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Habilitation à diriger les recherches I.Milieux granulaires denses, gaz granulaires: gaz granulaires: des systèmes modèles hors de léquilibre des systèmes.

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1 Habilitation à diriger les recherches I.Milieux granulaires denses, gaz granulaires: gaz granulaires: des systèmes modèles hors de léquilibre des systèmes modèles hors de léquilibre II.Eléments détude des réseaux complexes A. Barrat, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay 16 mai 2005

2 Brève description des travaux sur les matériaux granulaires Réseaux complexes Réseaux complexes: introduction Cartographie des réseaux Réseaux complexes valués Quelques perspectives Plan

3 Matériaux granulaires hors déquilibre, à température nulle toute dynamique=réponse à une injection dénergie –« gaz » : granulaires fortement vibrés, forte injection dénergie –plus dense, « liquide » –très dense, en compaction : faible injection dénergie –« solide »...de lingénierie à des questions fondamentales de physique statistique hors déquilibre

4 Matériaux granulaires: granulaires denses Collaboration avec V. Colizza, G. DAnna, J. Kurchan, V. Loreto, P. Mayor, F. Nori, M. Sellitto 1- Phénoménologie de la compaction des granulaires faiblement vibrés: étude numérique détaillée dun modèle sur réseau étude des relaxations lentes importance des hétérogénéités: utilisation des profils de densité pour linterprétation des résultats numériques (ex: réponse à un changement du forçage) effets mémoire lors dun changement du forçage

5 Matériaux granulaires: granulaires denses 2- Application de concepts thermodynamiques ? Proposition de S. Edwards: description statistique des configurations échantillonnées dynamiquement à temps longs lors de la compaction exact dans certains modèles champ moyen Investigation numérique sur plusieurs modèles schématiques en dimension finie, présentant la phénoménologie de la compaction granulaire situations homogènes cas plus réaliste, avec profil de densité bonne approximation pour un certain nombre de modèles

6 Gaz granulaires Collaboration avec T. Biben, J.N. Fuchs, E. Trizac, Z. Racz, F. van Wijland Motivation: système modèle exhibant des états stationnaires hors déquilibre, avec possibilité détudes expérimentales, numériques, analytiques Cadre théorique: sphères dures inélastiques v1v1 v1v1 v2v2 v2v2 Avant collision Après collision la composante normale de la vitesse relative est réduite =>perte dénergie

7 Gaz granulaires Sujets détude: Distributions de vitesse, problème de luniversalité (modèle effectif avec coefficient de restitution aléatoire) Non- équipartition de lénergie dans les mélanges binaires « Démon de Maxwell » Méthodes Théorie cinétique: équation de Boltzmann Simulations numériques: Monte-Carlo Dynamique moléculaire

8 Réseaux complexes Collaboration avec I. Alvarez-Hamelin, M. Barthélemy, L. DallAsta, R. Pastor-Satorras, A. Vázquez, A. Vespignani Thématique interdisciplinaire, suivant plusieurs axes: Analyse et théorie: réseaux complexes valués Cartographie des réseaux complexes Dynamique sur réseaux: épidémiologie

9 Exemples de réseaux complexes Internet WWW Réseaux de transport Réseaux dinteraction de protéines Réseaux de transcription des gènes Réseaux sociaux... sont, ou peuvent être modélisés par, des graphes: ensemble de N sites/noeuds/sommets et E liens, en général dilués i.e. E << N(N-1)/2

10 Principales caractéristiques Graphes « petit-monde »: diamètre croissant « lentement » avec la taille du réseau N, i.e. log(N) ou encore plus lentement caractéristique capturée par le paradigme du graphe aléatoire

11 Graphes aléatoires: Erdös-Renyi (1960) N sites, connectés avec proba p: NB: distribution de Poisson pour le degré k=nombre de voisins (p=O(1/N)) MAIS....

12 Internet, systèmes autonomes

13 P(k) = probabilité quun site ait k voisins P(k) ~ k - ( 3) = const Divergence des fluctuations Internet et le Web; les réseaux dinteractions des protéines les réseaux métaboliques les réseaux sociaux... sont des réseaux hétérogènes Distribution des degrés Absence déchelle caractéristique

14 Comparaison imagée Distribution de Poisson Réseau homogène Distribution en loi de puissance Réseau sans échelle Distribution hétérogène des degrés: Conséquences importantes, par exemple Propagation dépidémies Robustesse Vulnérabilité...

15 Principales caractéristiques Graphes « petit-monde » Graphes hétérogènes, avec des lois de distribution larges pour le degré Souvent: évolution dynamique, auto-organisation Théorie des graphes aléatoires: graphes statiques, topologie ad-hoc... Nécessité de nouveaux paradigmes Développement dune activité de recherche intense

16 Un nouveau cadre (1) Croissance : Ajout à chaque instant t dun nouveau site, avec m liens (connectés aux sites déjà présents). (2) Attachement préférentiel : la probabilité Π que le nouveau site va se lier au site i dépend du degré k i de ce site A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999) P(k) ~k -3

17 Modèles de réseaux sans échelle Barabási, Albert, 1999: croissance + attachement préférentiel P(k) ~ k -3 Généralisations et variations: Non- linéarité : (k) ~ k Attractivité initiale : (k) ~ A+k Réseaux avec fort clustering Caractères intrinsèques: (k) ~ i k i Réseaux plongés en 2 dimensions Redner et al. 2000, Mendes et al. 2000, Albert et al. 2000, Dorogovtsev et al. 2001, Bianconi et al. 2001, Barthélemy 2003, etc... (....) => nombreux modèles P(k) ~ k -

18 Caractérisation des divers modèles Distribution des degrés P(k) =>Homogène vs. hétérogène Corrélations entre degrés de sites voisins « Clustering » (triangles)Clustering... => Comparaison avec réseaux réels

19 Hétérogénéité des réseaux: constatée empiriquement réseaux sociaux: données variées, même type de résultats réseaux de transport: données fiables réseaux de nature biologique: incomplets Internet: cartographie résultant dun échantillonnage incomplet Fiabilité des données empiriques ? Analyse statistique de la fiabilité dun tel échantillonnage

20 Biais du processus déchantillonnage Traceroute: Echantillonnage incomplet Connectivité latérale mal estimée => arbre à partir de chaque source

21 Sites et liens mieux échantillonnés près des sources Mauvaise estimation de certaines propriétés ? Les propriétés statistiques du graphe échantillonné pourraient différer des vraies propriétés Lakhina et al Clauset & Moore 2005 De Los Rios & Petermann 2004 Guillaume & Latapy 2004 Mauvais échantillonnage ? Biais du processus déchantillonnage

22 Comment évaluer ces biais ? Graphe réel G=(V,E) (connu ) Graphe échantillonné G=(V,E) échantillonnage simulé Analyse de G, comparaison avec G

23 Notre démarche I. modèle pour traceroute II. approche analytique avec approximations de type champ moyen => lien entre les propriétés topologiques du réseau et les biais du processus déchantillonnage III. validation numérique par léchantillonnage simulé de graphes homogènes et hétérogènes

24 I-Modèle pour traceroute G=(V, E) Sources (N S ) Destinations (N T ) Première approximation: union de chemins les plus courts

25 G=(V, E) Modèle simple, qui permet dobtenir un traitement analytique et numérique Première approximation: union de chemins les plus courts I-Modèle pour traceroute

26 II-Analyse du processus de cartographie 1. Expression exacte pour la probabilité de découvrir un site ou un lien donné 2. Approximation de type champ moyen: on néglige les corrélations entre les différents chemins 3. Interprétation du résultat en termes de propriétés topologiques, en particulier de la centralité donnée par la « betweenness centrality » Prédiction: sites et liens plus « centraux » sont mieux échantillonnés

27 Betweenness centrality b pour chaque couple (l,m) de sites, il y a lm plus courts chemins entre l et m ij lm plus courts chemins passant par ij b ij est la somme de ij lm / lm sur tous les couples (l,m) de façon similaire betweenness du site i b i i j k ij: grande centralité jk: faible centralité NB: flux dinformation si chaque site envoie un message à tous les autres sites

28 II-Conséquences de lanalyse 1.Graphes homogènes (ex: graphes aléatoires ER) distributions piquées de k et b gamme étroite de centralité (betweenness) prédiction: bon échantillonnage (uniforme) seulement pour un grand nombre de sondes 2.Graphes hétérogènes (ex: modèle Barabási-Albert) distributions larges de k et b ; b » k gamme étendue de valeurs prédiction: sites de grand degré toujours bien échantillonnés

29 Graphes homogènes Mauvais échantillonnage pour toute la gamme de degrés III-Simulations numériques N S N T /N

30 Sites à fort degré bien échantillonnés Graphes hétérogènes III-Simulations numériques

31 Pas de distribution large, sauf.... P*(k) large seulement pour N S = 1 (cf Clauset and Moore 2005) cut-off à mauvais échantillonnage de P(k) Graphes homogènes N S =1 III-Simulations numériques

32 bon échantillonnage, surtout à grand degré; inflexion à faibles degrés (sites moins centraux) => mauvaise évaluation des exposants. Graphes hétérogènes III-Simulations numériques

33 Fiabilité du processus de cartographie Approche analytique du processus de type traceroute Lien avec les propriétés topologiques Bon échantillonnage des lois larges pour la distribution des degrés Biais donnant un réseau échantillonné hétérogène à partir dun réseau homogène: seulement dans des cas très particuliers devrait être très grand (peu réaliste)

34 Fiabilité du processus de cartographie: conclusion Les propriétés dhétérogénéité sont réelles dans le réseau Internet mais Lanalyse quantitative peut être fortement biaisée (exposants mal mesurés...)

35 Au-delà de la topologie: réseaux complexes valués Internet s Réseaux sociaux Réseaux économiques (Garlaschelli et al. 2003) Réseaux biologiques (Almaas et al. 2004) Réseaux de transport... sont des réseaux valués, avec des poids hétérogènes sur les liens i jw ij

36 Analyses empiriques de réseaux réels Définition de nouveaux outils de caractérisation, en particulier pour les corrélations Modélisation Nos travaux

37 Outils pour la caractérisation des réseaux valués Généralisation du degré: s i = j w ij =>étude des distributions de s, des corrélations entre s et k Généralisation de létude des corrélations: triangles => « clustering » valué corrélations à deux points

38 Nécessité de tenir compte des poids pour les corrélations c i w > c i Même degré, même coefficient de clustering (k i =4, c i =0.5) c i w < c i w ij =1 w ij =5 i i Définition dun coefficient de clustering valué c i w Comparaison avec le clustering topologique

39 i Nécessité de peser les corrélations entre degrés i Même degré moyen des voisins Définition de laffinité= degré moyen des voisins de i, pesé par les poids des liens vers ces voisins Comparaison de laffinité avec son équivalent topologique

40 Etudes empiriques Distributions hétérogènes des poids, des degrés pondérés Existence de corrélations entre poids et degrés Comparaison des corrélations topologiques avec les corrélations pondérées => informations supplémentaires sur les réseaux étudiés

41 Modèles de réseaux valués Yook, Jeong, Barabási, Tu, Phys. Rev. Lett. (2001) Zheng et al. Phys. Rev. E (2003) Jezewski, Physica A (2004) Park et al., Phys. Rev. E (2004) Almaas, Redner, Phys. Rev. E (2005) Antal, Krapivsky, Phys. Rev. E (2005) =>Poids statiques, avec ou sans corrélations avec la topologie, alors quen général les poids évoluent sont couplés avec la topologie

42 Un nouveau mécanisme Croissance: ajout à chaque pas de temps dun nouveau site avec m liens à connecter à des sites déjà existants Attachement Préférentiel: la probabilité de se connecter à un site donné est proportionnelle au degré pondéré du site Attachement préférentiel déterminé par les poids et...

43 Redistribution des poids: mécanisme de rétroaction Nouveau site: n, attaché à i Nouveau poids w ni =w 0 =1 Poids entre i et ses autres voisins: s i s i + w 0 + seul paramètre ni j Le nouveau trafic n-i accroît le trafic i-j et le poids/lattractivité de i =>mécanisme de rétroaction

44 Résultats analytiques Distributions en loi de puissance pour k, s and w: P(k) ~ k ; P(s)~s Corrélations topologie/poids: w ij ~ min(k i,k j ) a, a=2 /(2 +1)

45 (N=10 5 ) Résultats numériques

46 Extensions du modèle: Hétérogénéités des sites Réseau dirigé Contraintes spatiales Renforcement des liens déjà existants etc...

47 Conclusions: réseaux valués importance de létude des intensités des liens généralisation des corrélations => meilleure compréhension des réseaux nouveaux mécanismes de modélisation

48 Perspectives 1.Granulaires denses: expériences... 2.Gaz granulaires: fluctuations de grandeurs globales théorème fluctuation 3.Réseaux complexes cartographie: influence des divers paramètres; déploiement massif de sources... influence des poids sur la dynamique épidémiologie réseaux dynamiques (ex: pair-à-pair)


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