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SUIVI DE LINFILTRATION ET DE LEXFILTRATION DANS LES SOLS PAR DES METHODES THERMIQUES ET TENSIOMETRIQUES Bruno Cheviron, Hocine Bendjoudi, Roger Guérin,

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1 SUIVI DE LINFILTRATION ET DE LEXFILTRATION DANS LES SOLS PAR DES METHODES THERMIQUES ET TENSIOMETRIQUES Bruno Cheviron, Hocine Bendjoudi, Roger Guérin, Sabine Laurent et Alain Tabbagh UMR 7619 Sisyphe, Université Paris VI - Pierre et Marie Curie, case courrier 105, 4 place Jussieu, Paris cedex 05 RESUME: A partir de la distribution verticale des températures et de la charge hydraulique dans le proche sous-sol, la résolution de problèmes inverses conduit à la vitesse découlement de leau, le long de cet axe. Les déplacements de leau correspondent à un transfert par convection qui vient sajouter au transfert par conduction, et modifier en intensité et en phase la diffusion de la chaleur. Le calcul de vitesse entre deux profondeurs se fonde soit sur le rapport damplitude des ondes thermiques associées, soit sur celui de leurs transformées, de Laplace ou de Fourier. Lapproche tensiométrique repose, elle, sur les relations charge-écoulement dans les zones non saturée et saturée du sol. Les méthodes thermiques permettent de traiter des événements transitoires très courts, en complément de la tensiométrie. Leur précision optimale sobtient toutefois pour des cycles plus longs. Ces études ont été menées sur le site de Voyons, dans lAube, dans le cadre du programme Seine amont du PNRZH (Programme National de Recherche sur les Zones Humides). Les trois sondes thermiques utilisées ont été disposées dans la zone alternativement saturée et non-saturée du sol, aux profondeurs de 20, 40 et 75 cm. Sur ce terrain, le toit de la nappe phréatique se trouve à 1.20 m à létiage, tandis que leau affleure en période de crue. Les capteurs ont fourni pendant plus dun an des relevés de température au pas de temps horaire. 3. ABAQUE DIFFUSIVITE - VITESSE La résolution de léquation de la chaleur par la transformée de Fourier, supposant une forme sinusoïdale pour la température, donne une solution complexe T(w,z) fonction de et v, pour chaque profondeur. On peut déterminer la diffusivité du sol à partir des différences de phase existant entre deux profondeurs, ou bien à partir des rapports damplitude entre ces mêmes profondeurs. Fait remarquable, la valeur de diffusivité PH calculée à partir des différences de phase est très proche de la valeur exacte, connue, tandis que la valeur AMP calculée à partir des rapports damplitude se trouve dépendante des écoulements deau : les écoulements deau modifient la diffusivité apparente. En cas dinfiltration, AMP est supérieure à la valeur exacte. Au contraire, en cas dexfiltration, AMP devient inférieure à la valeur exacte. Si lon parvient à connaître la vitesse de Darcy dune manière indépendante, on peut établir une corrélation entre PH - AMP et v, ou bien PH / AMP et v, au moyen dabaques. Commentaire: le calcul des diffusivités réelle et apparente est extrêmement précis, aussi la qualité de cette méthode aura souvent celle de la vitesse comme facteur limitant. Actuellement, la vitesse utilisée est celle de Taniguchi, indiquée pour des calculs sur une période assez longue. Lemploi optimal de cette méthode serait sans doute de caler labaque avec le calcul de vitesse reposant sur le développement de Taylor, pour des périodes courtes, et despérer un prolongement des courbes, sous certaines conditions, pour des périodes encore plus courtes (autour de 24h, même hors cas de crue, exceptionnellement propices). 1. DEVELOPPEMENT DE TAYLOR EN LES VARIABLES (,v) Pour cette méthode, on résout léquation de la chaleur à laide des transformées de Laplace, toujours avec le modèle sinusoïdal de température, ce qui donne une solution réelle T(p,z), comportant les termes et v, pour chaque profondeur. Lidée est cette fois dexploiter le rapport entre deux transformées prises à des profondeurs différentes, en le considérant comme une fonction des deux variables et v. Le développement de Taylor de cette fonction comporte, outre les dérivées partielles relatives aux variables, des termes décart de position de type (v-v 0 ) et ( - 0 ). Les termes v 0 et 0 représentent les valeurs de départ, et le terme final connu, la diffusivité réelle du terrain. La vitesse v est linconnue du problème. Lalgorithme de calcul simultané de la diffusivité et de la vitesse, qui associe le développement de Taylor à deux variables à des itérations matricielles de la méthode des moindres carrés, va indiquer la correction à apporter aux deux paramètres v 0 et 0 fournis en entrée pour obtenir la bonne paire (, v) en sortie. Commentaire: cette méthode est la plus apte à détecter les événements transitoires, la plus sensible, car ses résultats sont souvent supérieurs en valeur absolue à ceux des autres méthodes thermiques, et également la plus stable, au sens où ses résultats varient continûment quand on modifie petit à petit lintervalle détude. METHODES THERMIQUES METHODES TENSIOMETRIQUES PERMEABILITE RELATIVE (K(h)/Ks) Relevés de température sur lensemble de la période détude Inversion thermique hivernale, les couches de surface sont les plus froides Épisode de crue du début mai 1998 Dans la partie gauche du graphique, on observe un découplage inhabituel des températures aux trois profondeurs, dû conjointement au temps couvert et à la rapide montée des eaux, qui réduisent lamplitude des signaux, ainsi que leur caractère sinusoïdal. Dans la partie centrale, lassociation dune période de grand beau et dune forte descente des eaux produit exactement leffet contraire: les conditions de calcul sont optimales aux trois profondeurs, mais brèves. CONCLUSION: Létude des périodes longues, saisonnières ou annuelles, est assez bien maîtrisée, dans la mesure où toutes les méthodes thermiques donnent des résultats proches et assortis dune bonne fiabilité. Par contre, les épisodes transitoires courts posent problème, spécialement ceux de moins de 72 heures ou ceux pendant lesquels lévolution temporelle de la température nest pas vraiment sinusoïdale. Pour ce dernier cas, les programmes de traitement des données incluront bientôt des algorithmes de prolongement mathématique permettant malgré tout le calage dun modèle thermique. Pour létude délicate des régimes transitoires, le meilleur gage de réussite est la confrontation des résultats issus de plusieurs approches indépendantes: développer une abaque diffusivité-vitesse appropriée, contrôler la cohérence des résultats avec des mesures tensiométriques et des sondages électriques, qui constituent également des mesures instantanées, où les mouvements deau sont suivis à travers les variations de résistivité qui les caractérisent. Limplantation de nouveaux capteurs thermiques devrait permettre prochainement un recoupement sur au moins cinq points et plus dun mètre de profondeur entre les différentes méthodes, et ainsi donner une vision spatiale plus continue des mouvements deau, dans la zone alternativement saturée et non saturée. La perméabilité à saturation du terrain a été mesurée en temps de crue, entre plusieurs paires de profondeurs, afin de pouvoir obtenir K(h) des relations de Van Genuchten. Les relevés de potentiel matriciel et de charge hydraulique seffectuent sur le terrain à laide de cannes tensiométriques, disposées à des profondeurs recouvrant celles des capteurs thermiques et allant même au- dessous du toit de la nappe à létiage. Les comparaisons sont donc possibles entre les méthodes. Les principes généraux de la thermodynamique indiquent que les mouvements se font toujours dans le sens dune descente des potentiels. Pour leau libre du sol, le potentiel sappelle la charge hydraulique, qui regroupe essentiellement leffet de la gravité et celui de la succion exercée par le milieu, quand il est non-saturé. Sur le graphique ci-dessous, typique de la saison estivale, la charge hydraulique est plus importante en profondeur quen surface, donc leau se déplace à lopposé, de bas en haut. Plus le gradient de charge est fort, plus leau aura tendance à se déplacer. A contrario, la zone de charge hydraulique constante marque la nappe phréatique. Lautre paramètre pertinent est celui du potentiel matriciel, positif dans un milieu saturé, et dautant plus négatif que le milieu est fortement non-saturé, ce qui est le cas ici. La relation de Darcy généralisée permet le calcul de la vitesse de leau à partir de ces données, connaissant la perméabilité du milieu, elle même très dépendante du potentiel matriciel, donc du degré de saturation du milieu. où :H : charge hydraulique h : potentiel matriciel K(h) : perméabilité fonction de h Remarque: K(h) est toujours inférieure ou égale à Ks, la perméabilité à saturation, car si les pores du milieu ne sont pas remplis, leau doit effectuer un trajet plus long et plus tortueux pour sécouler. Lécart entre K(h) et Ks atteint facilement plusieurs ordres de grandeur, comme lindique le graphique ci-dessous, daprès les travaux de Van Genuchten (A Closed-form Equation for Predicting the Hydraulic Conductivity of Unsaturated Soils; Soil Science Society of America Journal, 44: , 1980) Commentaire: par rapport aux méthodes thermiques, qui nécessitent le calage dun modèle sur une période dau moins 24 heures, celle-ci fournit une vitesse instantanée. Le défaut de cette qualité est sa relative imprécision (environ 50%), due à la variabilité thermique des mesures de charge hydraulique, et au calage des paramètres décrits dans les modèles de Van Genuchten. 2. METHODE DE TANIGUCHI (adaptée de l article Evaluation of Vertical Groundwater Fluxes and Thermal Properties of Aquifers based on Transient Temperature-Depth Profiles, Water Resources Research; 29: , 1993) Sous lhypothèse dune forme sinusoïdale pour la température, on sintéresse seulement ici aux amplitudes des variations thermiques à différentes profondeurs. Le logarithme du rapport damplitude à deux profondeurs, divisé par la différence de profondeur, est égal à une fonction du nombre de Péclet caractéristique du milieu (le nombre de Péclet est un moyen destimer limportance relative de la convection et de la conduction, dans lequel la vitesse de Darcy apparaît linéairement). Une inversion analytique de la fonction de Taniguchi a été obtenue récemment, qui permet de remonter directement à la vitesse de leau. Commentaire: la plus simple des méthodes thermiques, qui donne de très bons résultats sur le long terme, mais dont la précision se dégrade quand la vitesse est trop proche de 0. Cette méthode est par ailleurs inadaptée aux cas de forte infiltration, quand lamplitude thermique ne diminue pas, ou pas assez, avec les profondeurs croissantes. Un prolongement est à létude pour remédier à cela. DONNEES ACQUISES ET MODELES RETENUS A ces faibles profondeurs, les ondes thermiques sont connectées aux variations atmosphériques, dont elles reproduisent les oscillations saisonnières et journalières, modulées par linfluence de facteurs météorologiques plus imprévisibles. Par exemple, les périodes de froid ou de chaleur particulière translatent londe porteuse suivant laxe des températures et les périodes de beau temps augmentent lamplitude des variations diurnes. Mais, sauf rares exceptions, le signal obtenu reste sinusoïdal aux trois profondeurs, quelle que soit la période détude retenue, bien que son atténuation et son déphasage par rapport aux conditions de surface augmentent avec la profondeur.Les méthodes danalyse thermique supposent justement le calage dun modèle sinusoïdal sur les données de la période examinée, que lon prend sous la forme: oùT z moy : valeur moyenne à la profondeur z A z : amplitude à la profondeur z z : déphasage à la profondeur z Les méthodes utilisées donnent une valeur de la vitesse de leau, par inversion, à partir des caractéristiques des oscillations à deux profondeurs, elles-mêmes fonctions du transfert convectif, représenté par le deuxième terme de léquation de la chaleur : où : diffusivité thermique = environ 1.25 m 2 /s v : vitesse de Darcy de leau C W : capacité calorifique volumique de leau = J/m 3.K C V : capacité calorifique volumique du milieu solide-fluide = environ J/m 3.K Les solutions analytiques de cette équation existent mais la vitesse y figure sous une forme intégrale et implicite, ce qui interdit toute inversion directe. Cependant, létude des solutions permet de remarquer que linfiltration (v > 0) favorise la propagation de la chaleur ou du froid dans le sol, au contraire de lexfiltration (v < 0) qui latténue et la retarde. Le tracé des températures pour lépisode de crue survenu en mai 1998 illustre ce phénomène de manière assez spectaculaire. Sous leffet dune très forte réinfiltration, à la limite de validité de la loi de Darcy (nombre de Reynolds compris entre 5 et 10), lamplitude des variations de température est temporairement plus importante à 40 cm de profondeur quà 20 cm ! Sur quelques heures, la vitesse prend des valeurs maximales denviron m.s -1, soit 30 cm/jour, pour ces horizons de sol.


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