La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Etalonnage 11ème MIEC - 21ème JIREC Multimédia et Informatique dans l'Enseignement de la Chimie Journées pour l'innovation et la Recherche dans l'Enseignement.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Etalonnage 11ème MIEC - 21ème JIREC Multimédia et Informatique dans l'Enseignement de la Chimie Journées pour l'innovation et la Recherche dans l'Enseignement."— Transcription de la présentation:

1

2 Etalonnage 11ème MIEC - 21ème JIREC Multimédia et Informatique dans l'Enseignement de la Chimie Journées pour l'innovation et la Recherche dans l'Enseignement de la Chimie 1er, 2 et 3 Juin 2005 à Autrans

3 Etalonnage signal Impuretés Produits de dégradation Standards de calibration: Fonction réponse Contrôle qualité: Linéarité, Répétabilité, fidélité intermédiaire, exactitude domaine OBJECTIFS Déterminer une procédure détalonnage inverse adapté. 1a. Intervalle de dosage 1b. Fonction réponse 2.Evaluation des limites de détection et de quantification 3.Prédire une incertitude de mesure à laide de QC (exactitude et précision) Simulation du travail de routine à l'aide d'échantillons de concentrations connues. Etalonnage/modélisation en sciences analytiques

4 Etalonnage Réponse analytique Teneur LOQ Gamme linéaire Gamme dynamique LOD Détermination de la borne supérieure du domaine linéaire Permission J. Vial – Paris Estimation LOD/LOQ Domaine danalyses

5 Etalonnage Modéliser : utiliser des données expérimentales pour prévoir une information quantitative inconnue Y à partir de mesures de X via une certaine « fonction mathématique » : Le modèle mathématique postulé peut être : Sinon un polynôme de degré convenable. Ajustement polynomial Y X Modèle Y = f(X) avec un polynôme de degré convenable Une droite si Y varie linéairement avec X. Ajustement linéaire Y X Y= b 1 X + b 0 Modèle Modélisation

6 Etalonnage Dans le cas les plus simple il existe une relation linéaire entre : et une seule grandeur physique Y généralement donnée par un appareil. la grandeur à quantifier X (ici la teneur de léchantillon en un composant donné) Y = b 1 X + b 0 Etalonnage/Relation linéaire

7 Etalonnage Conclusion : les deux variables X et Y ne jouent pas le même rôle. Quand on trace la courbe détalonnage dune méthode danalyse à partir détalons choisis par lexpérimentateur, En revanche, la réponse Y obtenue est une variable aléatoire dans la mesure où elle dépend non seulement de X, la concentration X de lanalyte nest pas considérée comme variable aléatoire puisquelle est connue avec précision. mais aussi de laléa de lerreur expérimentale. Régression

8 Etalonnage On peut disposer de n couples [x i,y i ] pour deux variables X et Y que lon suppose liées : à chaque valeur de X est associée une valeur de Y avec la relation : (Y = ß 1 X + ß 0 ) Y représente le résultat observé, X représente une teneur connue en analyte Mais, expérimentalement, à chaque valeur x i de X, on obtient une valeur y i entachée de lerreur expérimentale ε i. On a en réalité : y i = ß 1 x i + ß 0 + ε i Régression linéaire

9 Etalonnage Y représente le résultat observé, X représente une teneur connue en analyte la relation linéaire postulée devient : Y = b 1 X + b 0 Avec uniquement une « estimation » des coefficients a et b du modèle postulé. Y = ß 1 X + ß 0 Ces données sont toujours en nombre limité, elles ne représentent donc quun échantillon de la population de toutes les mesures de la teneur en analyte de létalon que lon pourrait effectuer. Analyse Quantitative et Etalonnage

10 Etalonnage A cause de cette erreur ε i associée à chaque couple [x i,y i ], si on représente graphiquement y i en fonction de x i, mais un «nuage» de points plus ou moins écartés de cette droite idéale. on ne va pas obtenir des points idéalement alignés, Régression linéaire

11 Etalonnage Avec une seule variable X le modèle s écrit : Y X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Y4Y4 Y5Y5 X Y = X + r Modèle linéaire

12 Etalonnage Y X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Y4Y4 Y5Y5 X r1r1 r2r2 r3r3 r4r4 r5r5 Y1Y1 ^ Avec une seule variable X le modèle s écrit : Y = X + r On mesure la somme des carrés des écarts r i (écarts appelés "résidus") entre la valeur vraie et la valeur estimée ŷ n sur la courbe. Faire un ajustement c'est minimiser la "distance" S = [Y i -f( X i )] 2 = r i 2 Ajustement linéaire

13 Etalonnage Pour minimiser S, il suffit d'annuler les dérivées partielles de S par rapport à 0 et à 1 : S/ 0 = S/ 1 = 0. La somme S des carrés des écarts entre les valeurs expérimentales et les valeurs calculées par le modèle sécrit : S = Σ [y i - ( x i )] 2 est une fonction de 0 et 1. Droite des moindres carrés et efficacité dun ajustement

14 Etalonnage Soit un jeu de calibration dans la gamme de 0 à 6 nanomoles (les unités de fluorescence mesurées sont exprimées dans une échelle arbitraire dépendante de la gamme de concentration). N° des essais Conc. X en nM Unités de Fluoresc. Y ,1 3,8 10,0 14,4 20,7 26,9 29,1 Régression linéaire exemple : Fluorescence

15 Etalonnage La droite des moindres carrés correspondant aux données a donc pour équation : Y = 5,139 X – 0,418 Droite détalonnage nM Unité de fluorescence Régression linéaire exemple : Fluorescence

16 Etalonnage Dans ce système les i sont les inconnues que nous devons estimer : (bi est l estimation calculée de i ). 1. Au sens des moindres carrés (résolution algébrique) : (y i - y)(x i - x) 1 = b 1 = ^ (x i - x) 2 0 = b 0 = y - b 1 X et ^ 2. Au sens des moindres carrés (résolution matricielle) : Estimation des coefficients

17 Etalonnage Avec Excel: 1.Fonction graphique : courbe de tendance 2.Fonctions algébriques (pente, ordonnee.origine) 3.Fonction matricielle : Droitereg Y = 5,139 X – 0,418 Régression linéaire

18 Etalonnage Quelle confiance peut-on avoir : dune part globalement pour la régression, -Analyse de variance / coefficients -Examen des résidus -Manque dajustement (Lack of fit) dautre part individuellement pour les estimateurs ? -Simplification du modèle -Pertinence quadratique (global) Les variations observées pour Y sont-elles dues globalement, aux variations de X ou bien ne sont-elles que du bruit expérimental ? Ŷ i = b 1 X i + b 0 Analyse de la régression linéaire

19 Etalonnage Y - (y i - y) 2 Variation totale SCET r1r1 r2r2 r3r3 r4r4 r5r5 SCER Variation résiduelle (y i - y i ) 2 ^ + Variation due à la liaison (y i - y) 2 = (y i - y) 2 ^^ ^ SCEL = Analyse globale : Analyse de variance

20 Etalonnage Base de lanalyse de variance Toute dispersion dune série de données étant exprimée par la somme des carrés des écarts à la moyenne, on démontre la relation suivante sur laquelle est basée lanalyse de variance : SCE T = SCE L + SCE R Variation totale (y i - y) 2 Variation résiduelle (y i - y i ) 2 ^ Variation due à la liaison (y i - y) 2 = (y i - y) 2 ^^ ^ Analyse globale : Analyse de variance

21 Etalonnage Régression Sources de variation Sommes des Carrés des Ecarts Degrés de lib. Carrés moyens Résidus Total 2-1=1 7-2=5 7-1=6 SCE L = 739,56 739,56 SCE R = 6,175 1,235 SCE T = 745,72 Fluorescence : Analyse de la variance

22 Etalonnage Pour savoir si les variances des deux échantillons sont identiques ou différentes, il faut effectuer un test de comparaison de variances. Loi de Fisher (dite aussi de Fisher-Snedecor) Si deux échantillons de tailles n 1 et n 2 proviennent de lois normales de même variance, le rapport F des variances estimées suit une loi de Fisher avec ν 1 = n 1 – 1 et ν 2 = n 2 – 1 qui sont les degrés de liberté pour chacun des échantillons s12s12 s22s22 = F ( 1 2, 2 2 ) Test de comparaison des variances

23 Etalonnage Les distributions de la loi F sont caractérisées par une dissymétrie gauche. F calculé = Variance s 2 1 Variance s 2 2 estimée avec ν 1 degrés de liberté estimée avec ν 2 degrés de liberté On détermine la probabilité pour quune valeur de F soit inférieure à la valeur F i portée en abscisse S 2 1 > S 2 2 la plus grande variance au numérateur Test de comparaison des variances

24 Etalonnage Régression Sources de variation Sommes des Carrés des Ecarts Degrés de lib. Carrés moyens Résidus Total 2-1=1 7-2=5 7-1=6 SCE L = 739,56 739,56 SCE R = 6,175 1,235 SCE T = 745,72 F calc 598,8 F 1;5;0,05 = 6,608 Signif. 2, Fluorescence : Analyse de la variance

25 Etalonnage La mesure de l'efficacité de l'ajustement peut être exprimée par un coefficient appelé coefficient de détermination ou coefficient de régression multiple. Si le modèle expliquait idéalement les résultats expérimentaux, nous aurions SCE T = SCE L ou sous une autre forme SCE L /SCE T =1 Pour un modèle parfait : SCE R = 0 (il n'y a pas de différence entre valeurs expérimentales et valeurs calculées). SCE T = SCE L + SCE R Analyse globale : coefficients de régression

26 Etalonnage R 2 = SCE L / SCE T R 2 = 1 - SCE R SCE T R 2 = (SCE T –SCE R )/ SCE T SCE L =SCE T – SCE R R 2 est la part de la dispersion expliquée par le modèle. Pour un modèle parfait, R 2 = 1 car SCE R = 0 (il n'y a pas de différence entre valeurs expérimentales et valeurs calculées). Coefficient de détermination R²

27 Etalonnage R 2 = Fonction réponse : R²

28 Etalonnage Pour tenir compte du nombre d'essais, c'est à dire du nombre de degrés de liberté, il existe un coefficient de régression "ajusté" symbolisé par R 2 a et défini par : Le rapport R 2 nest pas une garantie de la qualité dun modèle (dépendance du nombre dessais et du modèle choisi) Ex. Avec deux points, droite; R 2 = 1 Avec trois points, droite; R 2 < 1 mais 2 ème degré R 2 = 1 SCE R /(n-p) SCE T /(n-1) R 2 a = 1- Coefficient de détermination ajusté R² a

29 Etalonnage R 2 = 1 – (6,175/745,72) = 0,9917 R 2 a = 1 – ((6,175/5)/(745,72/6) = 0,9900 Fluorescence : coefficients de régression

30 Etalonnage Résidus = écarts entre les points expérimentaux et la droite de régression Les résidus devraient suivre une loi normale centrée sur 0. Un examen visuel permet généralement de déceler un problème de modèle (homoscédasiticité, courbure, ordre supérieur, etc.). Analyse globale : examen des résidus

31 Etalonnage Une courbe en cloche asymptotique à laxe des x, dont le maximum est pour x = x, Le graphe de la Loi Normale est caractérisé par : Une symétrie par rapport à laxe x = x, Deux points dinflexion à une distance de x égale à σ. MoyenneVariance Propriétés de la loi Normale

32 Etalonnage Probabilité = 68,27% pour que x soit compris dans lintervalle x 1 0,6827 0,9545 Probabilité = 95,45% pour que x soit compris dans lintervalle x 2 0,9973 Probabilité = 99,73% pour que x soit compris dans lintervalle x 3 Propriétés de la loi Normale

33 Etalonnage 99,73 % En moyenne, lerreur est nulle : Distribution de Gauss centrée sur zéro (échelle des abscisses en unités décart-type) 95,45 % La dispersion de « r i " est mesurée par sa variance : var(r i ) = 2 68,27 % o lespérance mathématique E(r i ) =0. ou par lécart-type. s Caractéristiques de lerreur expérimentale r i

34 Etalonnage Concentration [ng/ml] Résidus Résidus Concentration transformée [ng/ml] Analyse des résidus

35 Etalonnage Fluorescence : examen des résidus

36 Etalonnage Quelle confiance peut-on avoir : dune part globalement pour la régression, -Analyse de variance / coefficients -Examen des résidus -Manque dajustement (Lack of fit) dautre part individuellement pour les estimateurs ? -Simplification du modèle -Pertinence quadratique (global) Les variations observées pour Y sont-elles dues globalement, aux variations de X ou bien ne sont-elles que du bruit expérimental ? Ŷ i = b 1 X i + b 0 Analyse de la régression linéaire

37 Etalonnage b 0 estimation de β 0 de moyenne β0 et de variance var(b0) b 1 estimation de β 1 de moyenne β1 et de variance var(b1) (x i - x) 2 Var(b 1 ) = 2 exp. [ ] 2 1 n + et Var(b 0 ) = x2x2 (x i - x) 2 Comme la variable Y qui intervient dans ces calculs est une variable aléatoire de variance σ 2 exp. cette dispersion va se répercuter sur les variances de b 0 et b 1. Significativité des coefficients

38 Etalonnage On appelle cette estimation variance de la régression ou variance résiduelle n-2 ^ 2 = r i 2 n-2 ^ 2 = s 2 = y i b 0 b 1 x i ) 2 La variance expérimentale peut être obtenue par 1.la répétition des essais ou 2. « estimée » à partir des résidus, selon la relation suivante : Estimation de la variance expérimentale

39 Etalonnage Calcul de la variance des estimateurs (coefficients) (en utilisant la variance résiduelle comme estimation de σ 2 exp. ) var(b 1 ) = σ 2 résid. * (1/28) = 1,235 * 0,036 = 0,044 var(b 0 ) = σ 2 résid. * (1/7 + 3*3/28) = 1,235* 0,464 = 0,574 CoefficientEcart-type b0b0 -0, b1b1 5, Fluorescence : Significativité des coefficients

40 Etalonnage Le coefficient b i est distribué selon une distribution de Student de moyenne i, d'écart-type e.t.(b i ) et (n-2) degrés de liberté. Intervalle de confiance pour b i : b i t c e.t.(b i ) -t c tctc Moyenne = i pour = n-2 Significativité des coefficients

41 Etalonnage Intervalles de confiance des b i : b 1 ± t c e.t. (b 1 )b 0 ± t c e.t. (b 0 ) Il sagit ici du t théorique avec ν = 5 Pour le risque choisi (0,05) t = 2,57) -2,36 < b 0 < 1,53 4,98 < b 1 < 5,30 -0,418 ± 2,57*0,757 5,139 ± 2,57*0,21 Si lintervalle inclus le zéro, le coefficient nest pas significatif (au risque choisi) Fluorescence : Significativité des coefficients

42 Etalonnage La significativité va être déterminée en prenant β i 0 = 0 doù : t = bibi é.type (b i ) Doù le test suivant : la différence b i - β i 0 suit une statistique de Student à ν = (n-2) degrés de liberté avec : t = b i - β 0 i é.type (b i ) Significativité des coefficients

43 Etalonnage Etalonnage de la méthode danalyse de traces par fluorescence, avec un risque =0,05 et avec =7-2=5 degrés de liberté, coefficientsécart-type t calculé significativité -0,418 5,139 0,757 0,210 -0,552 24,41 0,6046 0,0036 b0b0 b1b1 t 5, 0.05 =2,57 (calculé avec LOI.STUDENT.INVERSE d'EXCEL ). Fluorescence : Significativité des coefficients

44 Etalonnage Avec Excel: Outil, Utilitaire danalyse Régression linéaire 1.Coefficients de régression 2.Analyse de variance (test de F1) 3.Calcul, significativité et intervalles de confiances des coefficients 4.Analyse des résidus Régression linéaire

45 Etalonnage B = (X'X) -1 X'Y Coefficients du modèle C'est une matrice où les variances sont disposées sur la diagonale et les covariances de part et d'autre de cette diagonale (matrice carrée symétrique) : Matrice de variance-covariance des coefficients Résolution matricielle

46 Etalonnage x y y i - y x,yx,y Variance de x Variance de y Covariance xy Variance-covariance

47 Etalonnage var (b 0 ) cov (b 1,b 0 ) var (b 1 ) var (B) = Var(B) = 2 (X'X) -1 Variance expérimentale Conséquence: le choix des points expérimentaux conditionne la qualité de lestimation la meilleure estimation consiste à annuler la covariance et minimiser les variances sur les coefficients Plan dexpériences Matrice de variance-covariance des coefficients

48 Etalonnage LOD = 1) Plus petite quantité danalyte dont on puisse dire avec un niveau de confiance donné quil est présent dans léchantillon 2) Plus petite quantité de lélément à analyser pouvant être détectée, mais non quantifiée par une valeur précise (ICH). 3) …, mais non quantifiée par une valeur exacte (SFSTP 1997). LOQ = 1) Plus petite quantité danalyte qui peut être quantifiée avec un niveau de confiance donné. 2) Plus faible concentration de lanalyte dans léchantillon qui puisse être déterminée quantitativement avec une justesse et une précision convenables (ICH). 3) Plus petite quantité à examiner dans un échantillon pouvant être dosé dans des conditions expérimentales décrites avec une fidélité et une exactitude définies (SFSTP 1997) Définitions LOD/LOQ


Télécharger ppt "Etalonnage 11ème MIEC - 21ème JIREC Multimédia et Informatique dans l'Enseignement de la Chimie Journées pour l'innovation et la Recherche dans l'Enseignement."

Présentations similaires


Annonces Google