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1 La moyenne : des formules en pagaille ou un choix raisonné ? Chr. Vandeschrick Midis de la Recherche – 14 mai 2013.

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1 1 La moyenne : des formules en pagaille ou un choix raisonné ? Chr. Vandeschrick Midis de la Recherche – 14 mai 2013

2 2 Avertissement Méthode exposée / suivie / adaptée ici parfois explicitée par ailleurs (les « Italiens », Antoine, internet…) mais de manière peu « conviviale » sans en tirer toutes les conséquences sur les plans théorique : concepts, définitions… pratique : comment utiliser la méthode face à des données bref, lhésitant(e) peut continuer dans ses doutes !

3 3 Moyenne et pédagogie : constats (1) Énumération accumulative de formules succession de formules (mais parfois uniquement la formule arithmétique !) sans logique apparente (ou si peu) peu de systématisation (parfois après larithmétique ; cf. Justens ou Grais)

4 4 Moyenne et pédagogie : constats (2) Énumération accumulative de formules Règles dutilisation : un musée des horreurs ! Confusion entre mode de calcul et définition !

5 5 Objectif de lexposé Proposer une méthode pour DÉTERMINER la formule du calcul de la moyenne dans nimporte quel cas concret faisant sens par rapport aux observations sans recours à des maths de haut vol Grâce à cette méthode : la logique entre les différentes formules choix aisé de la bonne formule définition et mode de calcul bien distingués bref, lhésitant na plus à… hésiter + commentaires sur les unités de mesure équation aux dimensions ou analyse dimensionnelles

6 6 Méthode : principes généraux Tout repose sur une définition unique de la moyenne Par application de cette définition à différents cas concrets les différentes formules vont apparaitre « naturellement » Remarque : la formule recherchée doit être fonction des valeurs observées (x i ou x p ) du nombre dobservations (n) même sil existe un raccourci pour le calcul effectif

7 7 Apprivoisons les données et les concepts Cas 1Cas 2 Généralités sur le phénomène en jeu taux de change ( $) 3 opérations de change descendance à 50 ans pour les femmes dune localité Données 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. La moyenne recherchée Taux de change moyen pour les échangés Descendance moyenne parmi les 29 femmes

8 8 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Action de la variable sur les unités sous observation En agissant sur un, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des efts En agissant sur les 500, le taux de change produit 750 $ En agissant sur 9 femmes, la descendance produit 18 efts En agissant sur les « i », la variable produit son effet Appliquée aux « i », la variable produit son effet

9 9 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Éléments en jeu En agissant sur un, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des efts Variable = taux de changeVariable = descendance Les « i » = les changésLes « i » = les femmes Effet de la var. sur les « i » = $Effet de la var. sur les « i » = efts

10 10 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Unités de mesure des éléments en jeu En agissant sur un, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants Dans les 2 cas, laction se traduit par une multiplication nombres : 500 * 1,5 = 750 nbre & UM : 500 * 1,5 $/ = 750 $ UM : * $/ = $ 9 * 2 = 18 9 f * 2 e/f = 18 e f * e/f = e Systèmes dunités « physiques » COHÉRENTS qui assurent la validité des écritures

11 11 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Retour à la lecture des données En agissant sur un, le taux de change produit des $ En agissant sur une femme, la descendance produit des enfants 500 sont observés à raison de 1,5 $/ pour 500 « i », la variable vaut 1,5 $/ 9 f sont observées à raison de 2 e/f pour 9 « i », la variable vaut 2 e/f

12 12 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Effet partiel de la variable par ligne 500 * 1,5 $/ = 750 $ n 1 * x 1 = 750 $ (effet partiel 1) n 2 * x 2 = 350 $ (effet partiel 2) n 3 * x 3 = 975 $ (effet partiel 3) 6 f * 0 e/f = 0 e n 1 * x 1 = 0 e (effet partiel 1) n 2 * x 2 = 14 e (effet partiel 2) n 3 * x 3 = 18 e (effet partiel 3)

13 13 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts « Effet global » de la variable sur la population sous observation n 1 * x 1 = 750 $ n 2 * x 2 = 350 $ n 3 * x 3 = 975 $ n 1 * x 1 = 0 e n 2 * x 2 = 14 e n 3 * x 3 = 18 e

14 14 Définition de la moyenne. Enfin ! La moyenne = la valeur de la variable qui, affectant lensemble des « i », conserve leffet global (de la variable sur lensemble des « i »). Unités de mesure de la moyenne = unités de la variable Appliquons la définition aux 2 cas

15 15 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Application de la définition REMPLACER dans la formule de leffet global (EG), les valeurs observées (x p ) par la moyenne tout en conservant la valeur de EG Soit la formule ARITHMÉTIQUE dite « pondérée » par les effectifs

16 16 Méthode : deux cas en parallèle Cas 1Cas 2 01/01 : 500 au taux de 1,5 $/ 750 $ 01/07 : 250 au taux de 1,4 $/ 350 $ 01/12 : 750 au taux de 1,3 $/ 975 $ 6 femmes avec 0 eft(s)/fem. 0 eft 14 femmes avec 1 eft(s)/fem. 14 efts 9 femmes avec 2 eft(s)/fem. 18 efts Application de la formule Moyenne = répartition ÉQUITABLE de leffet global (2.075 $ ou 32 enfants) entre les individus sous observation (1.500 ou 29 femmes) Calculer une moyenne = voir ce que donnerait la FICTION mathématique de la répartition équitable de lEG entre les « i » : à chaque « i », la même chose ! $/ e/f

17 17 Méthode : résumé Dabord identifier : la variable (caractéristique dont on cherche la moyenne) les unités physiques de la variable (ou unités de mesure) les « i » leffet partiel par application de la variable aux « i » leffet global par combinaison des effets partiels Remplacer les x p par la moyenne dans la formule de lEG Résoudre léquation pour isoler la moyenne Résultat : une formule adaptée aux circonstances

18 18 Méthode : deux autres cas en parallèle Cas 3Cas 4 Question posée aux enfants dun village : « Combien denfants a ta maman ? » 10 ont répondu : « Mman a 2 enfants » 21 ont répondu : « Mman a 3 enfants » 12 ont répondu : « Mman a 4 enfants » Rem.: à tous les enfants du village ! pas de problème de collecte ! ne pas transformer les données ! La population dune localité est passée de1.000 à en 3 ans CM 1 = 1,10 (année 1 : ) CM 2 = 1,20 (année 2 : ) CM 3 = 1,05 (année 3 : ) Rem. : = * CM 1 * CM 2 * CM 3 Moyenne recherchée Descendance moyenne des mères ? (mère : femme ayant au moins 1 enfant) Coefficient multiplicateur moyen?

19 19 Méthode : deux autres cas en parallèle Cas 3Cas 4 10 ont répondu : « Mman a 2 enfants » 21 ont répondu : « Mman a 3 enfants » 12 ont répondu : « Mman a 4 enfants » CM 1 = 1,10 CM 2 = 1,20 CM 3 = 1,05 Identifications préliminaires Variable :descendance coefficient multiplicateur UM var. :enfants/femme (nombre pur) 1/temps (On y reviendra) « i » :43 enfants 3 années Effet part. : appliquée aux enfants, la var. produit des femmes ou MAIS gardons la 1 re expression appliquée aux années, la var. produit une de population

20 20 Méthode : deux autres cas en parallèle Cas 3Cas 4 10 ont répondu : « Mman a 2 enfants » 21 ont répondu : « Mman a 3 enfants » 12 ont répondu : « Mman a 4 enfants » CM 1 = 1,10 CM 2 = 1,20 CM 3 = 1,05 Identifications préliminaires Effet glob. : Calcul de la moyenne Formule harmonique dite « pondérée » Formule géométrique dite « simple »

21 21 Formule géométrique : commentaires Unité de mesure ou physique du CM ? Conclusion (en ayant choisi la formule la plus pratique pour le propos)

22 22 Formule géométrique : commentaires Unité physique du CM : autre voie et sont exprimés en habitants 3, en années la parenthèse doit être un nombre pur qui o multiplie un nombre dhab. pour donner un nombre dhab. o solution : x doit être un nombre pur exposant linverse du temps Système dunités « physiques » COHÉRENT validité du calcul

23 23 Formule géométrique : commentaires Unité physique du CM Le coefficient multiplicateur sexprime : en « nombre pur exposant linverse du temps » ( nbre pur inverse du temps ) et pas en « nombre pur » ! Le piège Si n = 1, Racine unième est sans effet numérique sur le résultats et donc ignorée dans la phase calcul, MAIS pourtant bien présente Du danger de ne pas prendre la formule générale… Temps : indispensable pour que CM soit actif ! Il doit donc apparaitre dans les calculs

24 24 Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du tauxEffet globalMoyenne 1. Hypothèse exponentielle

25 25 Méthode : des exemples en vrac 1. Hypothèse exponentielle (si t années) Unités de mesure La taux de croissance sexprime en « inverse du temps » (1/temps) Doute ? la parenthèse doit être un nombre pur « t » sexprime en temps le taux doit sexprimer en inverse du temps ! Et pas en % !

26 26 Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du tauxEffet globalMoyenne 1. Hypothèse exponentielle 2. Hypothèse géométrique Conclusion : o ce nest pas une formule géométrique au sens strict, même si… o unités de mesure : 1 + r i = CM i ou EG = nombre pur donc nombre pur exposant linverse du temps

27 27 Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du tauxEffet globalMoyenne 3. Hypothèse linéaire, la plus amusante Conclusion : formule sans nom, mais ça sent un peu la géométrique Bien plus sympa pour le calcul, mais les r i « invisibles » !

28 28 Méthode : des exemples en vrac Taux de croissance en démographie (si t années) Calcul du tauxMoyenne 3. Hypothèse linéaire, la plus amusante Et pour les unités de mesure ? Une idée ? Pop 0 & Pop 1, en habitants … qui se suppriment mutuellement haut et bas Reste lunité de mesure de « 1 », soit année … qui est au dénominateur Et donc UM = linverse du temps ! [ ] forcément en nbre pur « 2 » en 1/temps, ce qui est démontrable Conclusion : UM taux linéaire = inverse du temps

29 29 Méthode : le quotient de mortalité Quotients non unitaires entre 2 âges révolus successifs FormulesRemarques Unités de mesure de q x : en décès par individu : q x = d x / S x en nombre pur (%) : probabilité en exposant linverse du temps Fonction du 2 e degré dont une racine = la moyenne Pour rappel : « a » est fonction des q x Je ne connais pas le nom de cette formule de calcul de la moyenne ! « a » calculable

30 30 Méthode : le quotient de mortalité Une autre formule Éventuellement plus « simple » Formule 1Formule 2 Remarques : équivalence des deux formules : démontrable formule 2 formule géométrique UM : aisé de démontrer que : p x : est un coefficient multiplicateur p x sexprime donc en nombre pur exposant linverse du temps comme p x + q x = 1 mêmes unités de mesure pour p x & q x !

31 31 Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre denfants quelles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 Il sagit dune formule arithmétique dite « NON PONDÉRÉE » ! Quen penser ? La moyenne = le total des enfants divisé par le nombre les femmes elle sexprime en enfant(s) par femme (e/f) les x i sont aussi des e/f, ainsi que leur somme dès lors :, ce qui nest pas logique ! ça coince au niveau des unités de mesure : système pas cohérent pas de doute pour le dénominateur : femmes donc numérateur pas bon !

32 32 Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre denfants quelles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 En fait, chaque x i est dapplication pour une femme doit être multiplié par un poids de 1 dont lunité de mesure = femme dès lors : ce qui un système logique au niveau des unités physiques écriture satisfaisante selon ce critère, tout comme pour la formule pondérée

33 33 Toutes pondérées ou alors… aucune ! Données : 5 femmes de 50 ans et + ont été interrogées à propos du nombre denfants quelles ont eu : 3, 6, 0, 1 et 2 Conclusions : TOUTES les formules sont pondérées poids = le nombre de « i » auxquels sapplique une valeur de la variable formule « non pondérée » = formule dont tous les POIDS = 1… cest donc aussi une formule… pondérée dont les poids unitaires sont inopérants numériquement MAIS TRÈS EFFICACES POUR LA COHÉRENCE DU SYSTÈME DUNITÉS DE MESURE

34 34 Vous naimez que la formule arithmétique… Toujours possible dy revenir Ex. 1 : taux de change $/ connu pour des $ échangés logiquement, formule harmonique : mais si inversion du taux de change : $/ /$ formule arithmétique : ne pas oublier dinverser le résultat double transformation que… la formule harmonique fait dun seul coup ! Ex. 2 : le CM et la formule géométrique en passant par les logarithmes, formule arithmétique ne pas oublier de retransformer le résultat quelque part, la formule géométrique fait tout dun coup !

35 35 Vous naimez que la formule arithmétique… Toujours possible dy revenir Mathématiquement, je crois que cela se dit (http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne) : Si nous notons « * » la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi « * » reste inchangé ; c'est donc la solution de l'équation : Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons « » ) ramenant la loi « * » à l'addition. Exemples : Si (x) = ln(x) moyenne géométrique Si (x) = x m et m = 1 moyenne harmonique

36 36 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 o La règle : quand le étudié varie comme la variable arithmétique quand le varie comme linverse de la variable harmonique o Exemple 1 : aller : 60 km/h ; retour : 30 km/h. Vitesse moyenne ? o Commentaires : étudié = vitesse dont on cherche la moyenne variable : selon PY, le temps ! Pourquoi ? distance est constante : aller et retour même distance temps est variable : vitesse sur une même distance étonnant que la variable ne soit pas la vitesse… f. harm. car variable au dénominateur de km/h qui aurait aussi été la formule selon la méthode ! Ex. 1 PY étudié Vitesse VariableTemps FormuleHarmonique Calcul Commentaire RAS

37 37 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 o La règle : Quand le étudié varie comme la variable arithmétique Quand le varie comme linverse de la variable harmonique o Exemple 2 : 1 heure à du 60 km/h et une autre à du 30 km/h. Vitesse moyenne ? o Commentaire : variable = distance car ici une heure à chaque fois donc temps invariable dans les 2 étapes, mais distance varie ! Commentaire : selon la méthode proposée, même choix tout va bien alors ? Autres exemples non traités par PY Ex. 1 PYEX. 2 PY étudié Vitesse VariableTempsDistance FormuleHarmoniqueArithmétique Calcul Commentaire RAS

38 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 o La règle : Quand le étudié varie comme la variable arithmétique Quand le varie comme linverse de la variable harmonique o Exemple 3 : 80 km/h sur 40 km et 24 km/h. sur 12 km. Vitesse moyenne ? o Solution immédiate : 52 km en 1 heure 52 km/h. o Selon Py : distance variable lors des 2 étapes arithmétique, mais 67,08 52 o Selon la méthode : harmonique, qui donne dailleurs 52 km/h Ex. 1 PYEX. 2 PYEx. 3 étudié Vitesse VariableTempsDistance FormuleHarmoniqueArithmétique Calcul Commentaire RAS Bon calcul :

39 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 o La règle : Quand le étudié varie comme la variable arithmétique Quand le varie comme linverse de la variable harmonique o Exemple 4 : 1 h. 30 à du 70 km/h et 2 heures à du 100 km/h. Vitesse moyenne ? o Selon Py : distance et temps variables lors des 2 étapes ???? règle de PY carrément inopérante ! o Selon la méthode : arithmétique Ex. 1 PYEX. 2 PYEx. 3Ex. 4 étudié Vitesse VariableTempsDistance Distance et temps FormuleHarmoniqueArithmétique Règle inopérante ! Calcul Commentaire RAS Bon calcul :

40 40 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? PY B. (2007), Statistique descriptive… & Exercices corrigés…, Economica, p. 108 et p. 58 o Confusion entre variable sous observation dont on cherche la moyenne unités sous observation pour lesquelles on connait la variable o Règle non fonctionnelle !

41 41 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? ANTOINE C. (1998), La moyenne. Que sais-je, PUF, p o « Toute vitesse moyenne est moyenne harmonique des vitesses ». o Oui, si vitesse connue pour distance o Non, si vitesse connue pour des temps de parcours o Solution pour justifier la règle : si nécessaire, inversion de la vitesse pour arriver à lharmonique ce qui serait applicable pour tous les cas… « arithmétiques » o Bye-bye larithmétique » ! Par ailleurs : règle dANTOINE infirmée par exemple traité pour la règle de PY

42 42 Méthode : exemples de règles « fantaisistes » Dans la littérature, des règles. Mais que valent-elles vraiment ? SPIEGEL W. (1984), Théorie et applications de la statistique. 14 e éd., Série Schaum, McGraw-Hill, p. 60, ex. 34. o « Si rapports : géométrique + appropriée que larithmétique » o Argument : avec arithmétique, les résultats ne sinversent pas. avec géométrique, si ! o MAIS : moyenne obtenue ne fait pas sens par rapport aux données initiales bien utilisées, arithmétiques & harmoniques donnent des résultats inverses faisant sens avec les données initiales largument de SPIEGEL pour privilégier la géométrique tombe…

43 43 Conclusions générales o Une seule DÉFINITION, mais de nombreuses FORMULES et donc : incorrect de parler de la moyenne arithmétique, harmonique… correct de parler du concept de moyenne (unique) des formules arithmétique, harmonique… de la moyenne o Définition formule : définition : lobjectif du paramètre formule : recette pour atteindre lobjectif vu les ingrédients o Identification de la formule appropriée via une méthode : un peu de réflexion sur les données méfiance par rapport aux « règles », par ailleurs inutiles ! o Toutes les formules sont pondérées : si poids égaux et unitaires, formule « non pondérée », si cela amuse… si poids inégaux, ils doivent apparaitre dans la formule

44 44 Méthode : le quotient de mortalité Formules approchées Si formule arithmétiqueSi formule géométrique ce qui revient à négliger q x *q x+1 acceptable tant que les q sont « petits » ce qui revient à supposer que : ce qui est peu acceptable

45 45 Méthode : le quotient de mortalité Si formule arithmétiqueSi formule géométrique On néglige q x *q x+1 ok si : Conclusions : o arithmétique toujours plus proche de la moyenne o sauf si les quotients sont égaux ce qui nest pas surprenant o plus un(les) quotient(s) est(sont) élevé(s), moins la différence est grande tout en restant en général bien visible Valeurs des quotientsQ moyenDifférence relative qxqx q x+1 FonctionArithm.Géomét.Arithm.Géomét. 0, ,000% 0, ,000010, , ,000%42,504% 0, ,00010, , ,002%80,199% 0, ,0010, , ,025%93,683% 0, ,010, , , ,251%98,005% 0, ,10, , , ,566%99,384% 111, ,000% 0,911, , , ,000%5,132%

46 46 Méthode : le quotient de mortalité Si formule arithmétiqueSi formule géométrique On néglige q x *q x+1 ok si : Conclusions : o produit toujours plus faible que la somme… évidemment o somme vaut presque toujours plus que deux fois le produit, même bien plus sauf si les 2 quotients = 1… plus proche de 2 avec des quotients fort élevés o plus les quotients sont élevés, moins la différence est grande qxqx q x+1 SommeProduitSom./Prod. 0, , E , ,000010, E , ,00010, E , ,0010, E , ,010, , , ,10, , ,911,90,92,111


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