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Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

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1 Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée

2 Théorie des graphes et MuPad2 Plan de la journée Graphes: outils de modélisation Mathématisation Algorithmétisation Découverte de Mupad MuPad et graphes

3 Théorie des graphes et MuPad3 Graphes: outils de modélisation Optimisation combinatoire Plus court chemin… Recherche opérationnelle Ordonnancement, flot… Représentation de liens de dépendance Logique, promenades aléatoires… Comportement de systèmes informatiques Systèmes distribués… Problèmes dans des réseaux etc.

4 Théorie des graphes et MuPad4 4 villages de Sildavie Zmrzlina Kava Kolac Dort

5 Théorie des graphes et MuPad Zmrzlina Kava Kolac Dort Réseau routier Problème: organiser la signalisation (routage)

6 Théorie des graphes et MuPad6 Problème 2: trouver une tournée pour le postier Zmrzlina Kava Kolac Dort

7 Théorie des graphes et MuPad7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Une tournée possible du postier

8 Théorie des graphes et MuPad8 Exercice 1 Ce circuit est-il le plus court possible? Zmrzlina Kava Kolac Dort

9 Théorie des graphes et MuPad9 Matrice aux arcs du graphe

10 Théorie des graphes et MuPad10 Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par lunion, de plus, on ne retient que les chemins sans circuit (chemins élémentaires). Le produit latin

11 Théorie des graphes et MuPad11 Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M énumèrent les chemins élémentaires dordre r du graphe

12 Théorie des graphes et MuPad12 On obtient lensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe) Doù on déduit les circuits hamiltoniens du graphe

13 Théorie des graphes et MuPad13 Il y a essentiellement 2 circuits (hamiltoniens): Longueur = Longueur = est le meilleur!

14 Théorie des graphes et MuPad14 Exercice 2 Le problème de monsieur Nô Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche dun carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur léchiquier en passant dune case à lune des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui lamène chez Mr. Gô, en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de léchiquier? Berge (1970)

15 Théorie des graphes et MuPad15 Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements possibles sur léchiquier On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases blanches, Mr. Nô doit faire 63 sauts, il aboutira donc nécessairement sur une case noire (absurde)

16 Théorie des graphes et MuPad16 Un projet dadduction deau Zmrzlina Kolac Kava Dort

17 Théorie des graphes et MuPad17 Ordonnancement des tâches TâcheDuréeOpérations antérieures a Cahier des charges 30 b Approbation par Zmrzlina 5a c Approbation par Kava 5a d Approbation par Kolac 5a e Approbation par Dort 5a f Lancement des appels d'offres 8b,c,d,e g Commande 2f h Creuser les tranchées 10b,c,d,e i Construire les châteaux 20g j Placer les canalisations 5h k Installer l'électronique 3h,g l Installer les pompes 3j m Tester le système 5h,i,k,l n Distribution de l'eau au public 6m

18 Théorie des graphes et MuPad18 Graphe dordonnancement des tâches a c b h e d igf lj nm k

19 Théorie des graphes et MuPad19 Fin de chacune des tâches Chemin critique incompressible, si on allonge une durée sur ce chemin cest la durée totale des travaux qui est allongée.

20 Théorie des graphes et MuPad20

21 Théorie des graphes et MuPad21 Capacité des canalisations et flot maximal Zmrzlina Kava Kolac Dort

22 Théorie des graphes et MuPad22 Débit de chaque château deau Capacité des canalisations A C B E Consommation maximale de chaque village S

23 Théorie des graphes et MuPad23 Flot dans le réseau On cherche des réels définissant le flux sur larête (a,b) ab

24 Théorie des graphes et MuPad24 Conservation du flux Loi de Kirchof: Le flux entrant est égal au flux sortant dans chaque nœud i

25 Théorie des graphes et MuPad25 Compatibilité avec la capacité des arêtes Compatibilité du flot: Le flux dans chaque arête est inférieur ou égal à la capacité de larête ab

26 Théorie des graphes et MuPad26 Le problème du flot maximal Trouver un flot maximal cest trouver un flot compatible qui rend maximal le flot dans larête virtuelle (S,E) dont la capacité est posée infinie

27 Théorie des graphes et MuPad27 Premières étapes Trouver un flot compatible Le flot nul convient Saturer le flot Tant quil existe un chemin de E vers S sans aucune arête saturée, on augmente le débit sur ce chemin jusquà saturation dune arête

28 Théorie des graphes et MuPad28 Première étape de la boucle « tant que » S A C B E (100) (50) (150)

29 Théorie des graphes et MuPad29 Première étape de la boucle « tant que » S A C B E (100) (50) (100)

30 Théorie des graphes et MuPad30 Deuxième étape de la boucle « tant que » S A C B 0 0 E

31 Théorie des graphes et MuPad31 Au bout dun certain nombre détapes En fait: au plus le nombre darêtes -2 ! Sur notre exemple exactement 8 étapes

32 Théorie des graphes et MuPad32 On obtient un flot complet Il nest pas forcément maximal! S A C B E

33 Théorie des graphes et MuPad33 S A C B E Montrons quil nest pas maximal

34 Théorie des graphes et MuPad34 Equation de conservation du flux Flux entrant Flux sortant = Pour le flux entrant, on ne peut pas faire mieux! Objectif: diminuer le flux sortant de larête (B,3)

35 Théorie des graphes et MuPad35 S C 4 3 B E Réduction du débit sur le tuyau (B,3) (225) (75) (100) (150)

36 Théorie des graphes et MuPad36 S C 4 3 B 50 E On peut le réduire à zéro

37 Théorie des graphes et MuPad37 Equation de conservation du flux Flux entrant Flux sortant = Le flux entrant est maximum Le flot maximum est atteint !

38 Théorie des graphes et MuPad38 Conclusion Le réseau ne permet pas de répondre à une demande maximale des quatre villages! Il faut construire une nouvelle canalisation de C vers 4 de capacité minimum 25 l/s Les responsables auraient mieux fait de faire une étude préalable!

39 Théorie des graphes et MuPad39 S A C B E

40 Théorie des graphes et MuPad40 Question Evaluer le flot maximum du réseau électrique EDF sur toute la France Algorithme de Ford et Fulkerson Définition- Correction- Complexité

41 Théorie des graphes et MuPad41 Un autre problème: celui du chauffeur de taxi Zmrzlina Kava Kolac Dort

42 Théorie des graphes et MuPad42 Graphe de transition

43 Théorie des graphes et MuPad43 Où désigne la probabilité conditionnelle que le taxi aille en j sachant quil est en i Mathématisons la promenade aléatoire du taxi sur notre réseau Posons:

44 Théorie des graphes et MuPad44 Exercice 3 La matrice que nous venons de construire à les propriétés: Toute matrice qui a ces propriétés est dite stochastique. Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre.

45 Théorie des graphes et MuPad45 Réponse exo 3 Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1

46 Théorie des graphes et MuPad46 Posons où désigne la probabilité que le taxi soit en i. Soit V le vecteur défini par: V=VM alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se trouve après une course dans la ville i sachant la distribution de probabilité initiale V de présence dans chacune des viles

47 Théorie des graphes et MuPad47 Chaîne de Markov Par récurrence, on définit un processus: Où désigne le vecteur « condition initiale » et le vecteur représente la distribution de probabilité de présence du taxi dans chacune des villes à la fin de la nième course, sachant la condition initiale.

48 Théorie des graphes et MuPad48 Expérimentation On fait lhypothèse que le chauffeur de taxi part le matin de la ville de Dort (1). Où se trouve-t-il après la cinquantième course? Calculons

49 Théorie des graphes et MuPad49 Un petit coup de MuPad! M:=matrix(4,4,[[0.5,0,0.5,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]); v:=matrix(1,4,[1,0,0,0]); v*N; N:=M^50;

50 Théorie des graphes et MuPad50 Manifestement au bout dun certain nombre de courses, la position du taxi devient « indépendante » de sa position de départ. linalg::eigenvalues(M); Les sous espaces propres associés aux valeurs propres de tM sont supplémentaires, on peut donc décomposer tout vecteur suivant ces 4 sous espaces On note ces valeurs propres: La composante est indépendante de la condition initiale, cest le vecteur limite. On lappelle la distribution stationnaire du processus, elle est lunique solution de léquation X=XM avec x1+x2+x3+x4=1.

51 Théorie des graphes et MuPad51 Exercice 4 Montrer que pour un processus à deux états, ce phénomène arrive toujours, sauf dans deux cas.

52 Théorie des graphes et MuPad52 Eliminons le cas où la matrice est lidentité, dans ce cas le processus est stationnaire quelque soit la distribution initiale Eliminons aussi le cas où -1 est valeur propre, le processus est alors périodique

53 Théorie des graphes et MuPad53 Supposons que la matrice de transition soit de la forme 1 est valeur propre et la trace est la somme des valeurs propres, donc la deuxième valeur propre est l=a+b-1 Elle vérifie la double inégalité: On obtient le même phénomène: convergence vers lunique solution de léquation XM=X avec x1+x2= a 1-b a b

54 Théorie des graphes et MuPad54 linalg::eigenvectors(linalg::transpose(M)); Soit, en normalisant Résolvons cette équation

55 Théorie des graphes et MuPad55 Définition: On dit quun processus de Markov est positivement régulier si, quand n tend vers linfini, la matrice tend vers une matrice composée de r lignes A identiques. Proposition: dans les conditions de la définition, quelle que soit la distribution initiale la loi limite est Proposition: Pour quune suite aléatoire de Markov soit positivement régulière, il est nécessaire et suffisant quil existe un entier s tel que tous les termes de soient strictement positifs

56 Théorie des graphes et MuPad56 Exercice 5 Que pensez-vous dun processus dont le graphe serait le suivant?

57 Théorie des graphes et MuPad57 Zone A Zone B Zone C La zone A est transitoire, les zones B et C sont absorbantes, le processus nest pas positivement régulier. Question: quelle est la durée moyenne de présence dans la zone A dun processus, avant de tomber dans lune des zones absorbantes?

58 Théorie des graphes et MuPad58 Pour cela on réunit les deux zones absorbantes en un état absorbant, la réponse pour cette configuration est la même que celle précédente.

59 Théorie des graphes et MuPad59 Le soir, le taxi rentre chez lui Quand le chauffeur décide de rentrer, il utilise la méthode suivante: il continue à faire des courses jusquà ce quil soit rendu dans sa ville de Dort (1)

60 Théorie des graphes et MuPad60 Encore un petit coup de MuPad M:=matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]); n:=M^50; v:=matrix(1,4,[0,1,0,0]):v*n;:

61 Théorie des graphes et MuPad61 Question: quelle est la probabilité que le chauffeur rentre chez lui? Posons la probabilité que le chauffeur rentre chez lui, en partant de létat i Ces probabilités vérifient le système: On trouve une unique solution: Ce qui est rassurant!

62 Théorie des graphes et MuPad62 Combien de courses fait-il en moyenne avant de rentrer? Posons le nombre moyen de courses faites en partant de létat i Ces valeurs moyennes vérifient le système On trouve une unique solution: Ce qui est beaucoup!

63 Théorie des graphes et MuPad63 Quelques simulations (10 transitions)

64 Théorie des graphes et MuPad64

65 Théorie des graphes et MuPad65 Mathématisation

66 Théorie des graphes et MuPad66 Un graphe (orienté) G est la donnée dune partie F dun produit cartésien S×S, où S est un ensemble S peut être Fini, infini dénombrable, infini Notation: G=(S,F) S est lensemble des sommets de G F est lensemble des arcs (arêtes orientées) de G {u,v} est une arête de G si (u,v) ou (v,u), est dans F

67 Théorie des graphes et MuPad67 Représentation dun graphe S={1,2,3,4,5,6} F={ (1,2), (1,5), (2,1), (2,4), (2,5), (4,6), (6,2), (6,3) }

68 Théorie des graphes et MuPad68 Exercice 6 Construire le graphe des diviseurs pour n=10

69 Théorie des graphes et MuPad69 Réponse exercice

70 Théorie des graphes et MuPad70 Dans ce qui suit S est fini le graphe G est dit alors fini Lordre de G est le cardinal de S

71 Théorie des graphes et MuPad71 Vocabulaire de base Boucle: arc de la forme (x,x) X

72 Théorie des graphes et MuPad72 Graphe simple: Graphe sans boucle Graphe complet Graphe simple avec F maximal

73 Théorie des graphes et MuPad73 Graphe symétrique (ou non orienté) Une arête {u,v} est un arc non orienté

74 Théorie des graphes et MuPad74 Chemins et chaînes Un chemin dans un graphe G est une suite finie darcs consécutifs, cest-à-dire de la forme : Une chaîne dans un graphe G est une suite finie darêtes consécutives: Notation: La longueur dun chemin (resp. dune chaîne) est le nombre darcs (resp. darêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne)

75 Théorie des graphes et MuPad75 Cycles et circuits Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes)

76 Théorie des graphes et MuPad76 Chemins et circuits Hamiltoniens Dans un graphe G, on dit quun chemin s1s2…sn est hamiltonien sil passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. On dit quun circuit s1s2…sns1 est hamiltonien sil passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

77 Théorie des graphes et MuPad77 Voyage autour du monde (Hamilton) Trouver un circuit hamiltonien sur le dodécaèdre régulier

78 Théorie des graphes et MuPad78 Voyage autour du monde (Hamilton)

79 Théorie des graphes et MuPad79 Le graphe de Petersen Ce graphe nadmet pas de circuit hamiltonien

80 Théorie des graphes et MuPad80 Exercice 7 Proposer une méthode pour prouver ce résultat

81 Théorie des graphes et MuPad81 Chaînes et cycles eulèriens Soit G un graphes On appelle chaîne eulérienne (resp. cycle eulèrien) une chaîne (resp. un cycle) qui utilise toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.

82 Théorie des graphes et MuPad82 Les ponts de Kœnigsberg (Euler) A B C D Partir de A, passer une seule fois par chacun des ponts, et revenir en A

83 Théorie des graphes et MuPad83 Graphe associé : Tracer les arcs de ce graphe sans lever le crayon C D A B

84 Théorie des graphes et MuPad84

85 Théorie des graphes et MuPad85

86 Théorie des graphes et MuPad86 Connexité et forte connexité Un graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) sil vérifie la propriété suivante : pour toute paire de sommet (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y. La composante connexe (resp. fortement connexe) dun sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x.

87 Théorie des graphes et MuPad87 Connexité et forte connexité composantes connexes

88 Théorie des graphes et MuPad88 Connexité et forte connexité composantes fortement connexes

89 Théorie des graphes et MuPad89 Exercice 8 1.Calculez les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10.

90 Théorie des graphes et MuPad90 Représentation des graphes Matrices dadjacence On identifie lensemble S des sommets à {1, 2, …, N } La matrice dadjacence du graphe orienté G = (S,F) est la matrice A de M N ({0,1}) définie par : A[i][j] = 1 si et seulement si (i,j) F A[i][j] = 0 si et seulement si (i,j) F Représentation fondamentalement booléenne des arcs Complexité en espace : O(N 2 )

91 Théorie des graphes et MuPad91 Représentation des graphes Matrices dadjacence A = Matrice dadjacence du graphe G 12 3 Un graphe G

92 Théorie des graphes et MuPad92 Représentation des graphes MuPad Matrices dadjacence

93 Théorie des graphes et MuPad93 Représentation des graphes Listes de successeurs On identifie lensemble S des sommets à {1, 2, …, N }. La liste des successeurs du sommet i dun graphe orienté G = (S,F) est la liste L[i] définie par : L[i] = { j S, (i,j) F } La donnée de lensemble des listes de successeurs est équivalente à celle du graphe G. Représentation dynamique du graphe Complexité en espace : O(N+M) où M = |F|

94 Théorie des graphes et MuPad94 Représentation des graphes : Listes de successeurs Listes de successeurs du graphe G … L Un graphe G

95 Théorie des graphes et MuPad95 Représentation des graphes MuPad Listes de successeurs

96 Théorie des graphes et MuPad96 Parcours de graphe : Exploration en profondeur dabord Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ? Initialement tous les sommets ne sont pas marqués Principe : marquer ou numéroter les sommets

97 Théorie des graphes et MuPad97 Parcours de graphe : Exploration en profondeur dabord Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ? Initialement tous les sommets ne sont pas marqués Principe : marquer ou numéroter les sommets Cest-à-dire sont tous numérotés à -1

98 Théorie des graphes et MuPad98 Parcours de graphe : Exploration en profondeur dabord Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ? 0 Etape 1 : on numérote à 0 le sommet initial Etape 2 : on numérote récursivement les successeurs du sommet initial

99 Théorie des graphes et MuPad99 Parcours de graphe : Exploration en profondeur dabord Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ? 0 1 si ceux-ci ne sont pas déjà numérotés ! Etape 2 : on numérote récursivement les successeurs du sommet initial Un sommet non encore exploré peut en effet avoir été numéroté lors de lexploration récursive de lun de ces frères.

100 Théorie des graphes et MuPad100 Exploration en profondeur dabord

101 Théorie des graphes et MuPad101 Exercice 2 : Exploration en profondeur dabord Appliquer la méthode dexploration en profondeur dabord au graphe donné ci-dessus en commençant lexploration en


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