴ 2. CALCUL BOOLEEN a. Forme canonique disjonctive b. Circuit combinatoire 3. PREDICATS PARTIE 2 : ENSEMBLES et RELATIONS PARTIE 3 : ARITHMETIQUE 12345678910111213141516 S1 Math Discrètes 44h DS 1

5 1. PROPOSITION 1

6 ab a  ((a  b)   b) 00? 01? 10? 11? 1 c) table de vérité d’une proposition composée 2

7 ab a  ((a  b)   b) 00 01 10 11 1 c) table de vérité d’une proposition composée 3

8 Construisez la table de vérité de la proposition : ( (a  b )   b )  ( c  a ) abc 1 c) table de vérité d’une proposition composée 4

9 Construisez la table de vérité de la proposition : ( (a  b )   b )  ( c  a ) abc 000 001 010 011 100 101 110 111 1 c) table de vérité d’une proposition composée 5

10 ab a  (  a  b) 000 011 101 111 ab a  b 000 011 101 111 a  (  a  b )  a  b 1 d) propositions équivalentes 6

11 les proposition sont-elles équivalentes ? (a  b)  (a  c) et a  (b  c) abc 000 001 010 011 100 101 110 111 1 d) propositions équivalentes 7

12 1 e) règles de calcul 8

13 9

14 Simplifiez les proposition suivantes sans faire de table de vérité : i) (a  0)  b ii) b  (  b  a) iii) (a  b )   a iv) ( a   a )  (b  c ) 10

15 Loi de De Morgan :  (a  b)   a   b  (a  b)   a   b Propriétés Simplifiez les proposition suivantes : 1)  (a  b)  b 2)  (a  (  b  c) ) 1 e) règles de calcul 11

16  est distributif sur  : a  (b  c)  (a  b)  (a  c) On développe On factorise 1 e) règles de calcul 12

17  est distributif sur  : a  (b  c)  (a  b)  (a  c)  est distributif sur  : a  (b  c)  (a  b)  (a  c) On développe On factorise On développe On factorise 1 e) règles de calcul 13

18 Simplifiez après avoir développé ou factorisé : 1) (a  b)  (b   a) 2) (a   b )  ( a  b ) 3) (a  b)  (  c  b )  (  a  b ) 4) a  ( (b  c)   a ) 5) (a  b)  (  b  c) 1 e) règles de calcul 14

19 i) Simplifiez la proposition après avoir distribué : a  (  a  b) ii) Simplifiez a  (a  b) ( pour cela, remarquez que a  (a  b) = (a  1)  (a  b) ) iii) Simplifiez : a  ( a  b ) 1 e) règles de calcul 15