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Principe de récurrence explication par une métaphore…

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Présentation au sujet: "Principe de récurrence explication par une métaphore…"— Transcription de la présentation:

1 Principe de récurrence explication par une métaphore…

2 Imaginons une grenouille qui veuille grimper à une échelle, elle a plusieurs choses à savoir faire…

3 Pour grimper jusquen haut elle doit savoir réaliser quelques actions : Savoir atteindre un barreau. Savoir grimper dun barreau au suivant. Par exemple, si elle sait atteindre le troisième barreau, et si elle sait grimper dun barreau au suivant, alors elle atteint tous les barreaux à partir du troisième.

4 Pour grimper jusquen haut elle doit choisir quelques actions… Savoir atteindre un barreau. Savoir grimper dun barreau au suivant. la propriété P n est vraie pour un entier n 0.(initialisation) si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 (hérédité)

5 Exemple 1 : On considère la suite (U n ) n1 définie par la relation : U 1 = 1 et aaau U n+1 = U n + 2n + 1 Si on calcule les premiers termes, on a U 1 =1, U 2 =4, U 3 =9, U 4 =16, U 5 =25… On peut donc conjecturer une formule générale : U n = n 2,cest-à-dire que lon pense que la formule est vraie pour tout entier n1

6 U 1 = 1 et aaau U n+1 = U n + 2n + 1 On a conjecturé que U n = n 2 pour tout entier n1, montrons le par récurrence, cest-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =1. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

7 U 1 = 1 et aaaaau U n+1 = U n + 2n + 1 Initialisation : montrons que la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =1 : En effet, U 1 = 1 et 1 2 =1. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que U n = n 2 pour un entier n donné, alors puisque U n+1 = U n + 2n + 1, on a : U n+1 = n 2 + 2n + 1 = (n+1) 2 Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n1

8 Exemple 2 : On considère la suite (U n ) n2 définie par la relation : U 2 = 0,5 et aaau U n+1 = (n/(n+1)) * U n Si on calcule les premiers termes, on a U 2 =0,5=1/2, U 3 =1/3, U 4 =1/4, U 5 =1/5… On peut donc conjecturer une formule générale : U n = 1/n,cest-à-dire que lon pense que la formule est vraie pour tout entier n2

9 U 2 = 0,5 et aaau U n+1 = (n/(n+1)) * U n On a conjecturé que U n = 1/n pour tout entier n2, montrons le par récurrence, cest-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =2. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

10 U 2 = 0,5 et aaau U n+1 = (n/(n+1)) * U n Initialisation : montrons que la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =2 : En effet, U 2 = 0,5 et 1/2=0,5. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que U n = n 2 pour un entier n donné, alors puisque U n+1 = (n/(n+1)) * U n, on a : U n+1 = (n/(n+1)) * 1/n = 1/(n+1) Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n2

11 Exemple 3 : SUITE ARITHMETIQUE !!! On considère la suite (U n ) n0 définie par la relation : U 0 fixé et aaau U n+1 = U n + r Si on calcule les premiers termes, on a U 1 = U 0 +r, U 2 = U 1 +r= U 0 +2*r, U 3 = U 2 +r= U 0 +3*r … On peut donc conjecturer une formule générale : U n = U 0 +n*r,cest-à-dire que lon pense que la formule est vraie pour tout entier n0.

12 U 0 fixé et aaau U n+1 = U n + r On a conjecturé que U n = U 0 +n*r pour tout entier n0, montrons le par récurrence, cest-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =0. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

13 U 0 fixé et aaau U n+1 = U n + r Initialisation : montrons que la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =0 : En effet, la valeur de U 0 est donnée et U 0 +0*r = U 0. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que U n = U 0 +n*r pour un entier n donné, alors puisque U n+1 = U n + r, on a U n+1 = (U 0 +n*r) +r = U 0 +(n+1)*r Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n0.

14 Exemple 4 : SUITE GEOMETRIQUE !!! On considère la suite (v n ) n0 définie par la relation : v 0 fixé et aaau v n+1 = v n *q Si on calcule les premiers termes, on a v 1 = v 0 *q, v 2 = v 1 *q = v 0 *q 2, v 3 = v 2 *q = v 0 *q 3 … On peut donc conjecturer une formule générale : v n = v 0 *q n,cest-à-dire que lon pense que la formule est vraie pour tout entier n0.

15 v 0 fixé et aaau v n+1 = v n *q On a conjecturé que v n = v 0 *q n pour tout entier n0, montrons le par récurrence, cest-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =0. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

16 v 0 fixé et aaau v n+1 = v n *q n Initialisation : montrons que la propriété P n est vraie pour lentier n 0 =0 : En effet, la valeur de v 0 est donnée et v 0 *q 0 = v 0 *1 = v 0. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que v n = v 0 *q n pour un entier n donné, alors puisque v n+1 = v n *q, on a v n+1 = (v 0 *q n ) *q= v 0 *q n+1 Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n0.


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