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Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à lanalyse dincertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier.

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1 Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à lanalyse dincertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / PolytechMontpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre

2 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Les deux grandes pathologies de la modélisation 2 Insensibilité Grandes variations de variations de u négligeables Inversion de modèle difficile… … et dangereuse (valeurs de irréalistes, jeux admissibles de paramètres non uniques, etc.) Paramètre Variable u Sensibilité s Paramètre

3 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Les deux grandes pathologies de la modélisation 3 Hypersensibilité Petite variation de grande variation de u Caractère prédictif du modèle: douteux En général: le signe dune paramétrisation « cachée » (contrôle par plusieurs paramètres et non un seul) Inversion du modèle (calage): difficile Paramètre Variable u Sensibilité s Paramètre

4 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 La sensibilité: une dérivée directionnelle 4 Modèle hydrodynamique (ex. Saint-Venant): un jeu dEDP Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites Perturbation du paramètre sous la forme Sensibilité: dérivée directionnelle (Gateaux) [1] [1] Cacuci, Uncertainty Analysis, 2003 => Perturbation de la solution: u u

5 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 La sensibilité: une dérivée directionnelle 5 Passage à la limite équations en sensibilité Intérieur du domaine Conditions initiales Conditions aux limites La formulation reste valide même dans le cas de solutions discontinues si lon se place dans le cadre de la théorie des distributions [1] Dans le cas des modèles Saint-Venant 1D et 2D: le modèle en sensibilité est hyperbolique (dégénéré) [2, 3] problèmes de précision numérique au voisinage des points critiques et des chocs [4] (seuls les schémas « upwind » semblent suffisamment robustes [5]) [1] Bardos & Pironneau, CRAS, 2002 [2] Delenne & al., CRAS, 2008 [3] Guinot & al., advances in Water Resources, 2009 [4] Gunzburger, IJNMF, 1999 [5] Guinot & Delenne, Computers & Fluids, 2012 Approche continue: résolution des équations en sensibilité

6 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 La sensibilité: une dérivée directionnelle 6 [1] Guinot & al, Adv. in Water Resources, 2009 résoudre numériquement les équations hydrodynamiques puis dériver la solution numérique Simple demploi, nombreuses techniques disponibles Il nest pas nécessaire de connaître les équations du modèle Présente souvent des artefacts numériques [1] Sensibilité empirique du champ de vitesse à la cote aval Approche discrète (empirique)

7 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 1D en régime permanent 7 Equation hydrodynamique: [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009 Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1] x h L hnhn h ds 0 x L0 1 Propagation de linfluence de la hauteur aval sur une longue distance

8 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 1D en régime permanent 8 [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009 Décroissance quasi-exponentielle avec x il existe une taille de bief optimale pour le calage par morceaux des paramètres de frottement [1] x h L hnhn h ds 0 x L0 0 Equation hydrodynamique: Equation en sensibilité: EDO du premier ordre [1]

9 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 1D en régime permanent 9 [1] A. Mosca, étude en cours (PolytechM 5 ème année) Sensibilité locale calculée autour dun paramètre nominal Mais: le caractère constant par morceaux de la sensibilité semble assez bien vérifié pour des sections de forme arbitraire [1] ces résultats devraient pourvoir être généralisés Q z

10 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 2D en régime permanent 10 Equation en sensibilité [1] [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009 Régime fluvial Equation de diffusion anisotrope Propagation préférentielle: direction transversale La direction de propagation nest pas la même selon la variable que lon considère Sensibilité de h et u x 10 Sensibilité de u y Ecoulement Sensibilité à une variation de topographie

11 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 2D en régime permanent 11 [1] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009 Régime torrentiel Equation de propagation (hyperbolique) en (x, y) Propagation préférentielle: fonction du nombre de Froude Fr Ecoulement Equation en sensibilité [1] Sensibilité à une variation de topographie Adapter le calage au régime découlement et aux variables utilisées

12 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Comportement 1D / 2D 12 Modèle 2D [2] Sensibilité: EDP dordre 2 (elliptique en fluvial, hyperbolique en torrentiel) Distance caractéristique: quelques mètres en fluvial [1] Guinot & Cappelaere, J. Hydrol. Engng (ASCE), 2009 [2] Guinot & Cappelaere, Advances in Water Resources, 2009 Modèle 1D [1] Sensibilité: EDO quasi-linéaire dordre 1 décroissance approximativement exponentielle avec la distance Distances caractéristiques en régime fluvial: 10 3 ; torrentiel: 10 2 m Topographie: effet très important mais très local Frottement: effet faible, demande des distances importantes Conditions aux limites: effet rapidement dissipé par les carrefours (2D) fluvial torrentiel

13 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Sensibilité et Incertitude 13 Densité de probabilité supposée pour le(s) paramètre(s) incertain(s) Descripteurs statistiques de la distribution de sortie (e.g. moyenne et variance) Modèle N simulations Estimateurs de la moyenne et de la variance Vecteur des paramètres Solution du modèle Analyse globale Le nombre N de simulations doit être grand

14 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Sensibilité et Incertitude 14 Développement au 1 er ordre Moment dordre 2: estimation de la variance partielle pour un paramètre Estimation de la variance totale pour p paramètres Utilisation de la sensibilité locale comme approximation linéaire de la réponse du modèle Estimation de la moyenne:

15 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 1D transitoire 15 [1] Delenne & al., Reliability Eng. & System Safety, 2012 q min q max Canal rectangulaire Propagation dune onde de crue : incertitude sur le débit max q(t)q(t) nMnM S0S0

16 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèles Saint Venant 1D transitoire 16 ParamètresIntervalle 4 paramètres incertains indépendants Moyenne Variance

17 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Conclusions 17 Utilisation de la sensibilité locale: [1] Guinot & al., J. of Hydrology, 2011 Pour le calage: hiérarchisation des paramètres à caler détermination de la taille de bief optimale pour le calage du coefficient de rugosité, utilisation dans le processus de maximisation de la fonction objectif [1] Pour lanalyse dincertitude: Malgré une forte non linéarité des équations « shallow water » (canal rectangulaire): estimation correcte de la variance totale et des variances partielles (même pour des paramètres corrélés) Validation de la méthode en cours pour des sections arbitraires

18 Modèles à surface libre: les apports du calcul direct de sensibilité au calage et à lanalyse dincertitude Vincent Guinot, Carole Delenne Université Montpellier 2 / PolytechMontpellier HydroSciences Montpellier GIS HED2 - décembre

19 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèle Saint Venant 1D transitoire 10 réplicas de la variance partielle avec N=1000 simulations Variance partielle pour différentes valeurs de N Importance du nombre de simulation pour la méthode globale

20 1.Introduction 2.Sensibilité locale 3.Sensibilité et calage 4.Sensibilité et incertitude 5.Conclusions V. Guinot & C. Delenne – GIS HED2 - décembre 2012 Modèle Saint Venant 1D transitoire Paramètres corrélés: loi de tarage h(q)


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