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1 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Méthode de régularisation par second gradient. Aspects numériques et.

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1 1 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Méthode de régularisation par second gradient. Aspects numériques et bifurcations R. Chambon 2, R. Fernandes 1,2, C. Chavant 1 1: Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables (EDF/R&D) UMR CNRS-EDF 2832, 1 avenue du Général de Gaulle Clamart, France web page: 2: Laboratoire Sols Solides Structures (L3S) UMR CNRS 5521, Domaine Universitaire BP53, Grenoble, France web page: This work was partially supported by GdR MoMas (PACEN)

2 2 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Problèmes liés aux comportements adoucissants : besoin de robustesse Extension des modèles locaux aux formulations régularisées Choix de la discrétisation numérique Algorithme de recherche de solutions multiples Applications numériques Conclusions et Perspectives Méthode de régularisation par second gradient

3 3 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Dépendance des simulations à la discrétisation spatiale Dissipation dénergie qui tend vers zéro avec le raffinement du maillage 2 maillages Variable dendommagement Illustration numérique Problématique de la localisation du point de vue éléments finis

4 4 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Principe des modèles à gradients Une solution consiste à régulariser ces variables internes ou le champ de déformation Principe des modèles à gradients : Introduction de variables cinématiques supplémentaires pour décrire un point matériel en tenant compte de son voisinage. Les variables cinématiques supplémentaires doivent dépendre du gradient dune variable qui localise. Le problème de minimisation dénergie de la structure va ensuite assurer que ces nouveaux termes naugmentent pas trop fortement, et va donc permettre de régulariser le champ considéré. Le phénomène de localisation entraîne la production de forts gradients de variables internes (endommagement) et de déformations

5 5 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Théorie des milieux à microstructure (dits micromorphic models) Modèle du second gradient : un modèle issu des milieux à micro-structure contraint Avec une modification de lexpression des conditions limites Modèle second gradient (I) (Chambon et al, 2001)

6 6 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Modèle second gradient (II) (Chambon et al, 2001) La discrétisation élément fini implique de prendre en compte : soit des éléments C1-continu, soit une formulation mixte + Modèle bien adapté aux géomatériaux + Nécessite peu de données supplémentaires - Ajout significatif de degrés de liberté supplémentaire

7 7 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Théorie des milieux avec micro-dilatation (micromorphic dilation model) Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint Modèle second gradient de dilatation (I) (Fernandes et al, 2008) Avec une modification de lexpression des conditions limites

8 8 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Modèle second gradient de dilatation (II) (Fernandes et al, 2008) La discrétisation élément fini implique de prendre en compte : soit des éléments C1-continu, soit une formulation mixte soit une formulation pénalisée soit une formulation mixte pénalisée Discrétisations élément fini (3D) testées : Lagrange P1 Lagrange P0

9 9 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Modèle second gradient de dilatation Choix de la discrétisation EF (sur élément 3D): Comparaison dessais numériques par rapport à une solution analytique Etude dune sphère de rayon unitaire soumise à un déplacement radial imposé et à une force interne Le comportement est supposé élastique

10 10 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. On discrétise la sphère avec des mailles de plus en plus fines et on observe le taux de convergence dune norme du tenseur de déformations macroscopiques et du gradient de déformation volumique microscopique en déformations macros dordre 2 pour lélément sans pénalisation mais dordre 1 pour lélément Etude de la convergence en fonction du type dinterpolation 0,0001 0,001 0,01 0, ,010,11 taille de maille (h) en gradient de déformations micros toujours dordre 1 => Choix de lélément (P2,P1,P1)

11 11 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. + Modélisation bien adaptée aux géomatériaux + Nécessite peu dinformations complémentaire + Régularisation nécessitant peu de degrés de liberté supplémentaire Intégration par Lagrangien augmenté Intégration par pénalisation (seule) + meilleure convergence numérique - opérateur tangent non-symétrique + peu coûteuse + opérateur tangent avec symétrie identique à celle du modèle local Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint Modèle second gradient de dilatation

12 12 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Distinction entre solutions multiple et bifurquée Paramètre de chargement Forces globales Point de bifurcation Solutions Multiple Branche fondamentale Branche bifurquée Un point de bifurcation est défini par un paramètre de chargement à partir duquel au moins 2 solutions continues existent La non-unicité de la solution est possible pour des chargements plus petits que celui du point de bifurcation Un point singulier (ou critique) est défini par un paramètre de chargement pour lequel la matrice jacobienne des équations déquilibre est singulière Un point de bifurcation est un point singulier particulier

13 13 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Algorithme de changement de branches Etape 1 : Identification dun point singulier par un critère global basé sur lanalyse des valeurs propres de la matrice tangent consistante de rigidité calculée en fin de pas de temps par un critère local basé sur lanalyse du tenseur acoustique de Rice Etape 2 : Détection des solutions bifurquées suivant la direction du vecteur propre de la branche fondamentale Etape 1 Etape 4 Etapes 2 et 3 Pas de temps Identification dun point singulier 1 ère solution bifurquée 2 nde solution bifurquée Etape 3 : Distinction des solutions bifurquées par analyse des valeurs propre On considère que 2 solutions sont identiques si leur plus petite valeur propre respective sont les mêmes Etape 4 : Poursuite de la simulation numérique

14 14 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Applications numérique de lalgorithme de changement de branches 1- Biaxial homogène en compression (20.000/ ddls) 2- Simulation dune excavation souterraine en conditions drainées (85.000/ ddls) Utilisation de lalgorithme de changement de branche comme outil de traitement numérique pour détecter les solutions multiples Pour les géomatériaux, et plus généralement pour les matériaux adoucissant, les équations représentatives des lois de comportements ne sont pas continûment differentiable. Applications numérique : Théorie de bifurcation classiquement appliqué en ingénierie pour traiter les non- linéarités géométriques (comme le flambement) mais est souvent occulté quand les non-linéarités sont dues aux propriétés matériaux. Pourtant, il est bien connu que de tels problèmes non-linéaires peuvent donner de multiples solutions (Chambon et al, 1998). Observation : Difficulté : Objectif :

15 15 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Points commun des applications numériques Modélisation second gradient de dilatation par une approche pénalisée (uniquement) Relation de comportement avec un critère de type Drucker-Prager dans une approche associée Représentation classique de la réponse mécanique dun test biaxial homogène en compression Déplacement (mm) Contrainte déviatorique équivalente Déformations volumiques Déplacement (mm)

16 16 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Simulation du test biaxial homogène en compression Homogénéité sur la géométrie, le chargement et les paramètres matériaux. 2 maillages : et éléments triangle

17 17 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Etape 1 : Identification de points singuliers -> Avec le critère global basé sur lanalyse aux valeurs propres : 2 points singuliers sont détectés -> Le critère local basé sur lanalyse du tenseur acoustique de Rice est vérifié pour tous les points de Gauss avant lidentification dun point singulier par le critère global 0,2800,286 Paramètre de chargement 3 plus petite valeurs propres Premier point singulier Second point singulier Détection par analyse du critère de Rice le vecteur propre issu du critère global est associé à une valeur propre légèrement négative. le vecteur propre issu du critère local est associé à une valeur propre positive éventuellement élevée. On peut noter que :

18 18 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Solutions multiples obtenues pour le test biaxial homogène Détection des mêmes solutions avec les critères globaux (valeurs propres) / et locaux (Rice) => Solutions multiples avant lidentification dun point de bifurcation Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss Suivant le premier vecteur propre singulier Suivant le second vecteur propre singulier Maillage raffiné

19 19 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. 2 méthodes pour détecter les bandes de cisaillement et passer les points singuliers: introduction dune imperfection numérique (sur les paramètres matériaux par exemple) mais nécessité dutiliser une méthode de pilotage pour passer le snap-back utilisation de lalgorithme de changement de branches sur le test homogène Forces globales (MN) Paramètre de chargement Forces globales (MN) Forces globales / paramètres de chargement en fonction des méthodes utilisées Solution homogène Imperfection + pilotage Algorithme de changement de branches : Un outil numérique pour passer les points singuliers Algorithme de changement de branches Paramètre de chargement 0,3 0,12 0,24

20 20 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Comparaison des bandes de cisaillement obtenues par les deux méthodes 0,002520, ,002150,02970 Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss Simulation du test homogène avec méthode de changement de branche Simulation avec une imperfection matériau en bas à gauche de la structure + méthode de pilotage Epaisseur de bandes quasi-identique pour les deux méthodes

21 21 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Simulation numérique dune excavation souterraine en conditions drainées Y X Cavité cylindrique (rayon 3m) Etat de contraintes initial anisotrope Dimensions verticales et horizontales du domaine détude : 60 mètres Déformations plastiques cumulées aux points de Gauss après 70% de creusement ddls ddls 0 0 0, , , , solutions distinctes pour chacun des 2 maillages Solution 1 Solution 2 Maillage fin

22 22 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Conclusions et Perspectives Est-il nécessaire de détecter toutes les solutions? Une sélection peut être envisager à partir dun critère de « stabilité » à définir. Extension de lalgorithme de changement de branches aux matrices tangentes de rigidité non-symétrique (pour traiter les problèmes couplés ou non-associés par exemple) Perspectives Il est nécessaire de détecter (toutes?) les solutions dun problème non-linéaire Lalgorithme de changement de branches basé sur lanalyse aux valeurs propres de la matrice tangente consistante semble être une méthode robuste Les solutions multiple sont possible avant même lidentification de points singuliers Conclusions


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