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Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session été 2013. Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Source de limage: www.mlssystems.com/thermoforming.htm.

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1 Guy Gauthier, ing., Ph.D. Session été Cours #1: Introduction à la modélisation et au contrôle de procédés industriels Source de limage:

2 Présentation du plan de cours Plan de cours: Site web du cours https://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htmhttps://cours.etsmtl.ca/sys823/matiere.htm SYS Été

3 Introduction SYS Été

4 Modélisation SYS Été La modélisation permet de représenter un procédé de façon simplifié. Cela aide à en faire lanalyse. La modélisation implique de faire des hypothèses sur le procédé ou certains de ses paramètres pour pouvoir faire certaines simplifications. Il faut toutefois sassurer de ne pas négliger des paramètres importants du procédé.

5 Modélisation SYS Été Par exemple, imaginez un réservoir rempli deau. On doit modéliser le comportement du niveau et de la température de leau dans le réservoir. On assume un mélange parfaitement homogène. Ajout deau froide augmente le niveau et refroidit le contenu du réservoir. Le chauffage de leau augmente la température. Sur une plage de variation de 60 °C le volume varie denviron 1.7 %. On peut choisir de négliger cette variation dans le modèle, puisquelle affectera peu la commande en température ou de niveau. orange.fr/aquatech/Equipements/expansion.htmhttp://bernard.pironin.pagesperso- orange.fr/aquatech/Equipements/expansion.htm

6 Les raisons de modéliser SYS Été 2013 Entraînement des opérateurs; Design des procédés; Sécurité; Design des systèmes de contrôle. 6

7 Lentrainement de opérateurs SYS Été 2013 Les opérateurs sont les personnes chargées de l'exploitation d'un processus de production. Usine de produits chimiques; centrale nucléaire;… Un modèle dun procédé peut être utilisé pour former les opérateurs en effectuant des simulations. Simulateur de vol;… 7

8 Le design de procédés industriels SYS Été 2013 Le modèle mathématique dun procédé industriel peut être utilisé lors de la phase de design pour faciliter le dimensionnement des équipements pour obtenir la capacité de production voulu. Dimensionnement dun réacteur chimique pour obtenir une certaine capacité de production. 8

9 La sécurité dun procédé SYS Été 2013 La sécurité des procédés peut être évaluée grâce à un modèle. On peut ainsi évaluer si, suite à la défaillance dun équipement, le système va en se détériorant ou non. Évaluation du temps nécessaire à la pression pour atteindre un certain seuil après la défaillance dune valve. On aussi utiliser le modèle dun procédé pour faciliter le design dun système de sécurité. 9

10 Le design de systèmes de contrôle SYS Été 2013 Le contrôle de procédés industriels est nécessaire pour assurer que les variables du procédé restent à des valeurs désirées. Maintenir la température en ajustant le débit de vapeur dans un échangeur de vapeur. Les tests et ajustements de ces systèmes de contrôle peuvent être faits sans risque sur le modèle. Une fois éprouvés, ils peuvent être implantés sur le procédé réel. 10

11 Modélisation dun système dynamique SYS Été

12 Éléments dun système dynamique SYS Été 2013 États du système 12

13 Système dynamique SYS Été Le modèle dun système dynamique repose sur des équations différentielles (linéaires ou non). Ces équations peuvent être dun ordre quelconque et mettent en relations les entrées (contrôlables ou perturbantes) et les sorties. Pour comprendre et analyser le comportement du système, on doit résoudre ces équations différentielles. On introduit des variables détat permettant de suivre ce qui se passe dans le système, den analyser les points déquilibre, et détudier la stabilité à ces points.

14 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: 14

15 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: 15

16 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: 16

17 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: 17

18 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: 18

19 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: Sorties du système: 19

20 Équations dun système dynamique SYS Été 2013 États du système: Équations différentielles: Sorties du système: 20

21 Ces équations proviennent de… SYS Été 2013 …lois et relations mathématiques des domaines suivants: 21

22 Exemples SYS Été 2013 Loi dArrhenius Lois de Newton Relation courant tension dune inductance Les principes de la thermodynamique Pharmacocinétique (modèles à 1, 2 ou 3 compartiments) 22

23 Types… SYS Été 2013 Selon la nature des fonctions f et g, le système peut être: Le système peut-être invariant dans le temps. Paramètres indépendants de la variable t. Le système peut ne pas avoir dentrées. Il est alors qualifié d« autonome ». Léquation différentielle est qualifiée dhomogène. Le système peut être continu ou discret. Dans ce dernier cas, certains signaux sont échantillonnés. Linéaire Non-linéaire 23

24 Différentes approches de modélisation SYS Été 2013 Équations différentielles ordinaires; Transformées de Laplace; Équations détat. 24

25 Exemple des 3 approches SYS Été 2013 Soit un système mécanique: u(t) = force externe (entrée); y(t) = déplacement de la masse (sortie). Équation différentielle ordinaire 25

26 Approche – équations différentielles SYS Été 2013 Solution: Divisant par m : 26

27 Obtention de la sortie y(t) SYS Été 2013 Puis (dans le cas où dzêta<1): Si f(t) est un échelon damplitude A/m et les conditions initiales nulles. 27

28 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2013 Solution. Transformée de Laplace : 28

29 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2013 Puis : Ce qui donne: 29

30 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2013 Si u(t) est un échelon damplitude A: Donc : 30

31 Approche – transformée de Laplace SYS Été 2013 Et la transformé de Laplace inverse donne: Donc : 31

32 Bilan SYS Été 2013 Manipulations plus simples 32

33 Approche – équations détat SYS Été 2013 Solution. Équation de départ : Posant : 33

34 Approche – équations détat SYS Été 2013 Léquation se réécrit: Donc, nous avons le système déquations suivant : 34

35 Approche – équations détat SYS Été 2013 Sous forme matricielle : La sortie y(t) sécrit : 35

36 Approche – équations détat SYS Été 2013 Valeurs propres de la matrice A : Le comportement du système déprendra de ces valeurs propres… 36

37 Approche – équations détat SYS Été 2013 La sortie y(t) sécrit : Exponentielle dune matrice !!! 37

38 Modélisation de la circulation (modèle simplifié) Exemple: SYS Été

39 Circulation automobile SYS Été 2013 Frustré(e) dêtre pris(e) dans la circulation ? Voyons ce quil se passe au feux de circulation. 39

40 Circulation automobile SYS Été 2013 Modèle dune voiture: Obstacle: Voiture; Feu de circulation; Arrêt. Vitesse de la voiture: 40

41 Circulation automobile SYS Été 2013 À un feu rouge: Distance entre les deux voitures: 41

42 Circulation automobile SYS Été 2013 Dérivons cette distance: Le feu passe au vert: Voiture #1 voit sa vitesse passer de 0 à c; Ainsi: 42

43 Circulation automobile SYS Été 2013 Cette équation: Multipliant par u(t): Puis simplifiant: 43

44 Circulation automobile SYS Été 2013 Cela implique que: En intégrant: Puis simplifiant: 44

45 Circulation automobile SYS Été 2013 Finalement: Soit la situation suivante à analyser: L = 20 m, l = 4 m, c = 20 m/s (72 km/h). Cela implique que m = 5/4 et b =

46 Circulation automobile SYS Été 2013 Avec la condition initiale suivante x(0) = l = 4 m, alors: …et la dynamique de x(t) est: (en mètres). 46

47 Circulation automobile SYS Été 2013 Vitesse du second véhicule: 47

48 Rappels de notions de systèmes asservis SYS Été

49 Rappel – Signaux dentrée SYS Été

50 Rappel – Transformée de Laplace SYS Été

51 Rappel – Transformée de Laplace SYS Été 2013 Fonction sinusoïdale amortie: Fonction « cosinusoïdale » amortie: 51

52 Rappel – Propriétés de la transformée de Laplace SYS Été

53 Rappel – Décomposition en fractions partielles SYS Été cas possibles: Les racines du dénominateur sont réels et distincts; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures. 53

54 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #1 SYS Été 2013 Exemple: 54

55 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #2 SYS Été 2013 Exemple: 55

56 Rappel – Décomposition en fractions partielles – Cas #3 SYS Été 2013 Exemple: 56

57 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2013 Représentation dun nombre complexe: Soit: En posant s = j ω, on obtient: Cest un nombre complexe. 57

58 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2013 Amplitude du nombre complexe : Exprimé en décibel: 58

59 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été 2013 Phase dun nombre complexe : Amplitude et phase en deux graphiques donne le diagramme de Bode. 59

60 Rappel – Diagramme de Bode SYS Été

61 Rappel – Diagramme de Nyquist SYS Été 2013 Partie réelle et imaginaire en fonction de la fréquence angulaire. 61

62 Rappel – Marges de phase et de gain SYS Été 2013 Diagramme de Bode: 62

63 Rappel – Marges de phase et de gain SYS Été 2013 Diagramme de Nyquist: 63

64 Rappel – Lieu des racines SYS Été 2013 Position des pôles en boucle fermée: 64

65 Rappel – Lieu des racines SYS Été 2013 Dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée: Localisation des pôles de T(s) est fonction du gain K 65

66 Outils matlab/simulink SYS Été

67 MATLAB® SYS Été 2013 Création dun modèle: Système bilinéaire: Fonction bilin_ss.m: 67

68 MATLAB® SYS Été 2013 Points déquilibre: Valeurs des états qui font que les dérivées sont nulles. Commande « fsolve »: 68

69 MATLAB® SYS Été 2013 Pour obtenir la dynamique du système: Fonction bilin_dyn.m: Exécution: 69

70 MATLAB® SYS Été

71 MATLAB® SYS Été

72 SIMULINK® SYS Été 2013 Simulation via schémas blocs: 72

73 SYS Été

74 Chimie SYS Été 2013 Réaction chimique: Cette réaction se produit à une certaine vitesse (fonction de la température). Loi dArrhenius: k : constante de la vitesse de réaction E : Énergie dactivation (calorie/gramme-mole); R : Constante des gaz parfaits (calorie/gramme-mole/kelvin); A : Facteur de fréquence; T : Température en kelvin. 74

75 Physique mécanique SYS Été 2013 Lois de Newton: 1 ère loi (principe de linertie) : Dans un référentiel galiléen, le centre dinertie dun solide soumis à un ensemble de forces dont la somme vectorielle est nulle est soit au repos, soit animé dun mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant). 75

76 Physique mécanique SYS Été 2013 Lois de Newton: 2 e loi (théorème du centre dinertie) : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la masse de lobjet par son vecteur accélération. 76

77 Physique mécanique SYS Été 2013 Loi de Newton: 3 e loi : Lorsqu'un solide S 1 exerce une force sur un solide S 2, le solide S 2 exerce sur le solide S 1, la force directement opposée. 77

78 Physique électrique SYS Été 2013 Relation tension/courant dans une inductance: Relation tension/courant dans un condensateur: 78

79 Thermodynamique SYS Été 2013 Les principes: 0 : Si deux systèmes sont en équilibre thermique avec un troisième, alors ils sont aussi ensemble en équilibre thermique. 1 : Lénergie est toujours conservée. Transformation dune forme dénergie à une autre. 2 : Lénergie se dégrade. Passage de lénergie potentielle à lénergie cinétique (frottement, chaleur,…). 79

80 Physiologie SYS Été 2013 Modèles à compartiments: Dynamique du cholestérol: 80

81 Sources dimages/modèles SYS Été Figures aux acétates #38 et #40: Nise, N.S., « Control System Engineering », Wiley, 2008; Modèle de circulation: ml (visité le 6 septembre 2012), 1997; ml Figure à lacétate #77: Blomhj, M., Kjeldsen, T.H. and Ottesen, J., « Compartment models », (visité le 6 septembre 2012),

82 Système lévitation magnétique SYS Été La force exercée par un électroaimant est représentée par: Avec I: le courant circulant dans lélectroaimant (en Ampère), S: la distance entre lélectroaimant et lobjet (en mètre), k: une constante dépendant de lélectroaimant (en N m^2/A^2).

83 Système lévitation magnétique SYS Été Si lobjet en sustentation est de masse M (en kg): Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette position est:

84 Système lévitation magnétique SYS Été Considérant lentrée U = I 2 : Il existe une position y ou le système est en équilibre. Cette position est:

85 SYS Été


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