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Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH Series Temporelles.

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1 Modelisation Modeles ARIMA ARCH-GARCH Series Temporelles

2 Pourquoi? Modelisation de la croissance Variables explicatives a choisir? –Politique fiscale, investissement, technologie, demographie, commerce international, taux de change, taux dinteret Series temporelles: Utiliser les valeurs passees de la croissance et des termes derreur Approche purement statistique Modeles parsimonieux

3 Definition Une serie temporelle consiste en un ensemble dobservations dune variable y Observations sont espacees dans le temps a intervalles egaux: y i avec i=1,2,....t Processus stochastique: Chaque observation est une variable aleatoire et les variables evoluent dans le temps selon certaines lois Ce que nous observons: Ensemble limite dobservations

4 Notions de Base Moyenne Variance Autocovariance –Variance de Y avec ses propres valeurs passees Autocorrelation PAC: dernier coefficient de y sur ses m valeurs passees

5 Autocorrelations Estimer sur la base de lechantillon La representation des autocorrelations pour tau=1,2… sappelle le correlogramme Permet didentifier si la serie temporelle consideree se rapproche des caracteristiques de series connues

6 Autocorrelations Partielles

7 Bruit Blanc Bruit Blanc N(0,1) Distribution

8 Modelisation ARMA AutoRegressive (Integrated) Moving Average Box Jenkins (1976) AutoRegression Moyenne ponderee de Bruits blancs

9 Notations Operateur Arriere Operateur Avant Difference

10 Moving Average Toujours stationnaire Fonction de bruits blancs passes Notation avec operateur

11 Exemple MA(q)

12 MA(1)

13 Ma(q)

14 Exemple MA(1) phi1=0.8 AC PAC

15 Exemple MA(3) Phi=0.8, -0.5,0.3 AC PAC

16 AR(1) Stationnaire Processus explosif

17 Pourquoi?

18 AR(1) Phi=0.5 Phi=-0.8 AC PAC

19 AR(2) Conditions de stationarite: noteavec

20 AR(2) Les proprietes dun processus AR(2) sont etudiees comme suit: Autocovariance: Autocorrelation: Donc: Comme, alors:

21 AR(p) Conditions de stationarite: Les racines de lequation suivante doivent etre inferieures a 1 en valeur absolue

22 AR(p) Le processus AR(p) sexprime: La fonction dautocovariance est:

23 ARMA(1,1) Les autocorrelations diminuent progressivement Similaire a AR(1) Mais fonction plus compliquee des parametres Depend des deux coefficients

24 ARMA(p,q) Le processus mixte ARMA(p,q) secrit: Le processus peut sexprimer comme un MA pur ou un AR pur

25 Box-Jenkins (1976) 1) Identification: Un premier modele est choisi apres examen des autocorrelations –Si rho ne decroit pas rapidement: indication de non-stationarite –Si rho(k)=0 pour k>q et les autocorrelations partielles decroissent MA(q) –Si rho(k) decroit et les autocorrelations partielles sont =0 pour k>p AR(p) –Si pas de point de rupture clair ARMA(p,q)

26 Box-Jenkins (1976) 2) Estimation Maximum de vraisemblance Goodness of fit (criteres AIC, Schwartz) 3) Tests de verification sur les residus - Est ce que les erreurs sont aleatoires? - Non autocorreles: Test de Box-Ljung - Normalite: Test de Jarque Bera

27 Estimation

28 Previsions AR(1)

29 Previsions MA(1) Le modele secrit Supposons que nous connaissons phi et que eps(0)=0 Prouver que apres avoir observe y(n), nous connaissons egalement les valeurs de eps(t) pour t=1,2,….n

30 ARCH Hypothese de constance de la volatilite rarement verifiee sur marches financiers Auto Regressive Conditional Heteroskasticity La volatilite semble etre correlee dans le temps Fat Tails (kurtosis)

31 Volatility Clusters S&P 500

32 Fat Tails

33 ARCH(1) Engle (1982) La volatilite conditionelle est fonction des observations passees

34 Volatilite autocorrellee Kurtosis>3 Proprietes

35 GARCH(1,1) ARCH(p) difficile a estimer Bollerslev(1986) Generalized.....ARCH Correspond a ARCH( )

36 Extensions Integrated GARCH –Les coefficients somment a 1: Les chocs passes persistent tres longtemps GARCH in Mean –Relation directe entre rendement et risque dun actif –Dans la specification du rendement moyen, inclure une function de la variance conditionnelle Exponentional GARCH –Les chocs passes ont un impact asymmetrique sur la volatilite

37 News Impact Curve Relation entre erreur Et volatilite future

38 Test – Engle(1982) ARCH(q) Hypothese H0 de volatilite constante Regression Les epsilons sont obtenus par estimation du modele sous hypothese de volatilite constante Statistique LM: nR 2 suit Chi2(q)


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