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1 EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT Conférence scientifique - Institut des Actuaires 20 janvier 2004.

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1 1 EVALUATION STOCHASTIQUE de la PROVISION POUR SINISTRES Christian PARTRAT Conférence scientifique - Institut des Actuaires 20 janvier 2004

2 2 Le provisionnement : plus un art quune science

3 3 Introduction (1) Finalité première : Mesurer l'incertitude présente dans les triangles de liquidation et les résultats des méthodes déterministes

4 4 Introduction (2) Les méthodes stochastiques (modèles) permettent de : 1.expliciter les hypothèses utilisées dans le modèle. 2. valider, au moins partiellement, celles-ci 3. évaluer la variabilité de la provision "prévue" par le modèle. 4. obtenir des estimations et intervalles de confiance pour des paramètres dintérêt liés à la provision 5. simuler, à l'aide de méthodes Monte-Carlo, la sinistralité d'exercices futurs (Dynamic Financial Analysis, Gestion Actif-Passif,…).

5 5 Introduction (3) Par mise en oeuvre de techniques bootstrap : estimation de la loi de probabilité de la provision et possibilité alternative d'estimer ses caractéristiques : Moments Value-at-Risk (quantiles) Probabilité d'insuffisance etc

6 6 Introduction (4) Approche stochastique choix dun modèle risque d'erreur de spécification (modèle inexact) mais possibilité dutiliser un jeu de modèles (analyse de sensibilité)

7 7 Introduction (5) Benchmark incontournable : chain ladder (standard) Lestimation de la provision donnée par une méthode stochastique doit être proche (Régression LogNormale, Kremer 1982,… ) exactement égale (modèle conditionnel Mack, 1993; modèle Log-Poisson de Renshaw et Verrall, 1994 et 1998) à lévaluation chain ladder

8 8 Introduction (6) Hors modèle de Mack sur triangle cumulé Modèles stochastiques, sur triangle non cumulé, basés sur le modèle linéaire (i) Normal (ii) Généralisé (GLM) Mise en œuvre pratique : logiciels statistiques (SAS,…) Rem : Filtre de Kalman non présenté

9 9 délai j exercicei [1][ [1][1] Intègre une évaluation des paiements postérieurs au 31/12/93 pour les sinistres survenus en Exemple (1) Dommages Auto : Paiements non cumulés (Increments)

10 10 Exemple (2) Dommages Auto : Paiements cumulés (Cumulative) délai j exercice i Provisions Chain ladder

11 11 Notations (1) Branche à déroulement sur années (n=5) Pour : v.a.r. montant non cumulé (exercice i ; délai j ) v.a.r. montant cumulé (ex. i ; délai j ) Triangle supérieur T des montants observé : réalisation de

12 12 Notations (2) Provision de lexercice i Provision globale (tous exercices confondus) Cash-flows annuels futurs, au titre de l exercice n+k

13 13 Problématique (1) A.Estimation d'un paramètre (certain mais inconnu) lié à la loi de R ( fonct. répart. de R ) : un indicateur de valeurs centrales de R : moyenne, médiane, quantile dordre >0.5,… Best estimates de R

14 14 Problématique (2) la probabilité d'insuffisance d'une provision donnée a priori un indicateur de volatilité : variance, écart-type, … un indicateur de queue : la Value-at-Risk d'ordre la TailVaR une « marge » (Market Value Margin, IAS/IFRS).

15 15 Problématique (3) estimateur de Propriétés (biais, …) Mesures dincertitude destimation : Mean Square Error Standard Error (asymptotique) estimées

16 16 Problématique (4) Intervalle de confiance pour au niveau 0,95

17 17 Problématique (5) B. prédiction de R Prédicteur de la v.a.r. R : Mesure dincertitude de prédiction : estimation de E(R)

18 18 Problématique (6) (1) p = 0,4 m = 10 tirages avec remise (0) q = 0,6 Obs : X 1, X 2, …, X m 0, 0, 1,0, 1, 0, 0, 0, 1, 0 Estimation de p ( = 0,3 ) Prédiction de la v.a.r. ( 0 )

19 19 Modèle conditionnel de Mack (1) Chain ladder stochastique 1 Mack, 1993 Mack,1999 Utilise le triangle des montants cumulés sous : H1 : Indépendance des exercices d'origine Les v.a. et sont indépendants,

20 20 Modèle conditionnel de Mack (2) H2 : Pour, il existe un paramètre tel que ou, indépendant de i Pour, facteur CL estimateur ss biais de

21 21 Modèle conditionnel de Mack (3) H3 : Pour, il existe un paramètre tel que >Estimation des MSE et standard errors de et Hyp. 2 et 3 validées graphiquement

22 22 i12345 Risque R i 6,4%8,1%8,0%22,8%3,6% Modèle conditionnel de Mack (4) Risques relatifs destimation des provisions Risque R = 3,7%

23 23 Remarque Colloque ASTIN 2003, Berlin G.Quarg : Munich chain ladder Closing the gap between paid and incurred IBNR-estimates détermination de la provision par intégration de la charge sinistres les paiements

24 24 Modèles à variables explicatives (1) Les variables intervenant dans la modélisation d'un triangle de liquidation correspondent aux trois directions "naturelles" délai 0 0 j n année i n i+j année calendaire

25 25 Modèles à variables explicatives (2) Les variables année (origine ou calendaire): qualitatives ordinales qualitatives : param.:, Pour un triangle déflaté : la variable délai, naturellement quantitative discrète à valeurs 0, 1, ….prise en (i) qualitative : (ii) quantitative :

26 26 Exemple (3) j i : année, délai de référence

27 27 Modèles à variables explicatives (3) Hyp. : les v.a.r. sont indépendantes Modèle 1.Choix de la loi des, dépendant de (i,j) LogNormale : Famille exponentielle (GLM) : Binomiale, Poisson (surdispersé), Normale, Gamma, ……

28 28 Modèles à variables explicatives (4) 2.un lien entre loi et variables explicatives Formes standards : Additive Multiplicative ou Modèle LogNormale :

29 29 Modèles à variables explicatives (5) La loi des peut dépendre dun autre paramètre Loi de donc le paramètre est fonction du paramètre exemple :

30 30 Modèles à variables explicatives (6) La méthode du maximum de vraisemblance, appliquée aux données du triangle supérieur, fournit les estimateurs m.v. de et de tout paramètre fonction de Exemple : emv de « best » est. de Etape 1: Estimation

31 31 Exemple (4) ,657 Emv ; Valeurs (Z) prévues

32 32 Exemple (5) i j Prov. = 2462 Val.(X) prévues :

33 33 Modèles à variables explicatives (7) Problème du biais estimateur biaisé (positivement) de asymptotiquement sans biais Verrall, 1991 Doray, 1996

34 34 Exemple (6) i j Résidus (Z) = Obs – Val. prévues

35 35 Régression LogNormale (1) Etape 2 : Diagnostic du modèle Détection des cellules « atypiques » Contrôle des hypothèses (indépendance,Normalité,homoscédasticité) par analyse des résidus

36 36 Exemple (7) i j Cellules « atypiques »

37 37 Exemple (8) i j

38 38 Exemple ( 9)

39 39

40 40

41 41 Régression LogNormale (2) Détection des observations influentes sur (i) valeurs prévues (DFFITS) forte pour (1,2) ; très forte pour (3,2) (ii) estimation des param. (DFBETAS) forte pour (1,2) et (3,2) (iii) précision destimation (COVRATIO) précision par la présence des obs autres que (1,2) et (3,2)

42 42 Régression LogNormale (3) Etape 3 : Risque destimation Calcul direct de et IdC pour difficiles Techniques alternatives : 1.Méthode Delta (asymptotique) 2. Méthode bootstrap

43 43 Régression LogNormale (4) 1.Méthode Delta Emv Matrice Var-Cov

44 44 Exemple (10) 0,012-0,006-0,007-0, ,0060,0120, ,0070,0060,0150, ,0120,0060,0070, ,001 Mat. Var-Cov estimée

45 45 Régression LogNormale (5) E(R) fonction de, par Théorème : où gradient de g Doù loi (asympt.) de,, IdC pour E(R)

46 46 Régression LogNormale (6) 2.Méthode Bootstrap Par rééchantillonnage B fois du triangle des résidus (B=1000 ; 2000 ;…..) B réplications bootstrap de lestimateur de Variance empirique, V boot, estime IdC pour E(R), Est. de la loi de, etc

47 47 Perspectives R & D + loi Modèles à quasi-vraisemblance Joint modelling Régression non paramétrique (lissage), GAM Modèles bayesiens (Bornhuetter-Ferguson) Mack T. (2000) Astin Bull. Vol.30, Increments <0

48 48 Références (1) Christofides S. (1990) : "Regression models based on Log incremental payments". Claims Reserving Manual Vol. 2, Institute of Actuaries Derrig R.A., Ostazewski K.M., Rempala G.A.(2000) : "Applications of resampling methods in actuarial practice" Cas.Act.Soc. Doray L.G. (1996) : "UMVUE of the IBNR reserve in a Log normal linear regression model" Ins. : Math & Econ. Vol. 18, England P.D., Verrall R. J. (1999) : "Analytic and bootstrap estimates of prediction error in claims reserving" Ins. : Math. & Econ. Vol. 25, England P.D., Verrall R. J. (2001) : "A flexible framework for stochastic claims reserving" Cas. Act. Soc. England P.D., Verrall R. J. (2002) : "Stochastic claims reserving in General Insurance" Institute of Actuaries. Hastie T.J.,Tibshirani R.J. (1990) : "Generalized additive models". Chapman § Hall

49 49 Références (2) Jal P. (2002) : "Obtention dintervalles de confiance en réassurance IARD par la méthode du bootstrap". Soumis au Bull. Franç. dActuariat. Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (2001) : "Modern Actuarial Risk Theory" Kluwer Acad. Press Kremer E. (1982) : "IBNR claims and the two way model of Anova" Scand. Act. J., Laboureau M., Brochard J. (1998) : "Estimation du risque lié au calcul des réserves" Mémoire ENSAE/IAF Mack T. (1993) : "Distribution free calculation of the standard error of Chain ladder reserve estimates" Astin Bull. Vol. 23, Mack T. (1994) : "Which stochastic model is underlying the chain ladder model" Ins. : Math. & Econ. Vol. 15, Mack T., Venter G. (2000) : "A comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26,

50 50 Références (3) Mc Cullagh P., Nelder J. (1989) : "Generalized Linear Models" 2e ed. Chapman &Hall Nelder J., Wedderburn R. W. (1972) : "Generalized Linear Models" J. Royal Stat. Soc. Vol. 135, Pinheiro P., Andrade e Silva J., Centeno M. (2001) : "Bootstrap methodology in claim reserving" Astin Colloq., Washington Raymond Marc (2001) : Le calcul des provisions pour sinistres à payer-Approches stochastiques Mémoire CEA/IAF. Renshaw A. E., Verrall R. J. (1994) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" Proceedings of XXV Astin Colloq., Cannes Renshaw A. E., Verrall R. J. (1998) : "A stochastic model underlying the chain ladder technique" British Act. J. Vol. 4, Schmidt K. D., Schrans A. (1996) : "An extension of Mack's model for the chain ladder method" Astin Bull. Vol. 26, Shao J., Tu D. (1995) : "The Jackknife and bootstrap" Springer

51 51 Références (4) Séminaire ISFA-ISUP (1995) : "Evaluation des provisions techniques en assurance non vie" ISFA, Université Claude Bernard Lyon 1 Swiss Re (2000) : "Late claims in reinsurance" Taylor G. (2000) : "Loss reserving : an actuarial perspective" Kluwer Acad. Press Verrall R. J. (1991) : "On the estimation of reserves from Log linear models" Ins. : Math. & Econ. Vol. 10, Verrall R. J. (2000) : " An investigation into stochastic claims reserving models and the chain ladder techniques" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, Verrall R. J., England P.D., (2000) :"Comments on : a comparison of stochastic models that reproduce chain ladder reserve estimates, by Mack and Venter" Ins. : Math. & Econ. Vol. 26, Mémoires de lInstitut des Actuaires sur le provisionnement non vie

52 52 Evaluation de la provision pour sinistres Mesures dincertitude Bootstrap Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 C. PARTRAT – P. JAL

53 53 Méthode Chain Ladder Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

54 54 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Triangle des paiements non cumulés

55 55 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Triangle des paiements cumulés

56 56 Triangle des paiements cumulés Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

57 57 Déroulement du triangle Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

58 58 Calcul des provisions Séminaire actuariel 7-8 novembre Provisions TOTAL:

59 59 Modèle stochastique de Poisson (Chain ladder stochastique 2) Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

60 60 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Modèle stochastique de Poisson Modèle GLM SAS B B B B B B B B B B A A A A A A A A A A Intercept Std ErrEstimationParamètre

61 61 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Modèle stochastique de Poisson Résultats EXACTEMENT identiques à ceux de Chain Ladder

62 62 Bootstrap et provisionnement Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002

63 63 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement Hypothèse: modèle Poissonnien pour la distribution des paiements Or résultats du modèle de Poisson = résultats de Chain Ladder Développement de la méthode à partir de Chain ladder Données: triangle des paiements cumulés

64 64 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 1ère étape: Chain Ladder « classique » calcul des coefficients de développement

65 65 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson: 1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle X 1,0177

66 66 X 1,0766 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson: 1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle

67 67 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson: 1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle

68 68 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement Travail sur les résidus (non standardisés) de Pearson: 1ère étape: calculer les valeurs prédites par le modèle pour la partie supérieure du triangle

69 69 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 2ème étape: en déduire les paiements annuels prédits par le modèle

70 70 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 3ème étape: calculer le triangle des résidus de Pearson non standardisés

71 71 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 4ème étape: appliquer le Bootstrap au triangle des résidus de Pearson On obtient ainsi triangles de résidus par tirage uniforme des résidus initiaux Ex:

72 72 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 5ème étape: reconstituer pour chaque triangle de résidus le triangle des paiements Connaissant le triangle deset celui deson en déduit celui des paiements annuels.

73 73 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle ainsi obtenu Calcul des paiements cumulés:

74 74 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle ainsi obtenu Calcul des facteurs de développement:

75 75 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement 6ème étape: on reprend la méthode Chain Ladder avec chaque triangle ainsi obtenu Déroulement du triangle: Provision

76 76 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement En faisant ceci pour chaque triangle bootstrapé, on obtient un échantillon de réalisations de notre variable « provision » Distribution empirique de lestimation de la provision

77 77 Séminaire actuariel 7-8 novembre 2002 Bootstrap et provisionnement En ajoutant une simple série de simulations supplémentaires: Distribution empirique de prédiction de la provision


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