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Université dOttawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2014-06-05 09:08 1 Corrélation Principe fondamental dune analyse.

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1 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 1 Corrélation Principe fondamental dune analyse de corrélation Mesure de la force dune corrélation Conditions dapplication Tests dhypothèses et intervalles de confiance Comparaisons de corrélations Corrélations non-paramétriques La puissance dune analyse de corrélation

2 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 2 Principe fondamental dune analyse de corrélation La corrélation mesure lassociation linéaire entre deux variables continues Ce nest pas une relation causale, il ny a donc pas de distinction entre la variable dépendante et indépendante X1X1 X2X2

3 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 3 Utilisation de la corrélation Utiliser pour estimer le degré dassociation entre deux variables Ne pas utiliser si on veut prédire la valeur de X pour un Y donné et vice versa. X1X1 X2X2 X Y Régression Corrélation

4 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 4 Corrélation linéaire simple versus régression linéaire simple les calculs sont les mêmes. dans lanalyse de corrélation, X et Y doivent être échantillonnés au hasard la corrélation mesure lassociation (importance) la régression vise à quantifier leffet dune variable sur une autre (intensité)

5 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 5 Exemple: longueur et poids chez lesturgeon Les deux variables ne sont pas reliées (cause- effet), alors utiliser la corrélation afin de mesurer le degré dassociation entre les deux variables RDWGHT FKLNGTH

6 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 6 Régression: longueur et âge chez lesturgeon Relation causale entre les deux. La relation entre les deux donne une estimation du taux de croissance... …et on peut se servir de cette relation afin de prédire la taille dun esturgeon dun âge donné AGE FKLNGTH

7 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 7 Mesure de la corrélation Le coefficient de corrélation, r, entre deux variables avec n paires dobservations est calculé comme: X1X1 X2X2

8 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 8 Mesure de la corrélation r se situe toujours entre -1 et 1. r 2 est le coefficient de détermination qui mesure la proportion de la variabilité dune variable qui peut être expliquée par lautre. X1X1 X2X2 X2X2 X2X2 r = 0.9 r = 0.5 r = 0 r = -0.5 r = -0.9

9 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 9 Hypothèses implicites I: distribution binormale Pour chaque valeur de X 1, les valeurs de X 2 sont normalement disribuées et vice versa. r = 0.8 r = 0

10 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 10 Hypothèses implicites II: Homoscédasticité La variance de X 1 est indépendante de celle de X 2 et vice versa. Mais les variances de X 1 et X 2 ne sont pas nécessairement égales. X2X2 X1X1 X2X2 Homoscédastique Hétéroscédastique

11 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 11 Hypothèses implicites III: Linéarité La relation entre X 1 et X 2 est linéaire. X2X2 Linéaire X1X1 X2X2 Non-linéaire

12 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay : AGE FKLNGTH Violation des conditions dapplication: longueur et âge chez lesturgeon La relation entre la longueur et lâge semble non-linéaire. La variance de la longueur semble augmenter avec lâge.

13 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 13 Si les conditions dapplication ne sont pas respectées... Transformer les données (ex: log). Essayer une analyse de corrélation non- paramétrique LAGE LFKL

14 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 14 Intervalles de confiance pour les coefficients de corrélation Lintervalle de confiance de la corrélation transformée (z) est calculée par: Convertir en unités standards par: X2X2 X2X2 X1X1 X2X2 Petit IC Grand IC

15 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 15 Tests dhypothèses I H 0 : = 0 lerreur-type du coefficient de corrélation : calculer … et comparer à la distribution du t de Student avec N - 2 dl X2X2 Rejeter H 0 X2X2 Accepter H 0 X1X1 X2X2 Observées Attendues

16 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 16 Tests dhypothèses II H 0 : r = transformer r et : calculer … et comparer à la distribution Z avec N - 3 dl. X2X2 Rejeter H 0 X2X2 X1X1 X2X2 Accepter H 0 Observées Attendues

17 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 17 Comparaison de deux corrélations H 0 : r 1 = r transformer r 1 et r : calculer … et comparer à la distribution Z. X2X2 Rejeter H 0 X2X2 X1X1 X2X2 Accepter H 0 r1r1 r2r2

18 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 18 Comparaisons de plusieurs corrélations H 0 : r i = r j = r k = … avec n i, n j, n k …observations transformer tous les r i en z i et calculer … et comparer à la distribution de 2 avec dl = k -1. X2X2 Rejeter H 0 X2X2 X1X1 X2X2 Accepter H 0 r1r1 r2r2 r3r3

19 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 19 Calcul dune corrélation commune Si H 0 : r i = r j = r k = … est acceptée, alors, chaque r i estime le même coefficient (population). Pour calculer, on doit dabord calculer le score Z pondéré z w : Ensuite, retransformer afin dobtenir X2X2 X1X1 X2X2 Accepter H 0 r1r1 r2r2 r3r3

20 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 20 Corrélations non- paramétrques Utiliser si une ou plusieurs des conditions dapplication ne sont pas respectées. Cest une corrélation de rang. La méthode la plus commune: corrélation de rang de Spearman. X2X2 X1X1 Rang X 1 Rang X 2

21 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 21 La puissance et la taille de leffectif Si on veut tester H 0 : = 0 avec une taille déchantillon n, on peut déterminer 1 - en utilisant la transformation Z pour les valeurs critiques (pour un donné) pour (z ) de la vraie corrélation et r (z r ) de la corrélation de léchantillon. X1X1 X2X2 Z r ZrZr Z

22 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 22 La puissance et la taille de leffectif Une fois Z (1) déterminé, on peut calculer la probabilité dobtenir une valeur Z de cette taille ou plus grande, cest-à-dire. La puissance est 1-. X1X1 X2X2 Z r ZrZr Z

23 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 23 La puissance et la taille de leffectif: exemple La corrélation entre la longueur des ailes et la longueur de la queue dun échantillon de 12 oiseaux. alors 1 - =.98

24 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 24 Taille de leffectif minimum Pour une puissance 1 - donnée, quelle est la taille de leffectif requise afin de rejeter H 0 : = 0 si elle est fausse avec un spécifié Calculer: X2X2 Rejeter H 0 ? X2X2 X1X1 X2X2 Rejecter H 0 ? Observées Attendues

25 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 25 Taille deffectif minimum: exemple On veut rejeter H 0 : = 0 99% des fois quand | > 0.5 et (2) =.05 Alors (1) =.01 et pour r =.50, on a... Alors Alors, la taille de léchantillon devra être supérieure ou égale à 64.

26 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 26 Puissance dune comparaison de deux corrélations La puissance dun test de la différence entre deux coefficients de corrélation est 1-, où est une probabilité unilatérale: X2X2 Rejeter H 0 X2X2 X1X1 X2X2 Accepter H 0 r1r1 r2r2

27 Université dOttawa - Bio Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay :08 27 Exemple Quelle est la puissance de la comparaison de ces deux corrélations? On peut ensuite trouver dans un tableau de distribution normale : La puissance = 0.22


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