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03/18/'09 Modélisation de solides -- Table de matières 1 Modélisation de Solides I – Vue densemble Introduction: 1-9 «Trimmed NURBS» (Rep. Standard) 10-11.

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1 03/18/'09 Modélisation de solides -- Table de matières 1 Modélisation de Solides I – Vue densemble Introduction: 1-9 «Trimmed NURBS» (Rep. Standard) Autres representations Opérations à effectuer sur des modèles Fiabilité et formalisation Cest quoi un solide?? Résumé très sommaire de la réponse 1-15 «Trimmed NURBS» 16 Surfaces de subdivision 1-10

2 03/18/'09 Modélisation de solides I 2 Modélisation de Solides Pour commencer, une distinction: Systèmes de design industriel (par exemple, Autodesk « Mechanical Desktop », CATIA, … ) Systèmes danimation (XSI, Maya, …) Je mintéresse (dans mes recherches) surtout à certains problèmes mathématiques reliés aux systèmes de design industriel.

3 03/18/'09 Modélisation de solides I 3 Un exemple de « Mechanical Desktop »

4 03/18/'09 Modélisation de solides I 4 Et un autre exemple (du côté architecture) de « Mechanical Desktop »

5 03/18/'09 Modélisation de solides I 5 Exemple: XSI

6 03/18/'09 Modélisation de solides I 6 Et dautres exemples de XSI:

7 03/18/'09 Modélisation de solides I 7 Geris Game (filme animé de Pixar) DeRose et al, SIGGRAPH `98

8 03/18/'09 Modélisation de solides I 8 Geris Game (suite) Les «Crease edge» et les coins

9 03/18/'09 Modélisation de solides I 9 Surfaces de subdivision Les surfaces de subdivision ont été beaucoup utilisées, par exemple, dans le filme ``Geri`s game``. Ils sont dailleurs de plus en plus utilisées dans lanimation, dans les jeux, … … et peut-être dans lavenir, dans les systèmes de conception industrielle?

10 03/18/'09 Modélisation de solides I 10 Méthodes de représentation géométrique Résumé très informelle: Les systèmes de design industriel (CAD/CAM ou CAO/FAO) ont tendance à être basés Sur les surfaces paramétriques (surfaces courbes à deux paramètres, avec domaine rectangulaire ou triangulaire, souvent taillées en sous-surface:trimmed patches); Et sur les maillages polygonaux. Les représentations dites implicites (la frontière est composée des points t. q. ) ont aussi été utilisées.

11 03/18/'09 Modélisation de solides I 11 Trimmed NURBS La représentation standard Problèmes de robustesse Surfaces de subdivision?

12 03/18/'09 Modélisation de solides I 12 Représentations Géométriques et Logiques:

13 03/18/'09 Modélisation de solides I 13 Méthodes de représentation Résumé (suite) Les premiers systèmes de CAD/CAM utilisaient souvent la représentation CSG (« Constructive Solid Geometry »), une représentation procédurale basée sur les arborescences. Cette approche est toujours utilisée pour la « Modélisation basée sur les Feature »

14 03/18/'09 Modélisation de solides I 14 Méthodes de représentation Résumé (suite) Mais depuis 20 ans, cest la méthode frontalière (« trimmed patch ») qui est devenue standard. Les «noyaux» pour tous les systèmes commerciaux de modélisation de solides (ACIS, Parasolid), STEP 42. Programmethèque DT-NURBS (Boeing, DARPA): «Legacy code » (NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline).

15 03/18/'09 Modélisation de solides I 15 Méthodes de représentation Résumé (suite et fin) Il y a dautres types de représentation, surtout en infographie (systèmes danimation), et en imagérie médicale: Surfaces de subdivision Ensembles de points Représentations volumétriques Les systèmes-L …

16 03/18/'09 Modélisation de solides I 16 Les systèmes-L (Pruskinkiewicz et al) Courbes «dragon» et «Sierpinski»

17 03/18/'09 Modélisation de solides I 17

18 03/18/'09 Modélisation de solides I 18

19 03/18/'09 Modélisation de solides I 19 Les systèmes-L (suite et fin)

20 03/18/'09 Modélisation de solides I 20 Note (terminology): Quand nous avons appelé la méthode CSG une méthode « procédurale », ça voulait dire que lusager ne spécifie quune procédure qui définit lobjet. En infographie, « modèle procédurale » implique le plus souvent que cest la procédure même qui définit lobjet, p.e. [Duranleau05]: Systèmes-L Génération de terrains par simulation dérosion Génération de murs de briques Méthodes cellulaires pour générer textures

21 03/18/'09 Modélisation de solides I 21 Résumé du restant de lIntroduction: 2: Motivation et historique Ce quon attend dun système de modélisation. Lévolution des systèmes depuis 40 ans 3: Systèmes de modélisation de solides rigides Fondations mathématiques et informatiques (topologie algébrique, structures de données, …) Choix de la classe dobjets à modéliser Taxonomie classique (méthodes de représentation) « Modélisation basée sur les feature » (« Feature-based modeling »)

22 03/18/'09 Modélisation de solides I 22 Motivation et historique Ce quon attend dun système de modélisation À noter: il y a toujours une boucle conception- analyse (« Design-analysis loop ») Cest-à-dire: Lentrée des objets Lanalyse des objets La modification des objets Dans le cas le plus simple, « analyse » pourrait ne vouloir dire que « évaluer subjectivement ce quon voit à lécran ». Mais il faut aussi penser que souvent en veut faire du « Downstream Analysis » CFD = Computational Fluid Dynamics Éléments finis (FEM = Finite Element Methods)

23 03/18/'09 Modélisation de solides I 23 Beaucoup de méthodes possibles pour fournir les informations de retour (« feedback »): par exemple, pour la Réalité Artificielle: Écran dans un casque quon porte, par exemple pour des applications en architecture. Un module physique qui simule un endroit physique, par exemple, dans le cas de simulation du vol. Parfois en conjonction avec le vrai monde: la télérobotique, la chirurgie, la réparation déquipements ou voitures, assemblage de machines: Augmented Reality [Woodwark93].

24 03/18/'09 Modélisation de solides I 24 Opérations typiques (contour, extrusion) Lexemple montre déjà un certain nombre dopérations que nous voulons avoir etc etc

25 03/18/'09 Modélisation de solides I 25 Opérations typiques (projection)

26 03/18/'09 Modélisation de solides I 26 Prototypage electronique Au niveau de la manufacture On pourrait vouloir priviliger des méthodes de création dobjets qui correspondent aux processus de manufacture (percer des trous, faire des extrusions, …) On pourrait vouloir des modèles plus générals, pour faire lanalyse des tolérances, par exemple. Analyse éléments-finis (p. e. « stress and strain analysis », i.e. la contrainte et la déformation. Analyse du fonctionnement dun mécanisme Analyse du processus de manufacture (accès, génération automatique des bandes pour machine- outil, i.e. les « cutter paths ».

27 03/18/'09 Modélisation de solides I 27 Et encore: Modifications locales, p. e. Biseautage (« chamfer »). Vérification des collisions (« Interference checking ») ? ? Courants de Foucault (induits par un champs magnétique qui entoure un object). Pour la simulation de capteurs. Calcul du centre de masse, poids, volume, …

28 03/18/'09 Modélisation de solides I 28 Et il y a dautres buts, dans la manufacture, qui peuvent favoriser dautres opérations sur les modèles mathématiques: Stéréolithographie (création de modèles physiques) Spécification point-par-point du matériel de composition (interne) dobjets.

29 03/18/'09 Modélisation de solides I 29 On pourrait vouloir faire la modification paramétrique des objets (cela crée des problèmes très difficiles pour garder des objets bien formés). On pourrait vouloir avoir la possibilité de défaire ce quon a fait (« Undo »). Et je nai même pas mentionné les opérations que les infographistes trouveraient fondamentales: le rendu, ajout de textures, animation, …

30 03/18/'09 Modélisation de solides I 30 Fiabilité et formalisation Avec tout cela, on attend aussi la fiabilité. Les objets peuvent devenir très compliqués. Pour sassurer que nos algorithmes considèrent toutes les combinaisons de faces dobjets (par exemple, dans une opération dintersection de deux objets), il faudra formaliser.

31 03/18/'09 Modélisation de solides I 31 Fiabilité et formalisation En effet, si les analyses mentionnées vont être semi-automatiques, ou automatiques, il va falloir formaliser, dans le but décrire des algorithmes fiables. Par exemple, un processus automatique de génération de bande pour machine-outil doit pouvoir vérifier que loutil ne va pas mettre des trous non-voulus dans lobjet, etc. Ceci serait encore plus vrai si le processus de design était lui-même semi-automatique. Par exemple: objets stéréolithographes. Vite et peu cher si pas derreur. Mais si une personne doit entrer dans le processus …

32 03/18/'09 Modélisation de solides I 32 Exemple frappant: GIDEP Alert (1988) Les systèmes de mesure tridimensionnelle (CMM = Coordinate Measuring Machines) dépendent dun modèle de lobjet pour décider si un objet physique donné est acceptable. Le U.S. DOD a constaté en 1988 que différentes machines donnaient des réponses différentes. « For several weeks the flow of mainly military hardware worth hundreds of millions (possibly billions) of dollars simply stopped, because work could not proceed until the goods could be dimensionally qualified. Ad hoc agreements between DOD authorities and standards organizations got the flow restarted, but the underlying problem(s) remain. [Voelker90] »

33 03/18/'09 Modélisation de solides I 33 Le problème de robustesse De façon semblable, le problème de « broken models » coute à des compagnies comme Boeing des dizaines de milliers de dollars par année. Les problèmes viennent suite à des opérations sur les objets, et suite au transfert entre systèmes différents. Les « gaps and overlaps », dûs à lutilisation de courbes de bas dégré, et à lutilisation de larithmétique de précision finie. Les algorithmes de maillage (pour éléments finis) sont très fiables, à condition que le modèle de base soit correct [Farouki99].

34 03/20/'09 Modélisation de solides II 34 Fondations mathématiques et informatiques [Requicha77] Quest-ce quun objet? Exemple. Un dessin fil-de-fer ne définit pas un objet sans ambiguité: Où est le trou? Ya-t-il un? Modélisation de solides rigides

35 03/20/'09 Modélisation de solides II 35 Exemple [Mäntylä88, p. 111] Des faces, reliées topologiquement comme il faut, peuvent ne pas définir la frontière dun objet en. cf Modèles de surface incomplets p.e. la carrosserie, …

36 03/20/'09 Modélisation de solides II 36 Jusquen , peu dattention portée à la définition dun objet. [Requicha77]: Si nous voulons des systèmes autonomes, ou semi- autonomes, il va falloir soccuper de ses questions. Nous ne pourrons plus compter sur lintervention des humaines pour rêgler les manques de cohérence interne.

37 03/20/'09 Modélisation de solides II 37 Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Une variété 3D avec frontière. Par exemple: Une boule Un beigne (un tore) Une tasse avec poignées Un lapin avec un trou qui passe par sa tête, comme on voit parfois au LIGUM Une théière (comme on voit aussi souvent en infographie)

38 03/20/'09 Modélisation de solides II 38 Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Voici le cas le plus général:

39 03/20/'09 Modélisation de solides II 39 Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) En infographie, quand on parle dun objet « de topologie générale », on fait référence souvent à cette classe-là. Mais, en fait, nous verrons que cette classe nest pas assez grande pour assurer la fermeture par rapport aux opérations voulues. Donc, en modélisation de solides, une classe plus générale, et plus souvent utilisée, est celle des ensembles-r (« r-sets ») [Requicha77].

40 03/20/'09 Modélisation de solides II 40 " Une fonction bijective est injective (1:1), et surjective (« onto »). Un homéomorphisme est bijective et continu. Une variété 2D sans frontière ne contient que des points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à un disque 2D, comme les points sur la frontière de cet objet: Une variété 2D avec frontière peut avoir des points avec voisinage homéomorphe à un demi-disque 2D (par exemple, une « patch »).

41 03/20/'09 Modélisation de solides II 41 Les définitions pour une variété 3D sont analogues: Une variété 3D sans frontière ne contient que des points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à une boule 3D. Une variété 3D avec frontière (par exemple, lobjet déjà montré) peut avoir des points homéomorphes à une demi-boule 3D. Un objet manifold est donc une variété 3D avec frontière, et sa frontière est une variété 2D sans frontière.

42 03/20/'09 Modélisation de solides II 42 Les ensembles-r (r-sets) La classe de variétés (ensembles manifold) nest pas fermée par rapport à la réunion de deux objets, par exemple: (un objet) On doit donc définir une class plus générale.

43 03/20/'09 Modélisation de solides II 43 Mais quel niveau de généralité? Nous ne voulons pas permettre, par exemple, un objet dont la frontière est définie par : Nous prenons donc les ensembles semi- analytiques, ou les ensembles semi- algébriques. Cela assure une triangularisation finie [Lojasiewicz64].

44 03/20/'09 Modélisation de solides II 44 Même dans le cas de faces linéaires, ça peut devenir très compliqué: Mettez vous au point inidiqué par la flèche, et imaginez que vous écriviez un algorithme pour, disons, réunir deux parties de lobjet. Si vous regardez autour de vous, les choses sont compliquées!

45 03/20/'09 Modélisation de solides II 45 La frontière de lobjet à droite nest pas une variété: il y a beaucoup de points non- manifolds. Les variétés sont moins générales.

46 03/20/'09 Modélisation de solides II 46 Objet réguliers (fermés) Définition: Nous pouvons vouloir que nos objets aient de lépaisseur. Ainsi, les ensembles suivants seraient exclus:

47 03/20/'09 Modélisation de solides II 47 Objet réguliers (ouverts) Définition: Les objets sont maintenant ouverts (ne contiennent pas leur frontière). Un objet ouvert qui nest pas régulier:

48 03/20/'09 Modélisation de solides II 48 Notons quun objet non-régulier peut être créé par une opération booléenne: Intersection: Complément:

49 03/20/'09 Modélisation de solides II 49 Il faut vous servir des idées de Variétés vs Non-variétés (manifold vs non-manifold) Ensembles semi-analytiques/semi-algébriques Ensembles réguliers (fermés) pour définir des classes dobjets utiles et appropriées dans le contexte de modélisation de solides.

50 03/20/'09 Modélisation de solides II 50 Trimmed NURBS La représentation standard Problèmes de robustesse Surfaces de subdivision?

51 03/20/'09 Modélisation de Solides III 51 Jai mentionné quand je parlais de surfaces B-splines et NURBS, quil y a des difficultés associées à lutilisation des « trimmed- NURBS patches ». En particulier, si nous voulons créer des objets avec la forme dun tore, «non- manifold » etc, il faut coudre des patch ensemble. Cela mène à des difficultés sévères: modèles pas bien formés, etc. (« Robustesse ») Surfaces de subdivision: Introduction informelle

52 03/20/'09 Modélisation de Solides III 52 Lidée générale des SdeS se voit dans lexemple suivant (Ulrich Reif): On commence avec un maillage approximatif, on subdivise, et on fait un lissage pour avoir une surface lisse:

53 03/20/'09 Modélisation de Solides III 53 Lidée générale (suite) Si on avait la possibilité de contrôler la forme de telles surfaces, de les coller ensemble, ça serait bien. En fait, cest possible. Il y a une théorie mathématique assez vaste en dessous: « An Introduction to the Mathematics of Subdivision Surfaces » L.-E. Andersson + N. F. Stewart Je noterai ce document par [A-S 08].

54 03/20/'09 Modélisation de Solides III 54 Exemple simple pour les courbes: la méthode de Chaikin

55 03/20/'09 Modélisation de Solides III 55 Méthode de Chaikin (suite)

56 03/20/'09 Modélisation de Solides III 56 Méthode de Chaikin (suite)

57 03/20/'09 Modélisation de Solides III 57 Doù vient ces rêgles? Ce processus converge-t-il vraiment? Si oui, est-ce que ça converge vers une surface continue? Une surface avec une continuité élévée, par exemple Est-ce quil y a dautres rêgles qui auraient fonctionné? Comment les trouver? Ya-t-il un sens aux « faces » du maillage de contrôle? (Ce ne sont pas des triangles! Faces courbes, auto-intersectantes, tordues …?) Possible de paramétriser les faces?

58 03/20/'09 Modélisation de Solides III 58 Voici un autre exemple, qui vient en partie des notes SIGGRAPH 2000: Subdivision for Modeling and Animation, D. Zorin et P. Schröder.

59 03/20/'09 Modélisation de Solides III 59 B-spline dordre m classique … et la méthode de subdivision qui va avec Vue densemble des méthodes de subdivision de surface

60 03/20/'09 Modélisation de Solides III 60 Vue densemble (suite) Une classification des méthodes:


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