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2. Optimisation sans contrainte Fonctions à une seule variable.

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1 2. Optimisation sans contrainte Fonctions à une seule variable

2 2.1. Méthodes nutililisant que les valeurs des fonctions Méthode de Fibonacci Hypothèse: La fonction f est définie sur lintervalle [a, b] et est unimodal; i.e., f ne possède quun seul minimum local dans [a, b]

3 Lapproche consiste – à choisir un certain nombre de points selon une stratégie basée sur les nombres de Fibonacci – à évaluer séquentiellement la valeur de la fonction à ces points – avec lobjectif de réduire la longuer de lintervalle contenant le minimum local en se basant sur la propriété dunimodalité de la fonction

4 Étant données les valeurs de la fonction en deux points de lintervalle, lunimodalité permet didentifier une partie de lintervalle où le minimum ne peut se retrouver aaabbbx1x1 x1x1 x1x1 x2x2 x2x2 x2x2

5 abx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 Choisir deux points x 1 et x 2 symétrique et à la même distance de chaque extrémité de lintervalle [a, b] Choisir le prochain point symétriquement par rapport au point déjà dans lintervalle résultant.

6 abx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 Choisir le prochain point symétriquement par rapport au point déjà dans lintervalle résultant.

7 Stratégie optimale de sélection des points dévaluation Notation: d 1 = b – a, la longueur de lintervalle initial d k = longueur de lintervalle après avoir utilisé k points dévaluation {F k } la suite des nombres de Fibonacci définie comme suit: F 0 = F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2 n = 2, 3, …. {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}

8 Stratégie optimale de sélection des points dévaluation Supposons que nous décidons au départ dutiliser N points dévaluation. Procédure se résume comme suit: i.Les deux premiers points sont choisis symétriques à une distance de chacune des extrémités de lintervalle [a, b]. Une partie de lintervalle est éliminée en se basant sur lunimodalité de la fonction. Il en résulte un intervalle de longueur. ii.Le troisième point est choisi symétriquement par rapport au point déjà dans lintervalle résultant. Ceci engendre un intervalle de longueur

9 Stratégie optimale de sélection des points dévaluation i.Les deux premiers points sont choisis symétrique à une distance de chacune des extrémités de lintervalle [a, b]. Une partie de lintervalle est éliminée en se basant sur lunimodalité de la fonction. Il en résulte un intervalle de longueur. ii.Le troisième point est choisi symétriquement par rapport au point déjà dans lintervalle résultant. Ceci engendre un intervalle de longueur iii.En général le point suivant est choisi symétriquement par rapport au point déjà dans lintervalle résultant.

10 Note: Selon iii., le dernier point N devrait être placé au centre de lintervalle superposé à celui sy trouvant déjà. En effet, puisquen utilisant cette stratégie de sélection des points dévaluation, nous avons que

11 Note: Selon iii., le dernier point N devrait être placé au centre de lintervalle superposé à celui sy trouvant déjà. En effet, puisquen utilisant cette stratégie de sélection des points dévaluation, nous avons que

12 En utilisant cette stratégie de sélection des points dévaluation, et il est possible de démontrer que est le plus petit intervalle quil est possible dobtenir en utilisant N points dévaluations

13 En utilisant cette stratégie de sélection des points dévaluation, Ainsi, lorsque le nombre de points dévaluation N devient très grand pour tendre vers linfini, la suite des valeurs plus rapidement quen utilisant toute autre stratégie.

14 01 N = 5 {1, 1, 2, 3, 5, 8}

15 01 N = 5 {1, 1, 2, 3, 5, 8}

16 01 N = 5 {1, 1, 2, 3, 5, 8}

17 01 N = 5 {1, 1, 2, 3, 5, 8}

18 Méthode de la section dorée ( nombre dor τ = 1.618…) La méthode de la section dorée utilise la même stratégie que la méthode de Fibonacci pour selectionner les points dévaluation, mais le nombre de points dévaluation nest pas spécifié au départ. Pour spécifier les deux premiers points, nous procédons comme dans la méthode de Fibonacci en les prenant symétriques à une distance de chaque extrémité en considérant que N.

19 La méthode de la section dorée utilise la même stratégie que la méthode de Fibonacci pour selectionner les points dévaluation, mais le nombre de points dévaluation nest pas spécifié au départ. Pour spécifier les deux premiers points, nous procédons comme dans la méthode de Fibonacci en les prenant symétrique à une distance de chaque extrémité en considérant que N.

20 Méthode de bisection (ou de bipartition) Méthode pour identifier le 0 dune fonction g(x) sur un intervalle [a, b]. Si, alors la méthode de bisection peut être utilisée pour identifier un point où la dérivée dune fonction sannule. Hypothèse: Sur lintervalle [a, b], la fonction g est continue et telle que g(a) g(b) < 0 (i.e.,

21 Principe de la méthode: à chaque itération, réduire la longueur de lintervalle contenant en la divisant en deux.

22 Puisque par hypothèse g est continue sur [a, b] et g(a) g(b) < 0, – g change de signe entre a et b – g sannule en un point entre a et b – la méthode génère une suite dintervalles de longueur décroissante jouissant de la même propriété La suite des valeurs des longueurs des intervalles est la suivante:

23 abc g

24 ab g c

25 ab g c

26 ab g

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28 La suite des valeurs des longueurs dintervalle est la suivante:

29 Hypothèse g(a) g(b)<0 est essentielle abc

30 abc

31 abc

32 ab Uniquement lintervalle initial contient la racine

33 Méthode de Newton Rappel: Formule de Taylor dordre n 2.2 Méthode utilisant les dérivées

34 Méthode de Newton Hypothèses:

35 f qkqk xkxk

36 f qkqk xkxk x k+1

37 Convergence de la méthode de Newton

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45 Note: Méthode également utilisée pour déterminer un point où la fonction sannule. Il suffit de considérer la fonction

46 g

47 Importance de lhypothèse que x 0 soit suffisemment près de x*

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53 Méthode de la fausse position Hypothèses:

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56 Convergence de la méthode de la fausse position

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59 Importance de lhypothèse que x 0 et x 1 soit suffisemment près de x*


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