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Programmation linéaire et Recherche opérationnelle Licence dEconométrie Professeur Michel de Rougemont

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Présentation au sujet: "Programmation linéaire et Recherche opérationnelle Licence dEconométrie Professeur Michel de Rougemont"— Transcription de la présentation:

1 Programmation linéaire et Recherche opérationnelle Licence dEconométrie Professeur Michel de Rougemont Cours 7,8,9

2 Recherche opérationnelle 1.Problèmes de transport 2.Simplex Réseau 3.Problèmes de flux maximum 4.Méthode Ford et Fulkerson 5.Méthode primal-dual

3 Simplex et réseaux Graphes : nœuds et arêtes Sources : 6,7 Puits: 3,4,5 Matrice dincidence

4 Rappels sur les graphes Graphes : nœuds et arêtes Degré dun nœud Chemin : Composante connexe : Graphe Connexe, Eulérien, Hamiltonien

5 Matrice dincidence

6 Solution possible Flux conservé sources puits noeuds

7 Solution darbres Arbre recouvrant : n noeuds n-1 arêtes Flux unique

8 Solution darbres Propriété des arbres recouvrants : on peut énumérer les nœuds , 2, 3, 6, 1, 4, 5

9 Solution darbres Prendre , 2, 3, 6, 1, 4, 5 B est triangulaire et unimodulaire (detB=0,1,-1).

10 Solution darbres Prix

11 Solution darbres Résoudre Déterminer arc qui nest pas dans larbre tel que : Interprétation économique: acheter à et vendre à En théorie prendre le maximum de :

12 Solution darbres Par exemple: Trouver le plus grand t tel que : Prendre t=8 9 8-t 1+t 9-t 15-t 6 t

13 Nouvel arbre Par exemple: 9 9+t 1-t t

14 Nouvel arbre Par exemple: Enfin: OPTIMUM

15 Simplex réseau et révisé Etape 1 : Résoudre Etape 2: Choisir une colonne entrante. Colonne a tel que : Etape 3: résoudre Etape 4: trouver le plus grand t tel que colonne entrante Etape 5: mettre à jour

16 Intégralité Problème de transport: Si b a des valeurs entières, alors la solution optimale (si elle existe) est entière. A est une matrice dincidence et le problème est facile. En général la programmation linéaire entière est difficile.

17 Problème daffectation Problème de transport en solution 0 ou 1:

18 Méthode hongroise Faire apparaître des 0 dans les lignes et les colonnes en soustrayant la plus grande valeur:

19 Méthode hongroise Solution partielle: a3, b4, c1, e2 Pour létendre, utiliser lalgorithme hongrois: Marquer les lignes sans affectation Marquer les colonnes qui ont des zéros dans les ligne marquées Marquer les lignes qui ont des affectations dans les colonnes marquées Couvrir lignes non marquées et colonnes marquées

20 Matrice dincidence Elément minimum: 2 Soustraire 2 au tableau et le rajouter aux lignes et colonnes couvertes. Itérer Solution : a1, b4, c5, d3, e2 Valeur : =60

21 Flots et coupes Problème de transport avec capacité maximum: Solution optimale simple: Exemple : flux de passagers entre SF et NYC SF NYC D A C

22 Flots et coupes Conservation sur chaque nœud: Flux de s vers t SF NYC D A C

23 Coupes Coupe C partage les nœuds avec s et t dans deux composantes: Capacité de C : SF NYC D A C

24 Ford et Fulkerson Chemin augmenté: Chercher un chemin possible entre s et t de capacité faisable. Mettre à jour les flots : : : 7 2 SF NYC D A C

25 Ford et Fulkerson 5 6 5: : 4 1 : 4 4 : 7 1 :2 SF NYC D A C 5 3 : 6 5: 5 3 : 5 4 : 4 1 : 4 7 : 7 1 :2 SF NYC D A

26 Ford et Fulkerson 5 4 : 6 5: 5 4 : 5 3 : 4 2 : 4 7 : 7 2 :2 SF NYC D A C 5 4 : 6 5: 5 4 : 5 5 : 4 2 : 4 7 : 7 2 :2 SF NYC D A Coupe Maximum

27 Théorème fondamental Théorème 1 : Max flot = Min Coupe Théorème 2 : Max flot a une valeur entière lorsque toutes les capacités sont entières SF NYC D A C 7


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