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MIAS 2 - Chap 5 - page 1 V Ondes Lumineuses V.1 Avant propos La lumièreOnde électromagnétique Champ électrique E Champ (ou induction) magnétique B La propagation.

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1 MIAS 2 - Chap 5 - page 1 V Ondes Lumineuses V.1 Avant propos La lumièreOnde électromagnétique Champ électrique E Champ (ou induction) magnétique B La propagation dune onde lumineuse est donc caractérisée par la propagation dun champ électrique et dun champ magnétique. La théorie régissant cette propagation a été publiée la première fois par James Clerk Maxwell ( ) en 1873 suite à ses travaux à luniversité de Cambridge. La vérification expérimentale de cette théorie na été réalisée quen 1888 par Heinrich HERTZ ( ). Il créa des ondes électromagnétiques à laide dun dispositif électrique. Bien que ces ondes (Hertziennes, > 1 m) ne soient pas des ondes lumineuses, elles vinrent confirmer la théorie de Maxwell.

2 MIAS 2 - Chap 5 - page 2 Les champs électriques sont produits par des charges électriques ou des magnétiques variables dans le temps Les champs magnétiques sont produits par des courants ou des charges électriques en mouvement. Une charge électrique en mouvement est entouré dun champ électrique E et dun champ magnétique H Si la charge électrique est au repos il ny a quun champ électrique. Champ électrique Il traduit la propriété de lespace autour dune charge électrique. Le champ électrique est un champ vectoriel. On peut définir en chaque point de lespace une quantité qui traduit laction dune force sur une charge électrique. Cette force sécrit :

3 MIAS 2 - Chap 5 - page 3 Généralement, on utilise les lignes de champs pour matérialiser le champ électrique dans lespace. La direction des lignes de champ en un point correspond à la direction du champ ou encore à la direction de la force exercée sur une charge positive. Les lignes de champs sont dirigées dune charge positive vers une charge négative. Les lignes de champs ne sont jamais fermées Les lignes de champs ne se coupent jamais Le champ électrique est irrotationnel Propriétés :

4 MIAS 2 - Chap 5 - page 4 Champ magnétique Il traduit la propriété dune région soumise à une induction magnétique ou densité de flux magnétique B : - Aimant permanent - conducteur parcouru par un courant De même que précédemment, on utilise les lignes de champs pour visualiser le champ magnétique. On prend les conventions suivantes : La direction des lignes de champ est par convention du pôle nord au pôle sud. La tangente en un point à une ligne de champ donne la direction que prendrait un aimant dessai placé en ce point. Propriétés : Les lignes de champs magnétiques sont toujours fermées. Il nexiste pas de charges libres (monopôle). La densité des lignes de champ magnétiques est une mesure de la densité de flux magnétique.

5 MIAS 2 - Chap 5 - page 5 V.2 Equations de Maxwell dans le vide ou Les équations de Maxwell régissent les phénomènes faisant intervenir des champs électrique E et magnétique B. Elles sécrivent dans un espace vide de matière mais où il y a une densité de charge électrique et une densité de courant j comme suit : Permittivité électrique du videPerméabilité magnétique du vide Equation de Maxwell-Faraday Equation de Maxwell-Ampère Equation de Maxwell-Gauss Conservation du flux

6 MIAS 2 - Chap 5 - page 6 On trouve aussi souvent la notation suivante : En définissant des nouveaux champs : Pour le vide : 0 et 0 sont des constantes.

7 MIAS 2 - Chap 5 - page 7 Si maintenant on se place loin des zones de charges ( =0) et des sources de courant (j=0) : Les deux premières équations sont couplées et sont comparables aux équations obtenues pour les ondes acoustiques. Essayons de la même façon de découpler ces équations, prenons par exemple le rotationnel de la première équation : Remarque : Les équations de Maxwell montrent quun champ électrique oscillant génère un champ magnétique oscillant et réciproquement

8 MIAS 2 - Chap 5 - page 8 A laide de la deuxième équation de Maxwell on peut écrire : Si maintenant on utilise les relations existantes entre les différents opérateurs vectoriels : On sait que : On obtient finalement une équation ne contenant que E. Equation de Propagation Avec

9 MIAS 2 - Chap 5 - page 9 Le même raisonnement peut être appliqué au champ magnétique B : On sait que : Equation de Propagation Avec

10 MIAS 2 - Chap 5 - page 10 Ces deux équations font du champ électromagnétique une onde. Les champs électrique E et magnétique B se propagent à la vitesse C. On va pouvoir donc utiliser les résultats du chapitre III La constante C est fondamentale en physique. Par définition du mètre, elle est égale à m/s. On prend généralement km/s. Elle représente la limite absolu de la vitesse de déplacement. V.3 Ondes planes sinusoïdales En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une onde peut être considérée comme plane. Du fait de la linéarité des équations de propagation on cherchera des solutions de la forme dondes planes harmoniques. Dans le cas dune onde progressive on écrira : Avecet Les composantes du champ magnétique sont déterminées à laide des équations de Maxwell.

11 MIAS 2 - Chap 5 - page 11 V.3.1 Relations entre les champs Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi utiliser la notation complexe. Champ E: avec Champ B: avec Pour les opérateurs de dérivation on a: Champ véritable = partie réelle En injectant dans les équations de Maxwell, on obtient : Partie réelle uniquement

12 MIAS 2 - Chap 5 - page 12 Les deux champs sont en phase Les deux champs sont orthogonaux au vecteur donde k Onde transversale forme un trièdre directe Les modules des champs sont proportionnels V.3.2 Polarisation La polarisation définit lorientation du champ électrique dans le temps. Polarisation elliptique Polarisation rectiligne Sans polarisation : La lumière naturelle On sait que le champ électrique est transversale : avec

13 MIAS 2 - Chap 5 - page 13 Polarisation rectiligne Cest un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : Polarisation circulaire Cest un cas particulier de la polarisation elliptique, on a ici : + : polarisation droite - : polarisation gauche

14 MIAS 2 - Chap 5 - page 14 V.4 Aspect energétique La puissance P transportée par un champ électromagnétique à travers une surface S est le flux du vecteur de Poynting : Exemple dune onde plane et avec

15 MIAS 2 - Chap 5 - page 15 Déterminons maintenant lexpression du vecteur de Poynting La moyenne temporelle est égale à : ou encore Remarque : Deux ondes polarisées dans des directions orthogonales ninterfèrent pas. La puissance total est donc obtenue par la somme des carrés des amplitudes des composantes

16 MIAS 2 - Chap 5 - page 16 V.5 Conditions de continuité des ondes électromagnétiques Milieu 1Milieu 2 Onde incidente Onde transmise Onde réfléchie Pour établir les expressions entre les différentes ondes (incidente, réfléchie et transmise), il faut écrire les relations de continuité à linterface Soit une surface S limitée par un contour rectangulaire C petit. Milieu 2 Milieu 1 A1A1 A2A2 B2B2 B1B1 On sait que les équations de Maxwell sont vérifiées de partout, notamment la première :

17 MIAS 2 - Chap 5 - page 17 En intégrant sur la surface S : En utilisant la formule de Stokes on peut écrire : ou encore donc Finalement

18 MIAS 2 - Chap 5 - page 18 Un raisonnement analogue sur la deuxième équation de Maxwell conduit à: La formule dOstrogradsky ou de la divergence, nous permet d écrire : Milieu 2 Milieu 1 On considère maintenant la même surface mais avec des cylindres On sait que : : permittivité du milieu

19 MIAS 2 - Chap 5 - page 19 Le vecteur est dirigé suivant la normale à la surface, donc on doit juste tenir compte des composantes normales des champs E. Le même raisonnement sur conduit à : Finalement les 4 équations de continuité sont : généralement on prend

20 MIAS 2 - Chap 5 - page 20 V.6 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques On supposera que londe est polarisé rectilignement suivant Oy E // Oy Onde incidente Onde réfléchie Onde transmise Milieu 1Milieu 2 Onde incidente (E i, B i ) Onde transmise (E t, B t ) Onde réfléchie (E r, B r ) x k1 EiEi BiBi k2 EtEt BtBt k1 ErEr BrBr 0 y V.6.1 Incidence normale

21 MIAS 2 - Chap 5 - page 21 Equation de continuité en x=0 Continuité des composantes tangentielles de E Continuité des composantes tangentielles de B Si on utilise les valeur des indices de réfraction des deux milieux : et On peut définir les coefficients de réflexion r et de transmission t :

22 MIAS 2 - Chap 5 - page 22 V.6.2 Incidence quelconque Considérons un rayon de lumière non polarisée tombant sur linterface entre deux milieu. Les différents paramètres du problèmes sont : i : Angle dincidence r : Angle de réflexion r : Angle de réfraction Daprès la loi de Snell, on peut écrire des relation entre les différents angles: A tout instant, on peut décomposer londe incidente en deux composantes perpendiculaires : Une dont le champ électrique est contenu dans le plan dincidence appelée E || (figure ci-contre) Une dont le champ électrique est perpendiculaire au plan dincidence appelée E (figure page suivante) Polarisation parallèle au plan dincidence

23 MIAS 2 - Chap 5 - page 23 Polarisation perpendiculaire au plan dincidence En utilisant les relations de continuité établies précédemment, il est possible de définir des coefficients de transmission et de réflexion pour les deux polarisation : Londe réfléchie est alors totalement polarisée perpendiculairement au plan dincidence. Langle dincidence i correspondant est appelé angle de Brewster.

24 MIAS 2 - Chap 5 - page 24


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