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Slide 1 Energétique du bâtiment Septembre - Décembre 2009 Calcul et modélisation d'un bâtiment – Simulation du comportement dynamique Nicolas Morel.

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1 Slide 1 Energétique du bâtiment Septembre - Décembre 2009 Calcul et modélisation d'un bâtiment – Simulation du comportement dynamique Nicolas Morel

2 Slide 2 1. Calcul du bilan thermique mensuel: méthode LESOSAI

3 Slide 3 2. Simulation du comportement dynamique d'un bâtiment

4 Slide 4 Simulation dynamique: Pourquoi ? 1. Evaluation du confort thermique intérieur: –une moyenne mensuelle ou même journalière n'est pas suffisante pour évaluer le confort thermique –le confort thermique devrait être caractérisé par des indicateurs tels que: »des histogrammes du PMV, PPD ou de la moyenne Tair et Tmr »la fraction du temps durant laquelle une de ces quantités est inférieure ou supérieure à une valeur seuil, considérée comme une valeur limite de confort (par exemple, la fraction de surchauffe, soit la fraction de temps durant laquelle la température de l'air est supérieure à 26 °C)

5 Slide 5 Simulation dynamique: Pourquoi ? 2. Bilan thermique de systèmes intermittents ou de systèmes qui font intervenir des comportements complexes ou des stratégies temporelles: –de tels systèmes ne peuvent pas être représentés correctement par un état moyen (température moyenne) –exemples: »bâtments à forts gains solaires passifs »systèmes de contrôle des installations techniques »comportement stochastique des utilisateurs du bâtiment

6 Slide 6 Simulation dynamique: Pourquoi ? Température intérieure, °C (mesure, contrôleur NEUROBAT vs. conventionel): PMV=Predicted Mean Vote (mesure, contrôleur NEUROBAT vs. conventionel):

7 Slide 7 Approches possibles de la simulation dynamique du comportement thermique d'un bâtiment

8 Slide 8 Approches de la simulation thermique u Catégories principales de méthodes: –méthodes de type "facteurs de réponse" »calcul de la réponse thermique d'un bâtiment comme une somme de réponses à des excitations élémentaires »transformation de Laplace (fonctions saut unité élémentaires) »réponse harmonique (fonctions périodiques élémentaires) »... –méthodes numériques »bâtiment représenté par un système ou réseau équivalent »système d'équations solution

9 Slide 9 Approches de la simulation thermique Facteurs de réponseMéthodes numériques Avantages u calcul rapide u validation facile u programmes faciles à utiliser (en général) u flexibilité élevée Inconvénients u peu flexibles u difficulté de simuler les services techniques et leurs stratégies de contrôle u approximations u puissance de calcul nécessaire u logiciels souvent difficiles à maîtriser et nécessitant de bonnes connaissances en physique du bâtiment

10 Slide 10 Approches de la simulation thermique u Processus thermo-physiques qui interviennent dans un bâtiment: –processus de transfert de chaleur: »conduction »convection naturelle (air) »convection forcée (air/eau), transfert de chaleur par un fluide caloporteur »échanges radiatifs –sources de chaleur: »rayonnement solaire »système de chauffage/refroidissement »personnes »appareils »... –stockage de chaleur (sensible/latente)

11 Slide 11 Modèles thermiques dynamiques simples

12 Slide 12 Modèles thermiques simples u En général, le terme "simple" fait référence à 2 aspects: –prise en considération d'un modèle thermo-physique simple de l'objet à simuler »modèles avec des couplages thermiques conductifs uniquement »modèle de bâtiment avec un nombre limité de "zones thermiques" »calcul simplifié des gains solaires "simplification du modèle thermo-physique" –réduction du nombre d'équations permettant une description correcte de l'objet à simuler »réduction du nombre de variables d'état sans signification physique "réduction du modèle"

13 Slide 13 Modèle simple: réseau nodal équivalent u Approximation du modèle de bâtiment: –un ensemble de "noeuds", c'est-à-dire de zones que l'on peut considérer à température homogène, ou dont certaines parties n'ont que peu d'influence sur la chaleur stockée –des connexions thermiques entre ces noeuds par des "conductances équivalentes" –des sources de chaleur sur certains des noeuds u La méthode du réseau nodal équivalent: –peut être considérée comme une méthode par éléments finis (décomposition du bâtiment en éléments de taille variable) –nécessite une bonne compréhension de la physique du bâtiment si l'utilisateur doit définir lui-même les noeuds de façon optimale

14 Slide 14 Modèle simple: réseau nodal équivalent u Hypothèses: –les noeuds 1,...,m sont les noeuds dont la température doit être calculée en fonction du temps (m = 2 pour l'exemple) –les noeuds m+1,...,n sont les noeuds dont la température est donnée en fonction du temps (conditions aux limites; par exemple la température de l'air extérieur; n = 3 pour l'exemple)

15 Slide 15 Réseau nodal équivalent: équations u Flux de chaleur du noeud i (température T i ) au noeud j (température T j ): q ij = h ij · (T i – T j ) u h ij [W/K]: conductance équivalente du noeud i au noeud j –conductance pure –conductance équivalente (par exemple à un couplage radiatif)

16 Slide 16 Réseau nodal équivalent: équations u Source de chaleur additionnelle sur noeud j: S j [W] –par exemple rayonnement solaire ou système de chauffage u Capacité thermique du noeud j: C j [J/K] –matériaux à chaleur sensible –matériaux à changement de phase/chaleur latente non pris en compte ici (traitement spécial nécessaire à cause de la discontinuité)

17 Slide 17 Réseau nodal équivalent: équations u Equation pour le noeud j (conservation de la chaleur):

18 Slide 18 Réseau nodal équivalent: équations Notation matricielle: dT/dt = A T + B U avec: –T = vecteur des températures de noeuds (T 1,..., T m ) –U = vecteur des excitations extérieures (S 1,..., S m suivi par T m+1,...,T n ) –A, B = matrices du système d'équations (possiblement dépendantes du temps ou des températures)

19 Slide 19 Réseau nodal équivalent: équations (vecteur colonne m x 1)(vecteur colonne n x 1)

20 Slide 20 Réseau nodal équivalent: équations (matrice m x m)

21 Slide 21 Réseau nodal équivalent: équations (matrice m x n)

22 Slide 22 Réseau nodal équivalent: résolution u Méthode par différence finie: –discrétisation du temps résolution du système d'équations par pas de temps (variable ou fixe) –pour un pas de temps élémentaire: connaissant T(t 0 ), trouver T(t 0 + t); puis recommencer le processus jusqu'au temps final t f u Schémas de résolution explicite/implicite: –considérer l'expansion de Taylor de la température autour de la valeur courante T(t 0 ): T(t 0 + t) = T(t 0 ) + t · T'(t 0 ) + t 2 /2 · T''(t 0 ) +... T(t 0 - t) = T(t 0 ) - t · T'(t 0 ) + t 2 /2 · T''(t 0 ) -...

23 Slide 23 Réseau nodal équivalent: résolution u Schéma explicite –évaluation de la dérivée par différence avant de premier ordre: T'(t 0 ) = (T(t 0 + t)-T(t 0 ))/ t + ( t) –l'erreur est d'ordre t: diviser t par 2 signifie que l'erreur est également divisée par 2 –insérer l'expression de la dérivée dans le système d'équations: (T(t 0 + t)-T(t 0 ))/ t = A T(t 0 ) + B U(t 0 ) T(t 0 + t) = T(t 0 ) + t (A T(t 0 ) + B U(t 0 )) –avantage: calcul facile, pas d'inversion de matrice –inconvénient: si le pas de temps est trop grand, la solution peut diverger (condition de Fourier, voir plus loin)

24 Slide 24 Réseau nodal équivalent: résolution u Schéma implicite –évaluation de la dérivée par différence arrière de premier ordre: T'(t 0 ) = (T(t 0 )-T(t 0 - t))/ t + ( t) l'erreur est d'ordre t (comme pour le schéma explicite) –insérer l'expression de la dérivée dans le système d'équations: –(T(t 0 )-T(t 0 - t))/ t = A T(t 0 ) + B U(t 0 ) (T(t 0 + t)-T(t 0 ))/ t = A T(t 0 + t) + B U(t 0 + t) (I- t A) T(t 0 + t) = T(t 0 ) + t B U(t 0 + t) T(t 0 + t) = (I- t A) -1 (T(t 0 ) + t B U(t 0 + t)) –avantage: stabilité (pas de risque de divergence) –inconvénient: calcul plus lourd (inversion matricielle)

25 Slide 25 Réseau nodal équivalent: résolution u Schéma de différence centrale –évaluation de la dérivée par différence centrale: T'(t 0 ) = (T(t 0 + ½ t)-T(t 0 - ½ t))/( t) + ( t 2 ) l'erreur est d'ordre t 2 : diviser t par 2 signifie que l'erreur est divisée approximativement par 4 –(T(t 0 + ½ t)-T(t 0 - ½ t))/ t = A T(t 0 ) + B U(t 0 ) (T(t 0 + t)-T(t 0 ))/ t = A T(t 0 + t/2) + B U(t 0 + t/2) –approximation: T(t 0 + t/2)=(T(t 0 + t)+T(t 0 ))/2 (I- ½ t A) T(t 0 + t) = (I+ ½ t A) T(t 0 ) + t B U(t 0 + ½ t) T(t 0 + t) = (I-½ t A) -1 ((I+½ t A) T(t 0 ) + t B U(t 0 +½ t)) –méthode Crank-Nicholson –avantage: bonne convergence, stabilité (pas de risque de divergence) –inconvénient: calcul plus lourd (comme précédemment, il faut inverser une matrice)

26 Slide 26 Réseau nodal équivalent: résolution u Stabilité pour le schéma explicite: –nombre de Fourier F = g t/C »g = conductance totale vers tous les autres noeuds [W/K] »C = capacité thermique [J/K] –F peut être interprété comme le rapport de l'énergie transmise par conduction à l'énergie stockée dans la capacité thermique, durant un pas de temps –condition de stabilité de Fourier: F ½ t C/(2 g)

27 Slide 27 Réseau nodal équivalent: résolution u Stabilité pour le schéma explicite (suite): –Exemple 1: un noeud correspondant à une surface de 1 m 2 d'une tranche de 10 cm d'un mur en béton »capacité thermique C = 0.1 m 3 · 2400 kg/m 3 · 1000 J/kg K = 240 kJ/K »conduction vers les noeuds voisins équivalente à deux fois 5 cm de béton (g = 2 · 1 m2 · 1.8 W/m K /0.05 m = 72 W/K) »condition de Fourier: t 1700 s (un peu moins d'une demi-heure) –Exemple 2: un noeud correspondant à l'air d'une pièce de 50 m 3 »capacité thermique C = 50 m 3 · 1.2 kg/m 3 · 1000 J/kg K = 60 kJ/K »conduction équivalente vers 100 m2 de mur + plancher + plafond, soit approximativement 100 m 2 · 8 W/m 2 K = 800 W/K »la condition de Fourier devient t 40 s !!!

28 Slide 28 Réseau nodal équivalent: complexification u Pour augmenter la précision du modèle, le réseau nodal équivalent peut être complexifié par: –l'ajout de noeuds additionnels (augmentation du nombre de variables d'état et diminution de la dispersion de température dans un noeud) –la prise en compte d'autres modèles de transfert de chaleur (convection, radiation, etc) –la prise en compte d'une dépendance explicite du temps pour les caractéristiques du réseau nodal équivalent –une meilleure modélisation des termes de sources de chaleur (par exemple un radiateur transmettant la chaleur par convection à l'air ambiant et par rayonnement vers les surfaces de la pièce) –la prise en compte d'algorithmes complexes de réglage des installations techniques –...

29 Slide 29 Réseau nodal équivalent: noeuds additionnels u Le choix des noeuds représente le problème le plus difficile dans l'élaboration d'un réseau nodal équivalent pour un objet complexe u En général, pour augmenter la pertinence physique d'un modèle, des noeuds doivent être ajoutés pour: –les éléments lourds (murs, dalles, etc) »utiliser davantage qu'un noeud pour modéliser un mur lourd, afin de tenir compte de la dispersion de tempéraure et de la propagation de la chaleur dans le mur –les éléments recevant des sources de chaleur importantes »surface extérieure d'un mur recevant du rayonnement solaire –des zones thermiques avec des caractéristiques différentes »éviter la modélisation d'un bâtiment sous forme d'une seule zone »stratification des températures davantage qu'un noeud pour l'air d'une pièce

30 Slide 30 Réseau nodal équivalent: noeuds additionnels u Exemple: Mur lourd multicouches, plusieurs noeuds à différentes profondeurs, gains solaires à la surface extérieure (a) mur isolé(b) mur non isolé

31 Slide 31 Exemple: simulation simple (1 ou 2 noeuds) d'un bâtiment monozone

32 Slide 32 Caractéristiques thermiques du bâtiment Sud

33 Slide 33 Caractéristiques thermiques du bâtiment Bâtiment parallélipipédique de 10m x 10m au sol, hauteur 6 m (2 étages), situé dans le climat de Lausanne u Isolation des éléments de construction: –U parois = 0.3 W/m 2 K –U toit = 0.2 W/m 2 K –U dalle sol = 0.4 W/m 2 K u Renouvellement d'air: –0.3 vol/heure u capacité thermique: –C eff = 0.5 MJ/K m 2 de plancher u Fenêtres: –20 m 2 en façade sud, 10 m 2 pour chacune des façades est et ouest, 5 m 2 en façade nord –fraction de cadre 20 % –double vitrage avec couche IR (U fenêtre = 1.5 W/m 2 K, g = 0.60) u Hypothèse supplémentaire: négliger le couplage thermique vers le sol !

34 Slide 34 Premier modèle: 1 noeud u Paramètres du modèle: –T 0 = température initiale noeud 1 [°C] –A equ,i = surface équivalente de captage des gains solaires, façade i [m 2 ] –g 1e = conductance équivalente intérieur - extérieur [W/K] –C 1 = capacité thermique effective intérieure [J/K]

35 Slide 35 Premier modèle: 1 noeud u Valeurs des paramètres du modèle: –T 0 = 20 °C –A equ,sud = 20 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 9.6 m 2 –A equ,est = 10 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 4.8 m 2 –A equ,ouest = 10 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 4.8 m 2 –A equ,nord = 5 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 2.4 m 2 –g 1e = A fenêtre · U fenêtre + A mur · U mur + A toit · U toit + dV ren air /dt · air · C p,air = ( ) W/K = 206 W/K –C 1 = 0.5 MJ/m 2 K · 200 m 2 = 100 MJ/K Remarque: constante de temps = C 1 /g 1e = 5.6 jours

36 Slide 36 Deuxième modèle: 2 neuds u Paramètres du modèle: –T 10 = température initiale noeud 1 [°C] –T 20 = température initiale noeud 2 [°C] –A equ,i = surface équivalente de captage des gains solaires, façade i [m 2 ] –f sol = fraction des gains solaires passifs sur noeud 1 –g 1e = conductance équivalente noeud 1 - extérieur [W/K] –g 2e = conductance équivalente noeud 2 – extérieur [W/K] –g 12 = conductance équivalente noeud 1 – noeud 2 [W/K] –C 1 = capacité thermique effective noeud 1 [J/K] –C 2 = capacité thermique effective noeud 2 [J/K]

37 Slide 37 Deuxième modèle: 2 noeuds u Valeurs des paramètres du modèle: –T 10 = 20 °C –T 20 = 20 °C –A equ,sud = 20 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 9.6 m 2 –A equ,est = 10 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 4.8 m 2 –A equ,ouest = 10 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 4.8 m 2 –A equ,nord = 5 m 2 · (1 - f cadre ) · g fenêtre = 2.4 m 2 –f sol = 0.5 –g 1e = A fenêtre · U fenêtre + dV ren air /dt · air · C p,air = ( ) W/K = 128 W/K –g 2e = A mur · U mur + A toit · U toit = 78 W/K –g 12 = (A mur + A toit + A struct ) · 8 W/m2K = ( ) m2 · 6 W/m2K = 3000 W/K –C 1 = 0.5 MJ/m 2 K · 200 m 2 = 100 MJ/K –C 2 = V air · air · C p,air · K mob = 0.72 MJ/K · 3 = 2.16 MJ/K

38 Slide 38 Données météo Les données météo (conditions aux limites) sont à lire sur le fichier laushour2.csv –Lausanne, année synthétique produite par le logiciel MeteoNorm –1 er janvier au 31 décembre, heure par heure –une ligne par pas de temps

39 Slide 39 Données météo: colonnes u Valeurs MeteoNorm –mois –jour du mois –heure du jour –heure de l'année –T ext [°C] –I glob,hor [W/m 2 ] –I diff,hor [W/m 2 ] –I glob,vert sud [W/m 2 ] –I diff,vert sud [W/m 2 ] –I dir,normal [W/m 2 ] –h sol [degrés, 0°=hor, 90°=zenith] –az sol [degrés, 0=sud, -90=est, 90=ouest, 180=nord] u Valeurs supplémentaires (reconstruites) –I glob,vert sud [W/m 2 ] –I diff,vert sud [W/m 2 ] –I glob,vert est [W/m 2 ] –I diff,vert est [W/m 2 ] –I glob,vert ouest [W/m 2 ] –I diff,vert ouest [W/m 2 ] –I glob,vert nord [W/m 2 ] –I diff,vert nord [W/m 2 ]


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