Transmission de l’information :

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1 Transmission de l’information :
Année Transmission de l’information : Les codes convolutifs (A. Migan), S. Argentieri

2 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif Les codes convolutifs forment une classe extrêmement souple et efficace de codes correcteurs d’erreur. Ce sont les codes les plus utilisés dans les communications fixes et mobiles. Les codes convolutifs ont les mêmes caractéristiques que les codes en bloc sauf qu’ils s’appliquent à des séquences infinies de symboles d’information et génèrent des séquences infinies de symboles de code.

3 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif I. 1. Encodeurs Le codeur qui engendre un code convolutif comporte un effet de mémoire : Le mot code ne dépend pas que du bloc de k symboles entrant, mais aussi des m mots de code qui l’ont précédé, stockés dans un registre. Logique combinatoire Registre à (m+1)k étages Convertisseur Parallèle-Série Entrée Bloc de k éléments binaires Sortie Bloc de n éléments binaires

4 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif I. 1. Encodeurs Théorème fondamental du codage de canal  La complexité du codeur est nécessaire à l’obtention de bonnes performances Pour les codes en bloc : n et k doivent être grands Pour les codes convolutifs : il suffit que m soit grand Logique combinatoire Registre à (m+1)k étages Convertisseur Parallèle-Série Entrée Bloc de k éléments binaires Sortie Bloc de n éléments binaires

5 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif I. 2. Propriétés Le rendement du code est : La longueur de contrainte du code est : Linéarité : les mots de code associés à une combinaison linéaire de séquences d’entrée correspondent à la combinaison linéaire des mots de code de chacune des ces séquences. Stationnarité : Lorsqu’un message source, décalé dans le temps, est envoyé sur l’encodeur, on doit retrouver à la sortie, le mot de code correspondant décalé de la même manière dans le temps. Code convolutif systématique : Mot code : C = (X1 Y1 X2 Y2 … Xj Yj …) Avec Xj = Information Yj = Contrôle

6 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif I. 3. Exemple Exemple de codeur convolutif non systématique : R = 1/2 ; m = 2 ; k = 1 ; n = 2 A chaque pas de temps j : On combine les valeurs de l’entrée et de la mémoire pour calculer les sorties ; Chaque registre à décalage est mis à jour par la valeur qui figure à son entrée.

7 I. Principe du codage convolutif
Les codes convolutifs I. Principe du codage convolutif I. 4. Les distances dans les codes convolutifs La distance libre est la borne inférieure des distances de Hamming entre toutes les séquences de sortie du codeur. La distance minimale est la plus petite distance entre des chemins partant du même point et y revenant.

8 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs Représentations numériques :  Transformée en D ;  Matrice de transfert ; Représentations graphiques :  Diagramme d’état ;  Arbre ;  Treillis.

9 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 1. Représentations numériques : Transformée en D Une séquence de symboles est représentée par une série formelle en la variable D. Cette variable représente l’opérateur de retard unitaire : La réponse impulsionnelle du ième module, hi(D), est la séquence de sortie produite lorsque le message d’entrée est une suite commençant par le symbole ‘1’ et se terminant par une suite de ‘0’ de longueur infinie : xi(D) = hi(D).s(D)

10 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 1. Représentations numériques : Transformée en D e1(D) = D.s(D) e2(D) = D.e1(D) = D2.s(D) x1(D) = s(D) + e2(D) = (1 + D2).s(D) x2(D) = s(D) + e1(D) + e2(D) = (1 + D + D2).s(D)

11 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 1. Représentations numériques : Transformée en D k = 1 ; n = 2 ; m = 3 x1(D) = s(D) + e2(D) + e3(D) x1(D) = (1 + D2 + D3).s(D) x2(D) = s(D) + e1(D) + e2(D) + e2(D) x2(D) = (1 + D + D2 + D3).s(D) e1(D) = D.s(D) e2(D) = D.e1(D) = D2.s(D) e3(D) = D.e2(D) = D3.s(D)

12 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 1. Représentations numériques : Transformée en D x1(D) s1(D) k = 2 ; n = 3 ; m = 2 x2(D) s2(D) x1(D) = s1(D) + e12(D) x1(D) = (1 + D2).s1(D) + 0.s2(D) x3(D) x2(D) = e11(D) + e12(D) + e21(D) x2(D) = (D + D2).s1(D) + D.s2(D) x3(D) = e11(D) + s2(D) x3(D) = D.s1(D) + 1.s2(D)

13 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 2. Représentations numériques : Matrice de transfert La matrice de transfert donne la relation entrée-sortie sous forme matricielle. On l’écrit pour chaque étage de sortie. La ième ligne donne la relation entre et La (i + 1)ème ligne donne la relation entre et Pour la kième sortie : La 1ère colonne correspond à l’instant j, La 2ème colonne correspond à l’instant (j – 1) … La matrice de transfert globale est la concaténation des matrices précédentes. Elle a k lignes et (m+1)n colonnes.

14 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 2. Représentations numériques : Matrice de transfert Relations entrée/sortie : Matrices de transfert intermédiaires : k = 2, n = 3, m = 2 Matrices de transfert :

15 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 3. Représentations graphiques Chaque bloc de n éléments binaires en sortie du codeur dépend : Du bloc de k éléments binaires présents à son entrée ; Des m blocs de k éléments binaires contenus dans sa mémoire. Ces m.k éléments binaires définissent l’état du codeur. Les quatre états possibles du codeur sont : ‘00’ ‘01’ ‘10’ ‘11’ k = 1 n = 2 m = 2

16 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état Les conventions adoptées : Lorsque l’élément binaire d’entrée du codeur est égal à ‘0’ (resp. ‘1’), le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche rouge (resp. verte). Seules deux (q) transitions sont possibles à partir de chacun des états. Les étiquettes de chaque branche correspondent aux sorties du codeur.

17 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs 00 II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état Instant j État ‘00’ État a ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État ‘01’ Instant j+1 ? Instant j Instant j+1

18 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs 00 II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état 1 Instant j État ‘00’ État a ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État ‘01’ 11 1 Instant j Instant j+1 1

19 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs 00 II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état 1 Instant j État ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État b ‘01’ 11 11 État ‘01’ 1 Instant j+1 Instant j

20 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs 00 II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état Instant j État ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État b ‘01’ 11 11 1 1 00 État ‘01’ Instant j Instant j+1 1

21 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état 00 État ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État ‘01’ 11 10 01

22 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état 00 La distance minimale est le poids du chemin partant de ‘00’ et y revenant le plus vite possible : État ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État ‘01’ 11 11 10 Poids = 6 00 10 10 01

23 II. Représentations des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentations des codes convolutifs II. 3. Représentations graphiques : Diagramme d’état 00 La distance minimale est le poids du chemin partant de ‘00’ et y revenant le plus vite possible : État ‘00’ État ‘11’ État ‘10’ État ‘01’ 11 11 10 00 Poids = 5 10 10  dmin = 5 01

24 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 4. Représentations graphiques : Arbre Développement du diagramme d’état en fonction du temps discrétisé Les conventions adoptées : Le temps s’écoule de la gauche vers la droite Lorsque l’élément binaire d’entrée du codeur est égal à ‘0’ (resp. ‘1’), le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche supérieure (resp. inférieure). Les branches se séparent en un point appelé nœud. Chaque nœud donne naissance à 2k (qk) branches. Quelque soit l’état initial du codeur, après (m + 1) décalages à l’entrée du codeur, tous les états du codeur peuvent être atteints.

25 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 4. Représentations graphiques : Arbre Instant j 00 Instant j+1

26 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre Instant j 00 00 Instant j+1 t = j+1

27 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 1 Instant j 00 00 Instant j+1 10 t = j+1

28 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 Instant j 00 10 00 Instant j+1 10 t = j+1 t = j+2

29 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 Instant j 00 10 00 01 Instant j+1 10 11 t = j+1 t = j+2

30 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 10 00 01 Instant j 10 11 00 00 01 10 10 01 11 11 00 00 00 10 01 Instant j+1 01 10 11 10 00 01 10 11 01 11 11 t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

31 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 10 00 01 10 11 Partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, il existe deux chemins pour atteindre l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 00 00 01 10 10 01 11 11 00 00 Chemin 1 00 10 01 01 10 11 10 00 01 10 11 01 11 11 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

32 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 10 00 01 10 11 Partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, il existe deux chemins pour atteindre l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 00 00 01 10 10 01 11 11 00 00 Chemin 1 00 10 01 Chemin 2 01 10 11 10 00 01 10 11 01 11 11 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

33 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 10 00 01 10 11 Distance minimale : dmin = 5 00 00 01 10 10 01 11 11 00 00 00 10 01 w = 5 01 10 11 10 00 01 10 11 01 11 11 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

34 Le mot de code associé à ‘1001’ est ‘11011111’
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs 00 11 01 10 00 II. 4. Représentations graphiques : Arbre 00 10 00 01 10 11 Si la séquence d’information est : ‘1001’ 00 00 01 10 1 1 10 01 11 11 00 11 11 00 00 11 00 10 11 00 11 10 11 01 10 01 01 01 10 11 10 00 01 Le mot de code associé à ‘1001’ est ‘ ’ 10 11 01 11 11 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4

35 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis Les conventions adoptées : Lorsque l’élément binaire d’entrée du codeur est égal à ‘0’ (resp. ‘1’), le couple binaire en sortie du codeur est porté par la branche rouge (resp. verte). De chaque nœud partent 2k (qk) branches. En chaque nœud convergent 2k (qk) branches. Les étiquettes de chaque branche correspondent aux sorties du codeur.

36 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis Instant j 00 00 01 10 11 Instant j+1 t = j t = j+1

37 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis 1 Instant j 00 00 01 10 11 11 Instant j+1 t = j t = j+1 t = j+2

38 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis 1 Instant j 1 00 00 00 01 10 11 11 11 01 Instant j+1 t = j t = j+1 t = j+2

39 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis 1 Instant j 1 00 00 00 01 10 11 11 11 01 10 Instant j+1 1 t = j t = j+1 t = j+2

40 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis 11 00 01 10 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4 Après (m + 1) décalages, quelque soit l’état initial du codeur, le motif du treillis se répète

41 II. Représentation des codes convolutifs
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis Comme pour le diagramme en arbre, partant de l’état ‘00’ à l’instant t = j, il existe deux chemins pour atteindre l’état ‘00’ à l’instant t = j + 3 11 00 01 10 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4 Chemin 1 Chemin 2 ; w = 5 dmin = 5

42 Le mot de code associé à ‘1001’ est ‘11011111’
Les codes convolutifs II. Représentation des codes convolutifs II. 5. Représentations graphiques : Treillis La séquence d’information est ‘1001’ 11 00 01 10 t = j t = j+1 t = j+2 t = j+3 t = j+4 11 11 11 01 1 1 00 10 01 00 10 11 01 11 11 Le mot de code associé à ‘1001’ est ‘ ’

43 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 1. Les codes systématiques  Dédier une sortie aux bits d’information : Réponse impulsionnelle : Treillis : 00 01 10 11 000 101 110 011 010 111 100 001 Matrice de transfert : G = (4 5 3)octal

44 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 2. Les codes récursifs systématiques Réponses impulsionnelles : Boucle de retour :

45 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 2. Les codes récursifs systématiques  Boucle de retour : Réponses impulsionnelles : Treillis : 00 01 10 11

46 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 3. Les codes catastrophiques Un code catastrophique est un code qui génère un nombre infini d’erreurs Une séquence d’information de poids infinie est codée par une séquence de poids fini Le décodeur, recevant une séquence de poids fini, estimera que la séquence d’entrée était constituée d’un mot de poids fini suivi de zéros.

47 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 3. Les codes catastrophiques 00 État a ‘00’ État d ‘11’ État c ‘10’ État b ‘01’ 11 10 01

48 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers III. 3. Les codes catastrophiques Appliquons à l’entrée de ce codeur une séquence constituée d’un nombre infini de ‘1’. A la sortie, apparaîtra le mot ‘1101’ suivi d’un nombre infini de ‘0’ Le décodeur estimera que l’entrée était constitué d’un mot de poids fini (par exemple ‘1010’) suivi d’un nombre infini de ‘0’ 01 00 11 10

49 III. Codes particuliers
Les codes convolutifs III. Codes particuliers 00 État a ‘00’ État d ‘11’ État c ‘10’ État b ‘01’ 11 10 01 III. 3. Les codes catastrophiques 01 00 11 10 Tous les codeurs catastrophiques ont : Dans leur représentation en treillis : un arc horizontal produisant une sortie de poids nul, pour une entrée de poids non nul Dans leur diagramme d’état : une boule portant l’étiquette ‘00’ pour une entrée égale à ‘1’

50 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif Dans les canaux de communication sans mémoire, les systèmes utilisant le codage convolutif sont parmi les plus intéressants tant du point de vue de leurs performances (s’approchant le plus des performances ultimes prévues par la théorie de Shannon) que du point de vue de leur réalisation et implantation matérielle. Les deux principales techniques de décodage des codes convolutifs sont le décodage de Viterbi et le décodage séquentiel. Chacune de ses techniques consiste à trouver un chemin particulier (le message transmis), dans un graphe orienté où on assigne aux branches des métriques ou valeurs de vraisemblance entre les données reçues et les données qui auraient pu être transmises. L’objectif général du décodeur se résume donc à déterminer avec la plus grande fiabilité et le minimum d’efforts le chemin de métrique minimale. Ce chemin est la séquence décodée.

51 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A chaque instant, deux branches appartenant à deux chemins différents, convergent vers chaque noeud. De ces deux chemins, l’un est plus vraisemblable, c’est-à-dire se trouve à une distance plus petite de la séquence reçue, que l’autre chemin. Les distances étant additives, il est possible de ne conserver en chaque nœud que le chemin le plus vraisemblable, appelé survivant. Si deux chemins sont aussi vraisemblables, un seul chemin est arbitrairement conservé.

52 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi Supposons que la séquence à l’entrée du codeur soit ‘ ’. Si le codeur est dans l’état ‘00’ à l’instant initial, la séquence correspondante en sortie du codeur est ’ ’. Considérons un canal binaire symétrique introduisant une erreur en position 4. La séquence reçue à l’entrée du décodeur est ’ ’. Voici le déroulement de l’algorithme de Viterbi :

53 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi 00 11 01 10 t = 0 t = 1 (2) (0) A l’instant t = 0 : Deux branches partent de l’état ‘00’. Elles sont respectivement à la distance 2 et 0 du premier couple binaire reçu. Reportons ces deux distances, appelées métriques de branche sur le treillis. Mot reçu : ‘11’

54 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 1 : 00 (2) 00 00 01 10 11 (2) Évaluons la distance entre le deuxième couple binaire reçu et les quatre branches qui partent des états ‘00’ et ‘10’, puis reportons ces quatre métriques sur le treillis. En sommant les métriques de branches appartenant à un même chemin, nous obtenons les métriques cumulées. Nous avons désormais quatre chemins qui permettent d’accéder, en t = 2, aux quatre états possibles du codeur. 11 11 (1) 01 (0) (4) 10 (1) t = 0 t = 1 t = 2 Mot reçu : ‘11’ ‘00’

55 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 00 01 10 11 11 Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. 11 11 (1) 11 00 01 01 (0) (4) 10 10 10 (1) 01 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

56 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 (4) 00 01 10 11 11 (1) Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. On va donc : 11 11 (1) (5) 11 00 (2) 01 01 (0) (4) (2) 10 (3) 1. Calculer les métriques de branche. 10 10 (1) (5) 2. Calculer les métriques cumulées pour chaque chemin atteignant en t = 3, un nœud donné du treillis. 01 (2) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

57 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 01 10 11 (1) 11 Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. On va donc : 11 11 (1) (5) 11 00 (2) 01 01 (0) (4) (2) 10 (3) 1. Calculer les métriques de branche. 10 10 (1) (5) 2. Calculer les métriques cumulées pour chaque chemin atteignant en t = 3, un nœud donné du treillis. 01 (2) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 3. En chaque nœud, ne retenir que le survivant. Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

58 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 01 10 11 (1) 11 Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. On va donc : 11 11 (1) 11 (2) 00 01 (0) (4) (2) 10 (3) 1. Calculer les métriques de branche. 10 10 (1) (5) 2. Calculer les métriques cumulées pour chaque chemin atteignant en t = 3, un nœud donné du treillis. 01 (2) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 3. En chaque nœud, ne retenir que le survivant. Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

59 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 01 10 11 (1) 11 Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. On va donc : 11 11 (1) 11 (2) 01 (0) (4) (2) 10 1. Calculer les métriques de branche. 10 10 (1) (5) 2. Calculer les métriques cumulées pour chaque chemin atteignant en t = 3, un nœud donné du treillis. 01 (2) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 3. En chaque nœud, ne retenir que le survivant. Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

60 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi A l’instant t = 2 : 00 (2) 00 (2) 00 01 10 11 (1) 11 Il existe désormais deux chemins qui convergent vers chaque nœud du treillis. On va donc : 11 11 (1) 11 (2) 01 (0) (4) (2) 10 1. Calculer les métriques de branche. 10 (1) 2. Calculer les métriques cumulées pour chaque chemin atteignant en t = 3, un nœud donné du treillis. (2) 01 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 3. En chaque nœud, ne retenir que le survivant. Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’

61 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi 00 (2) 00 (2) (1) 00 01 10 11 (2) 11 11 11 11 (1) (2) 11 11 (3) A l’instant t = 3 : 01 (0) (4) (2) 01 (1) 10 On procède de la même façon 10 (1) (2) (3) 01 01 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Mot reçu : ‘11’ ‘00’ ‘11’ ‘11’

62 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi Finalement, le chemin le plus vraisemblable est celui qui arrive en ‘10’. 00 (2) 00 (2) (1) 00 01 10 11 (2) 11 11 11 11 (1) (2) 11 11 (3) 01 (0) (4) (2) 01 (1) 10 10 (1) (2) (3) 01 01 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

63 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 1. Algorithme de Viterbi Finalement, le chemin le plus vraisemblable est celui qui arrive en ‘10’. 00 (2) 00 (2) (1) 00 01 10 11 (2) 11 11 11 11 (1) (2) En remontant le treillis de la droite vers la gauche, on voit que la séquence la plus vraisemblable est celle qui part de ‘00’ à t = 0 et qui arrive à ‘10’ à t = 4. Elle correspond au code vraisemblablement émis : ‘ ’. 11 11 (3) 01 (0) (4) (2) 01 (1) 10 10 (1) (2) (3) 01 01 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 Ce code correspond à une séquence sur l’entrée du codeur égale à ‘1001’. L’erreur en position 4 est donc corrigée.

64 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 2. Décodage séquentiel  Viterbi : complexité de calcul en 2m  Amélioration des codes convolutifs si m augmente → Décodage séquentiel  Recherche d’un parcours optimal dans un graphe : Viterbi : Evaluer la qualité de tous les chemins à une profondeur donnée Séquentiel : Parcours d’un unique chemin tant qu’il paraît bon

65  Mémoire tampon importante
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 2. Décodage séquentiel : Algorithme de Fano Dans la structure d’arbre, à chaque nœud, on calcule les distances correspondantes aux deux successeurs et l’on poursuit dans la direction de celle qui conduit au chemin le plus court. Si on choisit une mauvaise route (la distance observée dépasse un seuil fixé) : on rebrousse chemin et on reprend dans une autre direction Mais cela peut arriver de nouveau Jusqu’où faut-il remonter dans l’arbre ?  Mémoire tampon importante

66 IV. Décodage convolutif
Les codes convolutifs IV. Décodage convolutif IV. 2. Décodage séquentiel : Algorithme à piles Algorithme de Fano utilisant un système de pile pour gérer plus efficacement les retours en arrière. Le décodeur consiste en une pile où sont stockés les chemins explorés : Le stockage est effectué par ordre décroissant des valeurs de leurs métriques. Le sommet de la pile contient le chemin de métrique minimale courant et sera donc prolongé en tous ses descendants sur une profondeur égale à une branche.

67 VI. Codes cycliques – Codes convolutifs
Comparaison des codes VI. Codes cycliques – Codes convolutifs Rendement élevé (0,9) Correction des paquets d’erreurs Codes cycliques : Rendement faible mais performances élevées grâce au décodage à décision souple Correction des erreurs isolées Codes convolutifs : Modifications de codes Associations de codes