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Prétraitements locaux - 1 PRETRAITEMENTS 2ème PARTIE 1. OPERATEURS LOCAUX Signal dimage Opérations élémentaires - filtres RIF 2. RENFORCEMENT DU CONTRASTE.

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1 Prétraitements locaux - 1 PRETRAITEMENTS 2ème PARTIE 1. OPERATEURS LOCAUX Signal dimage Opérations élémentaires - filtres RIF 2. RENFORCEMENT DU CONTRASTE Laplacien discret - paramétrage LoG / DoG - efficacité algorithmique 3. LISSAGE DES BRUITS Opérateurs de base Critères de comparaison Opérateurs adaptatifs, filtres récursifs Evaluation des performances 4. ALGORITHMIQUE AVANCEE Filtre polynomial : PAoG FIN DE PRESENTATION PRETRAITEMENTS LOCAUX

2 Prétraitements locaux - 2 PROPRIETES DU SIGNAL DIMAGE OPERATEURS LOCAUX 0 L C Pixel G(l,c) + bruit Signal non causal : causalité G(l,c) dépend de { G(l-m,c-k) } m > 0 et k > 0 ( exemple signal fonction du temps ) dans limage G(l,c) dépend tout autant de lensemble de ses voisins ( exemple : flou ) signal non causal NB : le transfert des charges et la sérialisation du signal vidéo introduit une part causale indirecte … Signal bruité : sources de bruit diverses modèle physique complexe ( CCD seul, théoriquement vb=k.signal ) modèle simple 3 termes : bruit électronique-thermique bruit additif, indépendant du signal bruit de « speckel » bruit dépendant du signal, multiplicatif, en image radar et en faibles niveaux de lumière parasites EM, codage bruit impulsionnel, spatialement aléatoire : P% des pixels ont une valeur modifiée g ( si 255 et butées [0,255] : « salt & pepper noise » )

3 Prétraitements locaux - 3 OPERATEURS LOCAUX ( 2 ) Détermination des paramètres de bruit : G = Go. Bmult ( = 1, Etd) + Badd ( = 0, 2 = vb) + ( g ). Bimp ( P% ) Bruit multiplicatif moyenne = 1 uniforme sur étendue [1-Etd/2,1+Etd/2] Bruit additif gaussien Bruit impulsionnel Bimp { 0,1}, probabilité de 1:P% Z0Z1 Z2 Z3 Dans Zi i =0…3, moyennes différentes, variances égales terme multiplicatif négligeable terme additif de variance moyenne vb 12 bruit impulsionnel non quantifiable … Analyse du profil dune ligne ( section de limage )

4 Prétraitements locaux - 4 ANALYSE LOCALE DE lIMAGE : CONTRASTE LOCAL ET BRUIT OPERATEURS LOCAUX ( 3 ) Ligne 30 : section densemble et coupe du chromosome Mise en évidence du bruit ( vb = 12 ) Mise en évidence du contraste local ( colonnes 30 à 70 ) Eléments de comparaison des opérateurs - bruit : fluctuations - contraste local : pente et amplitude de transition

5 Prétraitements locaux - 5 OPERATIONS ELEMENTAIRES : SIGNAL DISCRET 1D OPERATEURS LOCAUX ( 4 ) Intégration méthode du trapèze h( g(i) ) :G I g(i) Dérivation ordre 1 d( g(i) ) : Dérivation ordre 2 d2( g(i) ) : 1 x g(i-1) + 2 x g(i) + 1 x g(i+1) NB : peut aussi être interprété comme

6 Prétraitements locaux - 6 SIGNAL 2D : FILTRES LINEAIRES RIF OPERATEURS LOCAUX ( 5 ) Intégration ou lissage 2D, voisinage centré 3x3 : Dérivation 2ème ordre laplacien, voisinage centré 3x3 : Dérivation 1er ordre 2 composantes du vecteur gradient, voisinage centré 3x3 :

7 Prétraitements locaux - 7 NORMALISATION DES COEFFICIENTS OPERATEURS LOCAUX ( 6 ) Lissage : Dérivation 1er ordre utilisation en détecteur : Dérivation 1er ordre : La réponse à un signal constant go doit être go somme des coefficients normalisés = 1 En 1D la réponse à un signal g(i) = a.i doit être a En 2D même considération pour chacune des composantes dl et dc : exemple de dl ce qui est verifié pour le lisseur 3x3 : Cn = 16 Dans ce cas la réponse à un échelon damplitude a doit être a : exemple de dl

8 Prétraitements locaux - 8 PROPRIETES DES FILTRES LINEAIRES OPERATEURS LOCAUX ( 7 ) Autre interprétation des opérateurs locaux : filtres à réponse impulsionnelle finie ( RIF ) Application du filtre à limage : convolution 2D s = H g Filtres séparables : réduction des calculs Si H(n,m) peut se mettre sous forme produit : H = hl(n).hc(m) filtre séparable exemple : le filtre lisseur, par construction 2 convolutions 1D en cascade : s = ( hl g ) hc = g ( hl hc ) nbre produits cumulés : N 2 en 2D 2.N en séparable

9 Prétraitements locaux - 9 OPERATEURS LOCAUX ( 8 ) Dualité opérateur local réponse impulsionnelle du filtre Formellement les 2 présentations sont équivalentes, à un détail près : - jeu de coefficients ou masque opérateur ordonné selon l,c croissants - réponse impulsionnelle est son symétrique / pixel central ( indices < 0 dans lexpression ) symétrie ou rotation de 180° de la matrice des coefficients Coefficients et variance du bruit non corrélé entre pixels voisins, après filtrage Variance du bruit en sortie de filtre : ( somme simple en 1D ) exemples : Minimum à taille donnée si coefficients égaux filtre moyenneur

10 Prétraitements locaux - 10 OPERATEURS LOCAUX ( 9 ) Amélioration du comportement vis-à-vis du bruit - Laplacien modifié : combinaison de 2 laplaciens selon des axes à 45° : - Opérateur dérivée 1ère : combinaison lissage puis dérivation ( ou inverse, commutatif ) Gain très limité ! forme approchée centrée norme du gradient : d x ( g H )= g d x (H) propriété des filtres linéaires - Cascade dopérateurs augmentation de la taille de lopérateur

11 Prétraitements locaux - 11 EFFET DE BORD OPERATEURS LOCAUX ( 10 ) Opérateur convolution 2D : mode de traitement C L Image source Image destination Cumul des produits terme à terme 2.N+1 x 2.M+1 coefficients Bordure dimage 2xN lignes et 2xM colonnes non traitées mises à 0 ou recopiées … C L 2 convolutions 1D en cascade : Traitement colonne Traitement ligne

12 Prétraitements locaux - 12 PRINCIPE DU TRAITEMENT RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL Principe en 1D continu : Signal d2 : dérivée seconde Signal – k.d2 Transition La différence des niveaux haut et bas de la transition est augmentée localement renforcement du contraste visuel Mise en œuvre en 2D discret : s = g – k. ( g ) = C(k) g k = paramètre de réglage de laugmentation du contraste Problème : le laplacien est sensible au bruit [ voir signal 2D – coefficients & bruit ] Noter que du fait des dépassements s doit être bornée s = min( max( C(k) g,1 ), 255 )

13 Prétraitements locaux - 13 REGLAGE DE « K » RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 2 ) Image dorigine et ajustement adaptatif de dynamique : renforcement du contraste global sans conservation des relations dordre k = 1k = 3 Renforcement du contraste local s = g – k. ( g ) = C(k) g g k = 1 k = 3 Noter lamplification du bruit Section

14 Prétraitements locaux convolutions 1D Gx Gy Gy Gx + Op( g ) FILTRES GAUSSIENS RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 3 ) Pour éviter lamplification du bruit : lissage préalable par filtre dont RII est gaussienne Calcul des coefficients du filtre RII 2D LoG : Filtre gaussien séparable ( Huertas-Medioni ) : 1 convolution 2D Gxy Op( g )

15 Prétraitements locaux - 15 RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 4 ) Différence de gaussiennes ( Marr – Hildreth ) DoG : 4 convolutions 1D G1x G1y G2x G2y - Op( g ) Comparaison des charges de calcul tailles des filtres Gx Gx et Gx Pour e petit / identique à LoG Voir calculs :

16 Prétraitements locaux - 16 EFFICACITE ALGORITHMIQUE : TAILLES DES FILTRES RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 5 ) Gx Gx et Gx : filtres RII troncature des coefficients Critère : 1er coefficient négligé < 1% du coefficient maximum ( en valeur absolue ) Gx 3 Gx 3.6 Gx 3.8 Validité du critère : % de somme des coefficients négligés / somme des coefficients même signe Gx 0.25 % Gx 0.17 % Gx 0.48 % Comparaison des filtres : nombre de produits cumulés coef.pixel Convolution 2D : 7.6 x 7.6 ( similaire à G ) 58 2 Huertas Medioni : 2 x 6 ( G ) + 2 x 7.6 ( G ) 27 Marr Hildreth : 4 x 6 = 24 Autrement : DoG différence de 2 lissages et si opérateur = Image lissée – Image ? s = g – k.( g Gxy - g ) = g – k. g ( Gxy –1 ) Gxy séparable terme de comparaison 2 x 6 = 12 ( mais peut être DoG ) Puis s = g – k.Op( g ) s = g.( 1 + k ) – k.(( g Gx) Gy ) Voir propriétés :

17 Prétraitements locaux - 17 Charges de calcul similaires de 25 et 22 */+ résultats visuels similaires ( sections ) EXEMPLE : LOG ET G – 1 RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 6 ) Zone de test de vb Section LoG 5x5 ( =.58 ) K = 0.6 G-1 2x11 ( = 1.4 ) K = 1.2 g LoG G - 1 Sections Comportement vis-à-vis du bruit valeur de vb Image initiale vb = 12 Opérateur LoG vb = 55 Opérateur G-1 vb = 44

18 Prétraitements locaux - 18 FILTRES GAUSSIENS ET MOYENNEURS RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 7 ) Comportement vis à vis du bruit blanc additif : coeff 2 moyenneur 5x5 : 0.04 gaussien 1D = 1.4 taille 11 : D 11x11 : 0.04 moyenneur 3x3 : 0.11 gaussien 1D =.85 taille 7 : D 7x7 : 0.11 Performances identiques, mais charges de calcul différentes … Comportement fréquentiel ( fréquences spatiales ) : modules des TFD 2D moyenneur 5x5 : sin(k. )/(k. ) gaussien 11x11 : exp( ) Comportements similaires en BF, réponse irrégulière du moyenneur en HF

19 Prétraitements locaux - 19 LISSAGE DES BRUITS OPERATEURS DE BASE Lissage du bruit : opérateur local traitant un échantillon dimage prélevé dans une fenêtre N x M réglages taille de léchantillon, type destimateur du pixel central Filtres RIF ou RII tronquée : statistiques paramétriques Filtres dordreTemps de calcul !

20 Prétraitements locaux - 20 LISSAGE DES BRUITS ( 2 ) CRITERES DE COMPARAISON Image de testMoyenne 3x3 Médiane 3x3 Moyenne flou, mais optimale si bruit blanc additif Médiane conserve les transitions élimine les détails fins, mais optimale si bruit impulsionnel Critères de qualité Section des images Moyenne Médiane - conservation des transitions : |écarts| entre profil initial et profil lissé - réduction de la variance de bruit sur gris uniforme : variance après lissage / variance bruit tests avec bruit additif gaussien et bruit impulsionnel

21 Prétraitements locaux - 21 LISSAGE DES BRUITS ( 3 ) OPERATEURS ADAPTATIFS : EXEMPLES Inconvénient du filtre moyenneur : dégradation des transitions Remède : inhiber le moyennage au voisinage des transitions Critère de proximité : variance locale vb ( estimation du bruit ) Effet dune transition g 2 = g 2 / 4 g moy Opérateur moyenne adaptative : de K = 0 : moyennage à K = 1 : conservation du pixel initial Autre forme : moyennage des valeurs proches de pc sélection spatiale

22 Prétraitements locaux - 22 LISSAGE DES BRUITS ( 4 ) FILTRE EXPONENTIEL Réponse impulsionnelle : Propriétés similaires au filtre gaussien : Taille des filtres 1D : En négligeant les coefficients < 1% du maximum étendue du filtre A même lissage du bruit blanc additif, donc Sc2 = coeff 2 identique : Sc2 = 0.33 moyenne 3 gaussien = 0.85 taille 7 exponentiel = 1.16 taille 9 Sc2 = 0.20 moyenne 5 gaussien = 1.4 taille 11 exponentiel = 0.74 taille 13 Utiliser une autre forme du filtre exponentiel ! 1/ β β / 2

23 Prétraitements locaux - 23 LISSAGE DES BRUITS ( 5 ) Filtre 1D RII, forme discrete sans troncature : Réduction du bruit blanc additif par le filtre exponentiel : NB : en 2D, 2 lissages successifs ligne-colonne considérer Filtre_Expo.mws

24 Prétraitements locaux - 24 LISSAGE DES BRUITS ( 6 ) FORME RECURSIVE La réponse impulsionnelle discrète du filtre exponentiel peut se mettre sous forme récursive : Voir calculs : 2 balayages en // de sens opposés causal et anticausal : forme récursive parallèle x sa sc s + i i 3 * et 3 + par pixel Ou sous forme récursive cascade : 2 balayages en série de sens opposés 3 * et 2 + par pixel xsc i i s

25 Prétraitements locaux - 25 LISSAGE DES BRUITS ( 7 ) Effet de bord identique à la forme RII tronquée initialisation des filtres = 1.15 taille 9, effet de bord sur 4 pixels réponse à un signal x(0) = 2, x(i) =1 pour i 0 sans initialisation : en bordures transition 0 1 avec initialisation : suppression de leffet de bord Algorithme avec initialisation Lissage dimage 2D : Filtre séparable, ordre indifférent, commutatif : E(y)E(x) Lissage colonne Lissage ligne Résultat lissage 2D

26 Prétraitements locaux - 26 … et même méthode pour le lissage colonne C(i) : LISSAGE DES BRUITS ( 8 ) But : éviter 2 initialisations par ligne et par colonne Balayage alterné des lignes et colonnes passage de ligne / colonne sur même voisinage donc sans discontinuité majeure du signal Chaque ligne / colonne est parcourue dans les 2 sens mais en ordre inverse (commutatif) Exemple du balayage ligne L(i) : Phase 1 : causalPhase 2 : anticausal Initialisation par 1er pixel image Initialisation par dernier pixel lissé fin OPTIMISATION ALGORITHMIQUE

27 Prétraitements locaux - 27 LISSAGE DES BRUITS ( 9 ) Phase 1 : causalPhase 2 : anticausal Initialisation par 1er pixel image Initialisation par dernier pixel lissé … et reste le coefficient multiplicateur (1-b) 2 en ligne et en colonne, soit (1-b) 4 Bilan des nombres dopérations en 2D :lissage ligne 2 * et 2 + lissage colonne 2 * et 2 + soit 5 * et 4 + par pixel coefficient final 1 *

28 Prétraitements locaux - 28 LISSAGE DES BRUITS ( 10 ) OPERATEUR A SELECTION DE VOISINAGE Opérateur dorigine : Nagao ( 79 ! ) Subdivision dune fenêtre 5 x 5 en 9 secteurs angulaires, calcul de moyenne et variance de chaque secteur : pc = moy(k), k tel que var(k) = min( var(i) ) i = 0 … 8 Secteur i orientation i. /4 i = 0 …7 ( secteur 8 central ) Propriétés, exemple en 1D : - préservation des transitions -élimination des pixels « hors norme » ( bruit impulsionnel ) Géométrie des secteurs complexe régularisation des secteurs pc S0 S1 var( S0 ) < var( S1 ) pc = moy( S0 ) S0 S1 pc

29 Prétraitements locaux - 29 LISSAGE DES BRUITS ( 11 ) Nagao optimisé : 9 secteurs identiques 3 x 3 dans une fenêtre 5 x 5 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 NB : - médiane ou moyenne tronquée au lieu de moyenne robustesse au bruit impulsionnel - transition raide non bruitée (hypothèse théorique) effet de dentelle sur la zone de contraste Intérêt : au cours du déplacement de lopérateur en ligne : S0 S8 S4 Les calculs pour un secteur 3 x 3 sont utilisés en 9 positions différentes charge de calcul S0 S8 S4 Même colonne image

30 Prétraitements locaux - 30 LISSAGE DES BRUITS ( 12 ) EVALUATION DES PERFORMANCES : TRANSITIONS Image de test 100 x 61 : transition faible bruit gaussien additif vb = 1 Profil lissé moyen sur 100 lignes Opérateurs : médiane 5x5 : med5 2 moy.pondérée 5x5 vb = 16 : mop nagao 5x5 : nag 7 moyenne tronquée 5x5 t = 3 : mtr gaussien 11x11 ( = 1.4) : gau moyenne 5x5 : moy5 74 exponentiel récursif ( = 0.74) : exp moy5 med5 exp-.74 nag médiane et moyenne pondérée respectent intégralement le profil gaussien, moyenne et exponentiel créent un flou nagao renforce le contraste ( cause du critère = 7, voir profils )

31 Prétraitements locaux - 31 LISSAGE DES BRUITS ( 13 ) EVALUATION DES PERFORMANCE : BRUIT Image de test I0 : 300 x 300 I1 : I0 + bruit additif gaussien = 4 vb 16 I2 : I1 + bruit impulsionnel p = 3% 20 ( 5. ) vb 29 I3 : I1 + bruit impulsionnel p = 6% 28 ( 7. ) vb 63 Critère sur image I k : C = var(I k lissée) / var(I k ) I1I2I3 moy med mop mtr gau exp nag Classe 1 : C 0.04 valeur théorique ( moy5, gau-1.4, exp-.74 ) Classe 2 : C avec bruit impulsionnel C 0.04 ( mop5-16 ) Classe 3 : C avec bruit impulsionnel ( med5, mtr5-3, nag ) NB : nagao sélectionne une moyenne 3x3 parmi 9 valeur de C plus élevée

32 Prétraitements locaux - 32 LISSAGE DES BRUITS ( 14 ) EXEMPLE : REPRESENTATION 3D Moyenne 5x5 Médiane 5x5Nagao

33 Prétraitements locaux - 33 LISSAGE DES BRUITS ( 15 ) EXEMPLE : IMAGE REELLE Moyenne 5x5 Médiane 5x5Nagao

34 Prétraitements locaux - 34 ALGORITHMIQUE AVANCEE FILTRE POLYNOMIAL : PAoG Le filtre gaussien est largement utilisé mais : sa réponse impulsionnelle tronquée ( RII RIF ) est étendue, il na pas de forme récursive, plus efficace. approximation par une forme plus simple « Polynomial Approximation of Gaussian » Filtre PAoG : réponse impulsionnelle finie 1D En fait ceil( 3.σ )

35 Prétraitements locaux - 35 ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 2 ) Précision de lapproximation : Eq < 1 % Em < 3 % pour w 2 w = 5 σ = 2.1 Réponses impulsionnelles ( erreur max pour faibles valeurs ) Précision pour w : [ 1 … 13 ] soit σ : [ 0.8 … 4.7 ]

36 Prétraitements locaux - 36 ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 3 ) Efficacité du lissage vis-à-vis du bruit : Evaluation par la somme quadratique des coefficients de la RIF : v/vb = Σ coeff 2 pour filtre gaussien, PAoG, et par comparaison pour moyenne de largeur ( 2.w+1 ) w : [ 1 …13 ] σ : [ 0.8 … 4.7 ] Efficacité PAoG / gaussien : 94 à 98 % PaoG est une bonne approximation dun filtre gaussien, RIF moins étendue ( w < 3.σ ) de plus PAoG possède une forme récursive, strictement causale : 1 seul sens de balayage !

37 Prétraitements locaux - 37 ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 4 ) PAoG RECURSIF CAUSAL Transformée en z Domaine temporel

38 Prétraitements locaux - 38 ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 5 ) - les pixels doivent arriver dans lordre pour tous les échantillons ( commencer à io = –w pour nx(i) ) t1(io) = t2(io) = t3(io) = t4(io) = 0 t5(io) = t5(io-1) = x 0 / 2.Cp - tous calculs en entiers car poles sur le cercle unité zones dinitialisation et de fin imposées, contraintes : 4 * et 11 + par pixel x y i Balayage causal unique : nombre dopérations Conditions initiales et finales : gestion de leffet de bord à comparer à 6.σ + 1 produits cumulés pour gaussien RIF : Dès que w =2 le nbre total dopérations est plus réduit, et du même ordre pour w = 1 x xoxn w-(2.w+4)

39 Prétraitements locaux - 39 ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 6 ) PAoG : DERIVEES DORDRE 1 ET 2 Les opérations T k (z).(1-z -1 ) = T k-1 (z) sont en fait des intégrations les dérivées dordre 1 et 2 sont donc directement disponibles en t4 et t3

40 Prétraitements locaux - 40 RETOUR AU PLAN FIN DE PRESENTATION

41 Prétraitements locaux - 41 DEVELOPPEMENT AU 1ER ORDRE EN « » FILTRE DOG

42 Prétraitements locaux - 42 PROPRIETES Modification des réponses impulsionnelles en fonction de : Conséquence : relation entre et échantillonnage G(x) = filtre dit « déchelle » 0 2k …k CG(ki) x(ki) CG k (i) x(i) 1 2 …0 x(ki) est de taille k fois x(i) par insertion de k zéros entre les échantillons La réponse à un filtre de paramètre k. sur un signal à léchelle « k » est, à un facteur k près, celle du du filtre de paramètre sur le signal à léchelle 1

43 Prétraitements locaux - 43 PROPRIETES ( 2 ) Exemples : deux valeurs de 0.5 et 1.5 ( k = 3 ) Réponses pour un créneau de 9 pixels = 0.5 = 1.5 Dilatation déchelleContraction déchelle référence = 0.5 référence = 1.5 Créneau dilaté par insertion dun 0 de part et dautre de chaque échantillon, lissage = 1.5, puis ré-échantillonnage 1 pixel sur 3 idem. Créneau sous-échantillonné 1 pixel sur 3, lissage = 0.5, puis remise à léchelle dorigine par réplication de chaque pixel à gauche et à droite idem à la discrétisation près.

44 Prétraitements locaux - 44 FORME RECURSIVE Décomposition du filtre 1D discret : Forme récursive parallèle du filtre exponentiel : 2 balayages en // de sens opposés causal - anticausal Exclusion de i = 0

45 Prétraitements locaux - 45 FORME RECURSIVE ( 2 ) Forme récursive cascade : Même dénominateur Conditions initiales pour limiter leffet de bord : 2 balayages successifs en sens inverses Etat permanent atteint en bordure dimage


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