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ELG3575 10. La modulation FM à large bande. La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM) La modulation FM à bande étroite exige que.

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1 ELG3575 10. La modulation FM à large bande

2 La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM) La modulation FM à bande étroite exige que F << 1. Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce nest pas vrai sont considérés dêtre la modulation à large bande. Cependant, typiquement F > 1 Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que f max est plus grande. Alors, le spectre dun signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.

3 Signal WBFM pour m(t) = A m cos2 f m t et son enveloppe complexe. Prenons lexemple où m(t) = A m cos2 f m t. Le signal FM est :

4 La série de Fourier de lenveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = A m cos2 f m t. Lenveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale f m. où

5 La série de Fourier de lenveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = A m cos2 f m t. En remplaçant 2 f m t par x, devient La fonction de Bessel du premier genre dordre n, J n ( ) est donnée par : Alors

6 La série de Fourier de lenveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = A m cos2 f m t. Alors lenveloppe complexe peut être exprimé par Et le signal FM est:

7 Le spectre du signal WBFM quand m(t) = A m cos2 f m t. Le spectre de ce signal est : Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste dun nombre infini dimpulsions aux fréquences f = f c +nf m. Alors la largeur de bande théorique dun signal FM est infinie. Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier genre, la plupart des impulsions de lexpression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM. Nous définissons la largeur de bande pratique dun signal dêtre la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.

8 La fonction J n ( )

9 Les propriétés de J n ( ) Si n est un entier : J n ( ) = J -n ( ) pour n paire et J n ( ) =-J -n ( ) pour n impaire Quand << 1 J 0 ( ) 1 J 1 ( ) /2 et J n ( ) 0, n > 1 1) 2) 3) 4) Im{J n ( )}=0

10 Puissance du signal FM La puissance dun signal FM est : Si on trouve la puissance à partir de lexpression ci-dessus, on trouve:

11 Filtrage dun signal FM pour limiter sa largeur de bande. Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0.99× la puissance de s FM (t). où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations : et

12 La puissance de x(t) est : Alors, on doit choisir X pour que : On sait que J n 2 ( F ) = J -n 2 ( F ). Alors

13 Valeurs de la fonction J n ( ). n =0.1 =0.2 =0.5 =1 =2 =3 =5 =10 00.9970.990.9380.7650.224-0.2601-0.178-0.246 10.050.10.2420.440.5770.3391-0.3230.043 20.0010.0050.0310.1150.3530.48610.0470.255 32×10 -5 01.6×10 -4 0.00260.020.1290.30910.3650.058 40.0020.0340.13200.391-0.220 50.0070.04300.261-0.234 60.0010.01140.131-0.014 70.00250.0530.217 80.0180.318 90.0060.292 100.0010.207 110.123 120.063 130.029

14 Exemple Le signal m(t) = A m cos(2 f m t) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour (a) Am = 5V, f m = 20 Hz et k f = 4 Hz/V (b) Am = 10V, f m = 400 Hz et k f = 200 Hz/V. SOLUTION (a) Dans cette exemple, F = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X pour que S =. Du tableau, si X = 1, S = (0.765 2 +2×0.44 2 )=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.115 2 = 0.9912. Alors X = 2 et B = 4f m. (b) Ici, F = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0.994. Alors B = 12f m.

15 La règle de Carson Pour m(t) = A m cos(2 f m t), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque où est un entier, on trouve que X = +1. Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2( F +1)f m. Pour nimporte quel signal m(t) avec valeur maximum A m et largeur de bande B m, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver. Mais le pire cas, cest quand cest quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = B m (comme une onde sinusoïdale). Alors, la largeur de bande dun signal FM, B FM, qui transmet le signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit : (*****)


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