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Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session été 2013.

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1 Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session été 2013.
Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session été 2013. Source de l’image:

2 Présentation du plan de cours
Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS Été 2013

3 Introduction SYS Été 2013

4 Modélisation La modélisation permet de représenter un procédé de façon simplifié. Cela aide à en faire l’analyse. La modélisation implique de faire des hypothèses sur le procédé ou certains de ses paramètres pour pouvoir faire certaines simplifications. Il faut toutefois s’assurer de ne pas négliger des paramètres importants du procédé. SYS Été 2013

5 Modélisation Par exemple, imaginez un réservoir rempli d’eau. On doit modéliser le comportement du niveau et de la température de l’eau dans le réservoir. On assume un mélange parfaitement homogène. Ajout d’eau froide augmente le niveau et refroidit le contenu du réservoir. Le chauffage de l’eau augmente la température. Sur une plage de variation de 60 °C le volume varie d’environ 1.7 %. On peut choisir de négliger cette variation dans le modèle, puisqu’elle affectera peu la commande en température ou de niveau. orange.fr/aquatech/Equipements/expansion.htm SYS Été 2013

6 Les raisons de modéliser
Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. SYS Été 2013

7 L’entrainement de opérateurs
Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle d’un procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… SYS Été 2013

8 Le design de procédés industriels
Le modèle mathématique d’un procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement d’un réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. SYS Été 2013

9 La sécurité d’un procédé
La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance d’un équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance d’une valve. On aussi utiliser le modèle d’un procédé pour faciliter le design d’un système de sécurité. SYS Été 2013

10 Le design de systèmes de contrôle
Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. SYS Été 2013

11 Modélisation d’un système dynamique

12 Éléments d’un système dynamique
Entrées contrôlables Système (procédé) Sorties Perturbations Paramètres États du système SYS Été 2013

13 Système dynamique Le modèle d’un système dynamique repose sur des équations différentielles (linéaires ou non). Ces équations peuvent être d’un ordre quelconque et mettent en relations les entrées (contrôlables ou perturbantes) et les sorties. Pour comprendre et analyser le comportement du système, on doit résoudre ces équations différentielles. On introduit des variables d’état permettant de suivre ce qui se passe dans le système, d’en analyser les points d’équilibre, et d’étudier la stabilité à ces points. SYS Été 2013

14 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: SYS Été 2013

15 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) SYS Été 2013

16 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) SYS Été 2013

17 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations SYS Été 2013

18 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Vecteur des états du système (n états) Vecteur des entrées (m entrées) Vecteur des perturbations Vecteur des paramètres SYS Été 2013

19 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Sorties du système: SYS Été 2013

20 Équations d’un système dynamique
États du système: Équations différentielles: Sorties du système: Vecteur des sorties (p sorties) SYS Été 2013

21 Ces équations proviennent de…
…lois et relations mathématiques des domaines suivants: Physique mécanique Physique électrique Chimie Mécanique des fluides Thermo-dynamique Biologie Physique nucléaire Physiologie SYS Été 2013

22 Exemples Chimie Loi d’Arrhenius Physique mécanique Lois de Newton
Physique électrique Relation courant tension d’une inductance Thermo-dynamique Les principes de la thermodynamique Physiologie Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) SYS Été 2013

23 Types… Linéaire Non-linéaire
Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Paramètres indépendants de la variable t. Le système peut ne pas avoir d’entrées. Il est alors qualifié d’« autonome ». L’équation différentielle est qualifiée d’homogène. Le système peut être continu ou discret. Dans ce dernier cas, certains signaux sont échantillonnés. Linéaire Non-linéaire SYS Été 2013

24 Différentes approches de modélisation
Équations différentielles ordinaires; Transformées de Laplace; Équations d’état. SYS Été 2013

25 Exemple des 3 approches Soit un système mécanique:
u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Équation différentielle ordinaire SYS Été 2013

26 Approche – équations différentielles
Solution: Divisant par m : SYS Été 2013

27 Obtention de la sortie y(t)
Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon d’amplitude A/m et les conditions initiales nulles. SYS Été 2013

28 Approche – transformée de Laplace
Solution. Transformée de Laplace : SYS Été 2013

29 Approche – transformée de Laplace
Puis : Ce qui donne: SYS Été 2013

30 Approche – transformée de Laplace
Si u(t) est un échelon d’amplitude A: Donc : SYS Été 2013

31 Approche – transformée de Laplace
Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : SYS Été 2013

32 Manipulations plus simples
Bilan Manipulations plus simples SYS Été 2013

33 Approche – équations d’état
Solution. Équation de départ : Posant : SYS Été 2013

34 Approche – équations d’état
L’équation se réécrit: Donc, nous avons le système d’équations suivant : SYS Été 2013

35 Approche – équations d’état
Sous forme matricielle : La sortie y(t) s’écrit : SYS Été 2013

36 Approche – équations d’état
Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… SYS Été 2013

37 Approche – équations d’état
La sortie y(t) s’écrit : Exponentielle d’une matrice !!! SYS Été 2013

38 Modélisation de la circulation (modèle simplifié)
Exemple: SYS Été 2013

39 Circulation automobile
Frustré(e) d’être pris(e) dans la circulation ? Voyons ce qu’il se passe au feux de circulation. SYS Été 2013

40 Circulation automobile
Modèle d’une voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: SYS Été 2013

41 Circulation automobile
À un feu rouge: Distance entre les deux voitures: SYS Été 2013

42 Circulation automobile
Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c; Ainsi: SYS Été 2013

43 Circulation automobile
Cette équation: Multipliant par u(t): Puis simplifiant: SYS Été 2013

44 Circulation automobile
Cela implique que: En intégrant: Puis simplifiant: SYS Été 2013

45 Circulation automobile
Finalement: Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Cela implique que m = 5/4 et b = -5. SYS Été 2013

46 Circulation automobile
Avec la condition initiale suivante x(0) = l = 4 m, alors: …et la dynamique de x(t) est: (en mètres). SYS Été 2013

47 Circulation automobile
Vitesse du second véhicule: SYS Été 2013

48 Rappels de notions de systèmes asservis

49 Rappel – Signaux d’entrée
SYS Été 2013

50 Rappel – Transformée de Laplace
SYS Été 2013

51 Rappel – Transformée de Laplace
Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: SYS Été 2013

52 Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace
SYS Été 2013

53 Rappel – Décomposition en fractions partielles
3 cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. SYS Été 2013

54 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1
Exemple: SYS Été 2013

55 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2
Exemple: SYS Été 2013

56 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3
Exemple: SYS Été 2013

57 Rappel – Diagramme de Bode
Représentation d’un nombre complexe: Soit: En posant s = jω, on obtient: C’est un nombre complexe. SYS Été 2013

58 Rappel – Diagramme de Bode
Amplitude du nombre complexe: Exprimé en décibel: SYS Été 2013

59 Rappel – Diagramme de Bode
Phase d’un nombre complexe: Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. SYS Été 2013

60 Rappel – Diagramme de Bode
SYS Été 2013

61 Rappel – Diagramme de Nyquist
Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. SYS Été 2013

62 Rappel – Marges de phase et de gain
Diagramme de Bode: SYS Été 2013

63 Rappel – Marges de phase et de gain
Diagramme de Nyquist: SYS Été 2013

64 Rappel – Lieu des racines
Position des pôles en boucle fermée: SYS Été 2013

65 Rappel – Lieu des racines
Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K SYS Été 2013

66 Outils matlab/simulink
SYS Été 2013

67 MATLAB® Création d’un modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m:

68 MATLAB® Points d’équilibre:
Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: SYS Été 2013

69 MATLAB® Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m:
Exécution: SYS Été 2013

70 MATLAB® SYS Été 2013

71 MATLAB® Champ vectoriel SYS Été 2013

72 SIMULINK® Simulation via schémas blocs: SYS Été 2013

73 Fin de la présentation SYS Été 2013

74 Chimie Réaction chimique:
Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi d’Arrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie d’activation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/kelvin); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. SYS Été 2013

75 Physique mécanique Lois de Newton: 1ère loi (principe de l’inertie) :
Dans un référentiel galiléen, le centre d’inertie d’un solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). SYS Été 2013

76 Physique mécanique Lois de Newton:
2e loi (théorème du centre d’inertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle  des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de l’objet par son vecteur accélération. SYS Été 2013

77 Physique mécanique Loi de Newton: 3e loi :
Lorsqu'un solide S1 exerce une force sur un solide S2, le solide S2 exerce sur le solide S1, la force directement opposée. SYS Été 2013

78 Physique électrique Relation tension/courant dans une inductance:
Relation tension/courant dans un condensateur: SYS Été 2013

79 Thermodynamique Les principes:
0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : L’énergie est toujours conservée. Transformation d’une forme d’énergie à une autre. 2 : L’énergie se dégrade. Passage de l’énergie potentielle à l’énergie cinétique (frottement, chaleur,…). SYS Été 2013

80 Physiologie Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol:
SYS Été 2013

81 Sources d’images/modèles
Figures aux acétates #38 et #40: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: ml (visité le 6 septembre 2012) , 1997; Figure à l’acétate #77: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., «  Compartment models », (visité le 6 septembre 2012) , 2005. SYS Été 2013

82 Système lévitation magnétique
La force exercée par un électroaimant est représentée par: Avec I: le courant circulant dans l’électroaimant (en Ampère), S: la distance entre l’électroaimant et l’objet (en mètre), k: une constante dépendant de l’électroaimant (en N m^2/A^2). SYS Été 2013

83 Système lévitation magnétique
Si l’objet en sustentation est de masse M (en kg): Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette position est: SYS Été 2013

84 Système lévitation magnétique
Considérant l’entrée U = I2: Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette position est: SYS Été 2013

85 SYS Été 2013


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