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Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE.

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1 Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE

2 Introduction et exemples

3 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire3 Formulation n Ceci est un problème de programmation linéaire:

4 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire4 Formulation

5 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire5 Formulation

6 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire6 Formulation

7 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire7 Définitions n x 1,…x n : variables de décisions n Si le vecteur x satisfait toutes les contraintes, x est une solution admissible. n Lensemble de toutes les solutions admissibles est lensemble admissible ou la région admissible.

8 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire8 Définitions n La fonction c T x est la fonction objectif ou fonction de coût. Une solution admissible x* qui minimise la fonction objectif (i.e. c T x* c T x pour tout x admissible) est appelée solution admissible optimale ou solution optimale.

9 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire9 Définitions n Forme standard n Forme canonique

10 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire10 Exemple Un atelier de montage peut assembler deux produits finis différents, notés P 1 et P 2. Chaque produit est fabriqué à partir de 3 matières premières, M 1, M 2 et M 3. On connaît pour chacune de ces matières premières : 1.le nombre b i dunités disponibles pour le prochain cycle de production, i = 1, 2, 3 ; 2.le nombre a i j dunités nécessaires à lassemblage dune unité du produit P j, i = 1, 2, 3, j = 1, 2 ; 3.le prix dachat unitaire i, i = 1, 2, 3. De plus, on connaît, pour chacun des produits finis, son prix de vente unitaire j, j = 1, 2.

11 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire11 Exemple Pour le directeur de latelier, le problème est dutiliser « au mieux » les matières premières à disposition. Supposons quil décide de produire x 1 unités de produit P 1 et x 2 unités de P 2. Le revenu associé à la production dune unité de produit j est j mais ce prix ne tient pas compte du coût des matières premières : Le profit associé à la production dune unité de produit j est

12 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire12 Le but du directeur est de maximiser ce profit. Ses décisions sont cependant sujettes à des contraintes. Premièrement, les quantités produites doivent être non négatives, elles doivent satisfaire les contraintes : Exemple Si x j unités de produit j sont assemblées, le profit correspondant est c j x j et le profit total sur le cycle de production est :

13 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire13 Exemple Dautre part, les productions possibles sont limitées par les matières premières à disposition. La quantité de matière première M i nécessaire à la réalisation dun plan de production donné est : a i1 x 1 + a i2 x 2, et les quantités produites doivent satisfaire les contraintes :

14 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire14 Exemple Le problème du directeur est de déterminer le nombre dunités x 1 et x 2 à produire

15 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire15 Hypothèses 1.Hypothèse de proportionnalité et additivité ou hypothèse de linéarité La contribution des variables de décision à la fonction objectif et aux contraintes est proportionnelle à leur valeur 3x 1 ¾ x 2 1/x 1 log(x2) La contribution de chaque variable est indépendante de la valeur des autres variables z=3x 1 +x 2 z=2 x 1 x 2 Si elle est violée : Programmation non linéaire

16 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire16 Hypothèses 2.Hypothèse de divisibilité: Les variables prennent des valeurs fractionnaires. Si elle est violée : Programmation en nombres entiers 3.Hypothèse de certitude : Chaque paramètre est connu précisément. Si elle est violée : Programmation stochastique

17 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire x1x1 x2x2 Représentation graphique s.c. z=-1 z=0 z=-2 c=(-1,-1) T

18 Intro. à la programmation linéaireMichel Bierlaire18 Représentation graphique n Identification du domaine admissible n Identification des lignes de niveaux n Lignes de niveaux perpendiculaires au vecteur c, et donc parallèles entre elles n A chaque valeur de z correspond une ligne de niveau n La valeur de z augmente dans la direction de c n LPLab2D LPLab2D


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