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Sources de difficultés en résolution de problèmes. © R. & M. Lyons Janvier 2010.

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1 Sources de difficultés en résolution de problèmes. © R. & M. Lyons Janvier 2010

2 Dabord la compréhension et lassimilation du contexte. Un premier type de contexte est le fait de considérer que le problème est un problème de mathématiques et, conséquemment, de chercher quelle technique mathématique appliquer, sans essayer de comprendre le contexte évoqué dans le problème.

3 Sur un navire, il y a 12 moutons, 10 chevaux et 15 chèvres. Quel est lâge du capitaine ? 37 ans !

4 Une corde mesure 2 mètres à une heure. Quelle sera sa longueur à 3 heures ? 6 mètres !

5 Une poule, qui a 2 pattes, est attachée à un piquet. Une vache, qui a 4 pattes est attachée à 2 piquets. Combien de pattes a un cheval qui est attaché à 3 piquets ? 6 pattes ! Et parfois 7 ou 12 pattes.

6 Ce qui est très instructif au sujet des problèmes précédents est dabord que les erreurs existent autant que le problème soit donné oralement ou par écrit.

7 De plus, ces réponses surprenantes apparaissent vers lâge de sept ou huit ans, pas avant. Et le pourcentage délèves qui les donnent augmente tout le long du primaire.

8 Autre constatation intéressante : Les élèves qui répondent correctement à ces problèmes se retrouvent parmi ceux qui sont considérés les plus forts ou les plus faibles en mathématiques.

9 Ajoutons que si, dans ces problèmes, les nombres sont écrits en lettres et non avec des chiffres et si les problèmes sont coiffés du titre «Examen de français», les résultâts saméliorent énormément.

10 Les élèves expliquent ce qui précède en disant quen maths, ils essaient de trouver le calcul quil faut effectuer alors quen français, ils essaient de comprendre de quoi il est question.

11 Voici quatre problèmes «Extrait dune enquête faite dans les écoles primaires françaises portant sur 1796 garçons et 1731 filles. On a indiqué le pourcentage des réponses exactes.» Cité par Gaston Mialaret. Pédagogie des débuts du calcul. Fernand Nathan. 64 pages. Date inconnue, entre 1955 et Page 22.

12 Javais 18 francs dans mon porte- monnaie; jai acheté un crayon qui ma coûté 7 francs. Combien me reste-t-il ? Réussite : Filles : 79,1% Garçons : 80,9% Les élèves ont 7 ou 8 ans.

13 Ce premier problème a un taux de réussite élevé parce que : -Son contexte est bien connu des élèves; -Il contient le mot «reste» qui invite à soustraire.

14 Dans un bidon il y avait 17 litres de vin. Il ne reste plus que 4 litres. Combien a-t-on enlevé de litres de vin ? Réussite : Filles : 78,8% Garçons : 76,7% Les élèves ont 7 ou 8 ans.

15 Réussi pratiquement aussi bien que le premier problème, celui-ci offre les mêmes caractéristiques : -Contexte connu; -Mot «reste» et mot «enlevé» qui évoquent une soustraction.

16 Je dois parcourir 7 kilomètres dans une journée. Le matin, je fais 4 kilomètres. Combien de kilomètres me reste-t-il à faire dans laprès-midi ? Réussite : Filles : 42,5% Garçons : 43,2% Les élèves ont 7 ou 8 ans.

17 Cette fois, cest léchec même si : -Le mot «reste» est présent; -Il sagit de la soustraction la plus simple : 7 – 4. La différence : le contexte, la visualisation de ce quest un kilomètre.

18 Jacques a 7 images. Paul en a 12. Combien Paul a-t-il dimages de plus que Jacques ? Réussite : Filles : 38,1% Garçons : 43,8% Les élèves ont 7 ou 8 ans.

19 Encore un échec. Cette fois-ci, les élèves ont été piégés par lexpression «de plus» qui évoque une addition.

20 Quelles conclusions tirer de ce qui précède ? 1. Lorsquils considèrent quun problème est un problème de mathématiques, les élèves cherchent à y associer un ou des calculs avec peu de soucis relativement au sens du contexte.

21 2.a) Afin didentifier le ou les calculs à effectuer ils cherchent des mots spéciaux : reste, en tout, chaque, de plus…

22 2.b) Ils observent aussi les nombres ayant, par exemple, remarqué quen soustraction et en division le premier nombre du problème est très souvent le plus grand.

23 2.c) Ils comprennent aussi que, si les deux dernières semaines ont porté sur létude de la multiplication, mieux vaut lutiliser dans lévaluation qui termine ces deux semaines.

24 Que faire ? 1.Dans les problèmes contextuels, éviter dutiliser des mots que lon associe automatiquement à un calcul précis.

25 Que faire ? 2. Enlever les nombres du texte des problèmes. Ne pouvant essayer ainsi les diverses opérations une après lautre, les élèves devront sapproprier le sens du problème afin de conclure quil faudra utiliser telle opération.

26 Que faire ? 3. Pour chaque problème contextuel, sassurer dabord que le contexte est compris et bien assimilé. Si ce nest pas le cas, les élèves ne sont pas en mesure de démontrer leurs compétences, leurs habiletés et leurs connaissances mathématiques.

27 Prenons un exemple. Imaginons un conducteur de taxi considéré comme las de sa ville. En plus dêtre courtois, de sintéresser à de nombreux sujets dactualité ou autres, il est un excellent conducteur. Cest aussi un excellent communicateur.

28 Mais il y a plus ! Il connaît sa ville comme le fond de sa poche. Dès quon lui donne une adresse, il la situe immédiatement, il visualise le trajet à faire, il tient compte des sens uniques, des détours occasionnels suite à des incidents quelconques, il sait éviter les rues très achalandées et, en faisant tout cela, il peut indiquer à des touristes les points dintérêts quil croise.

29 Voici son domaine :

30 Voici le genre de trajets quil effectue avec quelques trajets optionnels :

31 Mais un jour, il doit aller pratiquer son métier dans une autre ville.

32

33 Voici le genre de trajets quil doit désormais visualiser et effectuer.

34 Pendant de nombreuses semaines, il sera sous stress et communiquera peu. Il fera des erreurs, ne saura comment éviter les embouteillages, ne trouvera pas facilement les adresses et les raccourcis. Lexpert sera redevenu novice.

35 Sil est évalué pendant ces semaines, ce qui sera vraiment évalué, cest son appropriation du contexte. Il naura pas la chance de se montrer à son meilleur dans les diverses facettes de lexercice de sa profession.

36 Il faut comprendre que la résolution de problèmes, tout comme la créativité, se situent à léchelon le plus élevé de la pensée humaine (selon Bloom). Évaluer ce qui se situe à des échelons inférieurs par des résolutions de problèmes est injuste pour les élèves.

37 Quelle loi mathématique est illustrée par le schéma suivant ?

38 Ce contenant de 5 litres représente la moitié de ce dont jai besoin. Comment pouvez-vous traduire cette affirmation par une équation mathématique ?

39 Reconnaissez-vous le calcul illustré par ce tableau ?

40 Et par celui- ci ?

41 Ici, il sagit de la loi des signes en multiplication. + + _ _ Lampoule brille lorsque les deux communicateurs sont reliés par le même fil ( + +) ou (- -).

42 Ce contenant de 5 litres représente la moitié de ce dont jai besoin. Légalité est : 5 £ ÷ ½ = 10 £ Et non : 5 £ × 2 = 10 £ Puisque le nombre 2 ne fait pas partie des données du problème.

43 Il représente, entre autres, que 13 × 32 = = 416

44 À moins que ce soit encore une illustration de la loi des signes ? (3-2)×(1-3) = 3 – 2 – = -2

45 Le dernier peut servir à illustrer que 3/4 × 4/5 = 12/20. 4/5 3/4 12 des 20 carrés sont verts.

46 Une personne qui ne reconnaît pas la loi des signes dans les deux premières illustrations démontre-t-elle ainsi quelle ne connaît pas cette loi ?

47 Ne pas associer lénoncé portant sur les contenants à la division de fractions pertinente signifie-t-il que nous sommes incapables de diviser par ½ ?

48 Ne pas percevoir les deux multiplications dans deux des schémas vus précédemment signifie-t-il que nous ne savons pas multiplier ?

49 En fait, il faut évaluer séparément les habiletés et les connaissances mathématiques dabord. Par la suite, au moyen de problèmes contextuels, il est parfois possible dévaluer si lélève en reconnaît certaines applications.

50 Évaluer la maîtrise des habiletés et des connaissances mathématiques de base en situation de résolution de problèmes correspond à exiger dun postulant au permis de conduire de faire la preuve de ses habiletés en participant à un grand prix de formule 1.


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