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La commande Été 2010. Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2.

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1 La commande Été 2010

2 Types de commande Rétroaction (Feedback) P, PI, PD, PID Par « FeedForward » Commande prédictive Par cascade La plus utilisée 2

3 Constituants dune boucle de contrôle par rétroaction 3

4 Exemple - CSTR 4

5 Équations de lexemple Pour analyser les différentes stratégies de contrôle, analysons le système suivant (en Laplace): 5

6 Système CSTR Équation différentielle correspondante: 6

7 Paramètres du système à étudier V = 10 pi 3 ; F = 2.5 pi 3 /min; ρC P = 61.3 BTU/pi 3 /°F; T i = 50°F T ss = 60°F 7

8 Système CSTR avec les paramètres : En régime permanent : 8

9 Fonction de transfert du procédé résultante Voici le schéma bloc du système : 9

10 Fonction de transfert du capteur Supposons que le capteur ait une dynamique du premier ordre avec une constante de temps de 5 sec. Alors : 10

11 Fonction de transfert de la valve de contrôle de la valeur Supposons que la valve ait une dynamique du premier ordre avec une constante de temps de ½ minute. Alors : 11

12 Fonctions de transfert en boucle fermée Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : 12

13 Pour notre système (posant g v = h = 1) Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : Car rapides 13

14 Contrôle proportionnel Soit p(t) un signal pneumatique entre 3 et 15 psig (un signal électrique entre 4 et 20 mA) émis par le contrôleur. Soit p s la valeur de commande qui fait en sorte que lerreur ε(t) soit nulle. 14

15 Contrôle proportionnel (2) Alors un contrôleur proportionnel aura comme équation : Le signal de commande se définit comme étant : 15

16 Contrôle proportionnel (3) La fonction de transfert résultante sera donc : 16

17 En pratique Dans les contrôleurs industriels, ce nest pas le gain proportionnel K P qui est ajusté, mais bien la bande proportionnelle PB. Définition de PB: 17

18 Effets du contrôle proportionnel sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : 18

19 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min Échelon de 1°F à t = 1 min 19

20 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min Échelon de 1°F à t = 1 min 20

21 Bilan Le système en boucle fermée est stable. Racine de léquation caractéristique est réelle et inférieure à 0. (K p >0) 21

22 Bilan (2) Une erreur persiste entre la valeur de sortie en régime permanent et la consigne. Seul un gain infini règle ce problème. Pour certains systèmes, cette erreur nest pas dramatique. 22

23 Bilan (3) Une perturbation provoque une erreur non corrigée complètement par le contrôleur proportionnel. 23

24 Contrôle proportionnel-intégral La représentation du signal p(t) est : 24

25 Contrôle PI (2) La fonction de transfert résultante sera donc : Reset Rate 25

26 Effets du contrôle PI sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : 26

27 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 27

28 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 28

29 Bilan Le système en boucle fermée est stable sous certaines conditions. Choix limité de K C et I. 29

30 Bilan Critère de Routh-Hurwitz. 30

31 Bilan (2) Il ny a plus derreur entre la valeur de sortie en régime permanent et la consigne. 31

32 Bilan (3) Une perturbation provoque une erreur transitoire qui fini par disparaître complètement. 32

33 Contrôle proportionnel-dérivée La représentation du signal p(t) est : 33

34 Contrôle PD (2) La fonction de transfert résultante sera donc : Derivate time constant 34

35 Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : 35

36 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 36

37 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10 37

38 Bilan Le système en boucle fermée est stable. 38

39 Bilan (2) Comportement identique au cas proportionnel, mais leffet de la partie dérivée est de ralentir le système. 39

40 Contrôle PID La fonction de transfert du contrôleur 40

41 Effets du contrôle PD sur le CSTR Entrée vs sortie : Perturbation vs sortie : 41

42 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10, I = 1/4 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10, I = 1/4 42

43 Réponses Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10, I = 1/4 Échelon de 1°F à t = 1 min K C = 10, I = 1/4 43

44 Bilan Le système en boucle fermée est stable sous certaines conditions. Choix limité de K C, I et D. 44

45 Bilan (2) Lajout du terme dérivée ralenti le système et augmente la longueur de la période doscillation. 45

46 Contrôle dun système instable en boucle ouverte Soit le système suivant : Le système à un pôle à +1/5 = 0.2 et est donc instable en boucle ouverte. 46

47 Contrôle P dun système instable en boucle ouverte En boucle fermée : Si K C > 1, le système devient stable. Un contrôleur P stabilise le système. Erreur en régime permanent. 47

48 Contrôle PI dun système instable en boucle ouverte En boucle fermée : Pas derreur en régime permanent K C > 1 48

49 Contrôle dun système à réponse inverse 49

50 TECHNIQUES DE DESIGN DE CONTRÔLEURS 50

51 51 Technique par placement de pôles Pour faire le design dun contrôleur, on peut simplement fixer les pôles que lon désire attribuer au système en boucle fermée.

52 52 Exemple - PI Soit la fonction de transfert du CSTR avec contrôle PID. Le dénominateur étant du deuxième ordre, on peut choisir de placer les pôles en p 1 et p 2.

53 53 Exemple – PI (suite) Fonction cible : Dénominateur de la fonction :

54 54 Exemple – PI (suite) Gain K C : Constante I :

55 55 Exemple – PI (suite) Ainsi: Ex.: p 1 = -1-j et p 2 = -1+j

56 56 Utilisation des marges de stabilité Une approche proposée par Ziegler et Nichols propose une méthode de réglage basée sur: Connaissance de la limite de stabilité; Spécification du contrôleur faisant en sorte que la décroissance des maxima fasse en sorte que le second maxima soit le ¼ du premier.

57 Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie: Trouver le gain ultime K CU qui fasse en sorte que le système entre en oscillation. Le contrôleur doit être proportionnel seulement Donc les valeurs des paramètres dérivée et intégrales ajusté pour annuler ces effets. Mesurer la période doscillation P U. 57

58 Méthode de Ziegler-Nichols Méthodologie: Utiliser les paramètres de la table suivante pour déterminer les gains optimaux. Type de contrôleur KCKC τIτI τDτD P0.5K CU -- PI0.45K CU P U /2- PID0.6K CU P U /2P U /8 58

59 59 Exemple - PI Système G(s): En boucle fermée :

60 60 Exemple - PI Système G(s): En boucle fermée :

61 61 Exemple - PI Oscille si K C = 3 avec une période denviron 5 minute. PI => K C = 1.35 et tau_I = 4.17 min

62 62 Méthodes basées sur des modèles empiriques Certaines approches présentées par Ziegler-Nichols Cohen-Coon Minimum ITAE (Smith, Murrill et al)... sont basées sur des modèles empiriques.

63 63 Paramètres Délais « alpha » Gain statique K Constante de temps « tau » Mesuré suite à une réponse à un échelon en boucle ouverte.

64 64 Ziegler-Nichols (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KCKC τIτI τDτD P-- PI- PID

65 65 Cohen-Coon (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KCKC τIτI τDτD P-- PI- PID PD-

66 66 Minimum ITAE – (perturbation) (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KCKC τIτI τDτD P-- PI- PID

67 67 Minimum ITAE – (consigne) (modèle approximatif) Tableau (exige que ) : Type de contrôleur KCKC τIτI τDτD P - -- PI- PID

68 68 Exemple - PI Système G(s): Système approximé :

69 69 Exemple - PI Ziegler- Nichols Cohen- Coon ITAE KCKC tau I

70 70 Exemple - PI ITAE ZN et CC

71 MÉTHODES AVANCÉES - Cascade - Prédictive

72 Commande en « Feedforward » Cette commande est utile lorsquune perturbation est mesurée et lorsque son impact sur le système peut être significatif, puisque la mesure de contrôle se fait en sortie. La température du liquide entrant dans le CSTR est un bon exemple.

73 Commande en « Feedforward » Exemple du CSTR

74 Commande en « Feedforward » En régime permanent, u ss (s) = 0 implique y ss (s) = 0. Mais, si une perturbation survient :

75 Structure dune contrôleur « Feedforward » Schéma bloc :

76 Sortie y avec le « Feedforward » La sortie y est obtenue par la fonction de transfert suivante : Si y d = 0, alors :

77 Calcul du compensateur Comme on désire que y soit indépendant de d, il suffit donc que : Ce qui donne :

78 Exemple - CSTR Calcul du compensateur : Le compensateur est donc facile à réaliser, car cest un gain pur.

79 Exemple #2 Système ayant : Le compensateur : Non faisable

80 Exemple #3 Système ayant : Le compensateur : Faisable

81 Exemple #4 Système ayant : Le compensateur : Faisable si dc

82 Bilan Ce contrôleur peut réduire leffet de la perturbation. En autant quelle puisse être mesurée. En autant que le compensateur soit faisable. Alternative: enlever tout laspect dynamique. Souvent combiné avec un contrôle en « Feedback ».

83 Structure dun contrôleur Cascade Schéma bloc :

84 Fonction de transfert de la boucle intérieure La sortie u en fonction de u et d 2 est obtenue par la fonction de transfert suivante : g * d2 g*2g*2 g*2g*2

85 Structure modifiée Nouveau schéma bloc :

86 Fonction de transfert du système La sortie y en fonction de y d, d 1 et d 2 est obtenue par :

87 Exemple – asservissement en position Fonctions de transfert (moteur):

88 Boucle de vitesse interne avec contrôle PI Contrôleur PI : FT en boucle fermée K = K 1 :

89 Paramètres K = K 1 = RPS/Volts (500 RPM/V) Tau_m = 0.01 sec

90 Placement de pôles Pôles désirés tel que le dénominateur devienne : Ou encore :

91 Calculs Donc : Ce qui donne : K c = 2 et Tau_I = 0.01

92 Fonction de transfert interne Voici la fonction résultante :... qui est du premier ordre.

93 Boucle de position externe avec contrôle P Contrôleur P : FT en boucle fermée K 2 = 1

94 Les pôles du système De la FT, on obtient : Pour un dzêta de 0.707, il faut que la partie complexe ait la même amplitude que la partie réelle.

95 Les pôles du système Donc : Ce qui mène à : Kc = 100

96 FT du système résultant FT en boucle fermée


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