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STT6971-Méthodes de Biostatistique 1 Méthodes de Biostatistique Chapitre IV Inférence Statistique sur la moyenne.

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1 STT6971-Méthodes de Biostatistique 1 Méthodes de Biostatistique Chapitre IV Inférence Statistique sur la moyenne

2 STT6971-Méthodes de Biostatistique2 1.Estimation ponctuelle de la moyenne Lestimation de la moyenne dune population est donnée par: Exemple: Lestimation de la moyenne du temps dattente dans une salle durgence durant les week-ends est donnée par

3 STT6971-Méthodes de Biostatistique3 2. Estimation par intervalle de la moyenne Daprès le théorème central limite, pour une taille échantillonnale grande (n ¸ 30), la moyenne échantillonnale a une distribution normale de moyenne et de variance Ainsi, pour une taille échantillonnale assez large, on a Suit une loi normale de moyenne 0 et de variance 1.

4 STT6971-Méthodes de Biostatistique4 Supposons quon a un niveau de confiance de 95%. puisque, alors La dernière équation indique la probabilité que lintervalle contient la moyenne est de 95%. Cet intervalle est appelé Intervalle de Confiance.

5 STT6971-Méthodes de Biostatistique5 Lintervalle de confiance (IC) de la moyenne à 95% est donné par Supposons dans lexemple précédent, =9.5, alors lIC de à 95% est Lintervalle de confiance (IC) de à 100(1- )% est donné par

6 STT6971-Méthodes de Biostatistique6 LIC de quand la variance est inconnue: Si la taille échantillonnale n ¸ 30, lIC pour à 100(1- )%, Si la taille échantillonnale n < 30, lIC pour à 100(1- )%, ddl=df=n-1, où t représente la distribution appelée Student, et dont les valeurs sont données par la table 2.

7 STT6971-Méthodes de Biostatistique7 Détermination de la taille échantillonnale: Pour planifier une expérience, spécifiquement trouver la taille échantillonnale nécessaire pour répondre à des conditions statistiques précises, on doit répondre tout dabord à ces deux questions: 1. Quelle erreur peut-on tolérer pour notre estimateur de la moyenne? 2. Cest quoi le niveau de confiance quon aimerait utiliser? Pour la question 2, le chercheur doit décider du niveau de confiance dont il a besoin. (par ex. 90%, 95% ou 99%) Pour la question 1, On définit lerreur par Et donc

8 STT6971-Méthodes de Biostatistique8 3. Tests dhypothèses sur la moyenne: Considérons lhypothèse suivante: H 0 : = 0 vsH 1 : > 0 Considérons un échantillon de taille n provenant dune population dont la variance est connue et est donnée par 2. Alors on dit quon rejette lhypothèse nulle H 0 au niveau de signifiance de %, si

9 STT6971-Méthodes de Biostatistique9 Considérons lhypothèse suivante: H 0 : = 0 vsH 1 : < 0 Considérons un échantillon de taille n provenant dune population dont la variance est connue et est donnée par 2. Alors on dit quon rejette lhypothèse nulle H 0 au niveau de signifiance de %, si

10 STT6971-Méthodes de Biostatistique10 Considérons lhypothèse suivante: vs Considérons un échantillon de taille n provenant dune population dont la variance est connue et est donnée par 2. Alors on dit quon rejette lhypothèse nulle H 0 au niveau de signifiance de %, si ou

11 STT6971-Méthodes de Biostatistique11 Tests dhypothèses avec la variance inconnue Considérons lhypothèse suivante: Considérons un échantillon de taille n provenant dune population dont la variance est inconnue. Alors on dit quon rejette lhypothèse nulle H 0 au niveau de signifiance de %, si lalternative est:

12 STT6971-Méthodes de Biostatistique12 P-value? La règle suivante peut être utilisée pour prendre des décisions: Rejeter H 0 si p-value · où est le niveau de signifiance choisi pour le test. Cette règle sapplique pour les tests bilatéraux. Dans le cas dun test unilatéral, la règle devient Rejeter H 0 si (p-value/2) · Comment calculer la p-value (à la main!)? (Voir exemple en classe!)

13 STT6971-Méthodes de Biostatistique13 Puissance et détermination de la taille échantillonnale La puissance dun test est définie par P = 1- = P(rejeter H 0 | H 0 fausse) Calcul de la puissance: La puissance est une fonction qui dépend des 3 paramètres suivants: 1. n = Taille échantillonnale. 2. = Niveau de signifiance. 3. DT = Leffet de la taille = La différence standardisée des moyennes spécifiées sous H 0 et H 1.

14 STT6971-Méthodes de Biostatistique14 Considérons le test bilatéral suivant, vs Le paramètre DT est défini par: La puissance est donnée par

15 STT6971-Méthodes de Biostatistique15 La taille échantillonnale nécessaire pour sassurer dun certain niveau de puissance pour un test bilatéral est La taille échantillonnale nécessaire pour sassurer dun certain niveau de puissance pour un test unilatéral est

16 STT6971-Méthodes de Biostatistique16 4. Inférence statistique sur 4.1 Intervalles de confiance: Pour construire un IC pour la différence de deux moyennes de deux populations supposées indépendantes, on étudie les 3 cas suivants: Cas 1: Variances connues: Cas 2: Variances inconnues mais égales: Si les tailles échantillonnales sont supérieures à 30 Si les tailles échantillonnales sont inférieures à 30

17 STT6971-Méthodes de Biostatistique17 Cas 3: Variances inconnues et possiblement inégales: Tests sur les variances: vs ou Si les tailles échantillonnales sont supérieures à 30 Si les tailles échantillonnales sont inférieures à 30 où

18 STT6971-Méthodes de Biostatistique18 Puissance et détermination de la taille échantillonnale Considérons les hypothèses suivantes: vs La puissance est donnée par Où La taille échantillonnale relative à une puissance donnée: en supposant que le tailles échantillonnales sont égales.

19 STT6971-Méthodes de Biostatistique19 Cas de deux populations dépendantes: Données pairées Considérons le test suivant: vs Ce qui est équivalent à vs On estime par, qui est la moyenne des différences entre deux observations correspondantes. Les intervalles de confiances (avec différentes situations par rapport à la variance) sont les mêmes que ceux dune moyenne. Aussi, les mêmes règles pour les tests dhypothèses sur une moyenne sappliquent aussi dans ce contexte. (voir exemple)


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