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Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de lAdministration MQT-21919 Probabilités et statistique Estimation par intervalle Chapitre 8.

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1 Opération et systèmes de décision Faculté des Sciences de lAdministration MQT Probabilités et statistique Estimation par intervalle Chapitre 8

2 Lectures Volume obligatoire: Chapitre 8 Volume recommandé, Statistique en gestion et économie: sections et ainsi que pages

3 Résumé des distributions déchantillonnage de Si n est grand (plus grand que 30), alors suit une loi Normale et: –Si la valeur de est connue alors: –Si la valeur de est inconnue alors: Si n est petit (plus petit que 30), et X suit une loi normale, et: –Si la valeur de est connue alors: –Si la valeur de est inconnue alors:

4 Lestimation par intervalle de confiance Les estimations ponctuelles, bien quutiles, ne fournissent aucune information concernant la précision des estimations cest-à-dire quelles ne tiennent pas compte de lerreur possible dans lestimation, erreur attribuable aux fluctuations déchantillonnage.

5 Lestimation par intervalle de confiance Moyenne,, est inconnue Population Échantillon aléatoire Je suis confiant à 95% que est entre 40 & 60. Moyenne = 50 Échantillon

6 Lestimation par intervalle de confiance Consiste à construire, autour de lestimation ponctuelle, un intervalle qui aura une grande probabilité (1- ) de contenir la vraie valeur du paramètre.

7 Lestimation par intervalle de confiance Intervalle de confiance Valeur de la statistique calculée à partir de léchantillon Limite inférieureLimite supérieure Forte probabilité que le paramètre se trouve quelque part à lintérieur de lI. de C.

8 Affirmations à propos de lerreur d'échantillonnage La connaissance de la distribution déchantillonnage de nous permet de tirer des conclusions sur lerreur échantillonnale même si on ne connaît pas la vraie valeur de La probabilité que lintervalle de confiance contienne la vraie valeur du paramètre est de 1-. –1- is est le coefficient de confiance –(1- )*100% est le seuil de confiance

9 La marge derreur E Intervalle de confiance Valeur de la statistique Limite inférieureLimite supérieure La marge derreur E (précision) La moitié de la largeur de lintervalle

10 Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n 30) et la variance de la population de X est connue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant léquation suivante: Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale et que la variance de X est connue. Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillon Ça vient du fait que:

11 Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillon Lorsque (n 30) et est connu, lintervalle de confiance pour est 1 - est le coefficient de confiance z /2 est la valeur de z qui correspond à une surface de /2 sous la queue supérieure de la distribution de la loi normale centrale réduite Cet intervalle a une probabilité de 1- de contenir le vrai paramètre Ceci est aussi vrai pour de petits échantillons lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale et que la variance de X est connue.

12 La précision de lestimation : Il y a une probabilité de 1 - que la valeur de la moyenne échantillonnale fournisse une marge derreur de ou moins. z /2 est la valeur telle que P(Z> z /2 )= /2 où Z suit une loi normale centrée réduite La marge d'erreur E (précision) /2 1 - de toutes les valeurs de 1 - de toutes les valeurs de Distribution échantillonnale de Distribution échantillonnale de z /2 -z /2

13 U-Mart a 260 magasins à travers le pays. Ils évaluent le potentiel dun emplacement dun nouveau magasin basé sur le revenu annuel moyen des gens qui composent le marché ciblé de ce nouveau magasin. On sait que = $ La taille de léchantillon est n = 64. Exemple: U-Mart

14 Supposons que la moyenne échantillonnale soit $ Pour =5%, la marge derreur est 1,96 où =625, ce qui correspond à $1 225 Lestimation par intervalle de est [$21,100 + $1225], ou [$ à $22 325] On est confiant à 95% que cet intervalle contient la moyenne de la population La probabilité que la moyenne échantillonnale donne une erreur d au plus $1 225 est donc de 95%

15 Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillon Exemple : X = salaire horaire N( = 9) n = 36 = 25 $ I. de C. à 95 % pour ?

16 Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n 30) et la variance de la population de X est inconnue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant léquation suivante: Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillon Ça vient du fait que:

17 Estimation par intervalle de la moyenne de la population: grand échantillon Lorsque la taille de l'échantillon est grande (n 30) et la variance de la population de X est inconnue, l'intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- est : 1 - est le coefficient de confiance, s est l'écart-type de l'échantillon z /2 est la valeur de z qui correspond à une surface de /2 sous la queue supérieure de la distribution de la loi normale centrale réduite Cet intervalle a une probabilité de 1- de contenir le vrai paramètre

18 Lorsque la taille de l'échantillon est petite (n <30) et X suit une loi normale de variance inconnue, on obtient un intervalle de confiance pour au seuil de confiance 1- en utilisant léquation suivante:: Lestimation par intervalle de confiance pour Lestimation par intervalle de confiance pour Ça vient du fait que:

19 Estimation par intervalle de la moyenne de la population: petit échantillon(n < 30) Lintervalle de confiance est où: 1 - = le coefficient de confiance (1 - )*100 % = le seuil de confiance t /2 = est la valeur t qui donne une surface de /2 dans la queue supérieure dune distribution t avec n - 1 degrés de liberté s = est lécart-type de léchantillon

20 Exemple: location dappartement Un reporter pour un journal étudiant est en train de rédiger un article sur le coût du logement près du campus. Un échantillon de 10 appartements (trois et demi) dans un rayon de 1 km de luniversité a permis destimer le coût moyen du loyer mensuel à 350 par mois et un écart type de 30. Quel est lintervalle de confiance de 95% pour la moyenne des loyers mensuels? Supposons que les loyers suivent une loi normale.

21 Valeur t –pour un coefficient de confiance de 0,95, 1 - = 0,95, = 0,05, et /2 = 0,025. –t 0,025 est basé sur n - 1 = = 9 degrés de liberté. Dans la table de la distribution t on trouve que t 0,025 = 2,262. Exemple: location dappartement Degrés de liberté Surface sous la queue supérieure

22 [ $ $ 21,46] ou [$328,54 à $371,46] Nous sommes confiants à 95% que la moyenne des loyers mensuels (le vrai paramètre de la population, se trouve entre $328,54 et $371,46. Exemple: location dappartement

23 Exemple : n = 25 sur N( ) = 15 s 2 = 9 I. de C. à 95 % pour ? Lestimation par intervalle de confiance pour petit échantillon(n < 30)

24 Estimation par intervalle de la moyenne de la population: petit échantillon(n < 30) Population ne suit pas une loi normale La seule option est daugmenter la taille de léchantillon à n > 30 et utiliser les procédures destimation par intervalle pour un grand échantillon Population suit une loi normale et est connu Utiliser les procédures pour un grand échantillon Population suit une loi normale et est inconnu Lestimation par intervalle est basée sur une distribution appelée la distribution t ou de Student

25 Résumé des intervalles de confiance de Si n est grand (plus grand que 30), et : –si la valeur de est connue alors: –si la valeur de est inconnue alors: Si n est petit (plus petit que 30), la population suit une loi normale et: –si la valeur de est connue alors: –si la valeur de est inconnue alors:

26 Détermination de la taille de léchantillon en fonction de la précision désirée Dans le cas où 2 est connue, la grandeur de n a une influence directe sur la largeur de lintervalle de confiance pour et donc sur la précision de lestimation ainsi obtenue.

27 Taille de léchantillon: n = ? Trop grande: Exige trop de ressources Trop petite: Pas assez précis

28 Détermination de la taille de léchantillon en fonction de la précision désirée Quelle est la taille n de léchantillon qui permettrait daffirmer quen utilisant un estimateur ponctuel, lerreur commise pour un coefficient de confiance 1- serait moindre que la marge derreur E? E est la quantité ajoutée et soustraite de lestimation ponctuelle afin dobtenir une estimation par intervalle. C'est la précision. E= lerreur maximale commise pour un coefficient de confiance 1- (marge derreur)

29 Si on fixe E alors on peut déduire la taille n comme suit : Détermination de la taille de léchantillon en fonction de la précision désirée

30 Exemple: U-Mart Supposons que léquipe de gestion de U-Mart veuille obtenir une estimation de la moyenne de la population avec une probabilité de 0,95 que lerreur déchantillonnage soit $500 ou moins. Quelle est la taille de léchantillon nécessaire pour obtenir cette précision?

31 Exemple: U-Mart Au seuil de confiance de 95%, z 0,025 = 1,96. On se souvient que = donc, en résolvant pour n on obtient On a besoin dun échantillon de 384 pour arriver à une précision de + $500 à un seuil de confiance de 95%

32 Lorsque n est grand: Lestimation par intervalle de confiance pour p Ça vient du fait que:

33 Estimation par intervalle pour la proportion de population Lintervalle de confiance est: où: 1 - est le coefficient de confiance z /2 est la valeur z correspondant à une surface /2 sous la queue supérieure de la distribution normale centrée réduite est la proportion échantillonnale

34 Exemple Sciences Po. Inc. Sciences Po. Inc. (SPI) est une compagnie qui se spécialise dans les sondages politiques. À laide de sondages téléphoniques, les interviewers demandent aux citoyens pour qui ils voteraient si les élections avaient lieu aujourdhui. Récemmment, SPI a trouvé que 220 votants sur 500 voterait pour un candidat particulier. SPI veut estimer lintervalle de confiance à 95% pour la proportion des votants qui sont en faveur de ce candidat.

35 où n = 500, = 220/500 = 0,44, z /2 = 1,96 [0,44 ± 0,0435] SPI est confiant à 95% que la proportion des votants qui favoriseront ce candidat est entre 0,3965 et 0,4835. Exemple Sciences Po. Inc.

36 Considérons la taille déchantillon nécessaire pour estimer avec un niveau de précision donné, la proportion de la population. Si on connaît la valeur spécifique de p alors : Sinon, on peut approximer p par si cette donnée est disponible Pour p totalement inconnue, on sait que la valeur maximale du produit pq est de 0,25, on peut alors approximer: Taille déchantillon pour la proportion déchantillon

37 Supposons que SPI veuille une probabilité 0,99 que la proportion déchantillon se retrouve en dedans de ±0,03 de la proportion de la population. Quelle taille déchantillon n est nécessaire pour obtenir cette précision? Exemple Sciences Po. Inc.

38 À un seuil de confiance de 99%, z 0,005 = 2,576. Note: Nous avons utilisé =0,44, la meilleure estimation de p. Si aucune information nest disponible sur p, on utilise alors 0,5 comme valeur pour p, ce qui donne la taille déchantillon maximale pour cette précision. Si on avait utilisé p = 0,5, le n suggéré aurait été Exemple Sciences Po. Inc.

39 Distribution déchantillonnage de la variance de léchantillon ( s 2 ) : loi du 2 ( Khi-deux) Si X suit une loi normale alors la statistique: 2 0 dl: degrés de libertés Donc la distribution déchantillonnage de est:

40 Loi du 2 et ses degrés de liberté Loi du 2 et ses degrés de liberté Degrés de liberté = (taille de léchantillon) - (# de paramètres indépendants à estimer) Théorème: Si n augmente indéfiniment (n ), alors: loi du 2 (n) loi N( n, 2n)

41 Ex: n = 10, P( (10 dl) > 15,99) = 0,1 15,99 Loi du 2 0 Table 3 p. 694, probabilité dans la queue supérieure

42 Lestimation par intervalle de confiance pour 2 Nous utiliserons la statistique suivante : où:

43 Lestimation par intervalle de confiance pour 2 L'intervalle de confiance au seuil 1- pour 2 est:

44 Lestimation par intervalle de confiance pour 2 Exemple : n = 51 s 2 = 100 Donner lintervalle de confiance à 95 % pour 2

45 Une firme spécialisée fait une étude de marché pour déterminer le montant annuel moyen dépensé par les familles québécoises pour lachat de vitamines. On désire une erreur destimation maximale de 2 $ à un seuil de confiance de 90 %. On suppose que lécart type de la variable considérée est de 7 $. Quelle doit être la taille de léchantillon prélevé ? Rép. 33 ExempleExemple

46 Exemple Pour évaluer la cote de popularité des émissions télévisées, on procède habituellement par échantillonnage. On veut estimer la proportion p des ménages (d'une grande population) qui visionnent un talk-show le lundi soir au canal 1 entre 21h30 et 22h30, par l'intermédiaire d'un échantillon aléatoire de taille n. Si on veut que notre erreur d'estimation soit d'au plus 3 % avec une probabilité d'au moins 95%, quelle taille n d'échantillon devrait-on choisir ? Rép. 1068

47 Exemple Le service du personnel dune entreprise choisit au hasard 25 employés et constate que le salaire moyen est de 1500 $ par mois. On suppose que les salaires suivent une distribution normale. On sait par ailleurs que lécart type de cette distribution est de 100 $. Estimer le salaire moyen des employés de lentreprise à laide dun intervalle de confiance à 90 %. [1467,1;1532,9] Supposons quon ignore lécart type de la population alors quon sait que lécart type de léchantillon de 25 personnes est de 100$. Estimer le salaire moyen des employés de lentreprise à laide dun intervalle de confiance à 90 %. [1465,78;1534,22] On se replace dans le cas où lécart type de la population est connu ( = 100 $). Quelle devrait être la taille minimale de léchantillon si on veut être certain, à un seuil de confiance de 90 %, que lerreur reliée à lutilisation de comme estimateur de, ne dépassera pas 10 $ ? n=269


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