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Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Distributions des formes quadratiques Version: 12 février 2007.

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1 Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Distributions des formes quadratiques Version: 12 février 2007

2 STT-2400; Régression linéaire 2 Introduction L’objectif de cette section est de cerner les distributions de probabilité de quantités telle De plus, on sera en mesure d’établir les distributions statistiques des différentes sommes de carrés dans la table d’ANOVA. On va justifier la distribution F du test global dans la table d’ANOVA.

3 STT-2400; Régression linéaire 3 Remarque: hypothèse de normalité Afin d’obtenir les distributions exactes on doit présumer: Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme: La loi de la norme est telle que: C’est un exemple de distribution khi-carrée centrée:

4 STT-2400; Régression linéaire 4 Distribution des estimateurs des moindres carrés Considérons: On a vu que l’estimateur des moindres carrés est:

5 STT-2400; Régression linéaire 5 Régions de confiance Puisque la matrice X’X est symétrique, inversible et par conséquent définie positive, on peut écrire: On rappelle que contient les valeurs propres de la matrice X’X.

6 On rappelle: Ainsi: Ceci implique que:

7 STT-2400; Régression linéaire 7 Région de confiance quand la variance est connue Considérons l’ensemble suivant: L’ensemble précédent est appelé une région de confiance de niveau de confiance 1 –  En général il est difficile de représenter les régions de confiance graphiquement. Les régions de confiance sont des ellipsoïdes.

8 STT-2400; Régression linéaire 8 Définition: distribution chi-carrée décentrée Définition: Soit un vecteur aléatoire où le vecteur constant La loi de est une chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de décentralité On note

9 STT-2400; Régression linéaire 9 Définition: distribution F de Fisher décentrée Définition: Considérons U et V deux variables aléatoires indépendantes: La loi de la variable aléatoire: est dite une loi de Fisher décentrée de degrés de liberté (m,n) et paramètre de décentralité. On note

10 STT-2400; Régression linéaire 10 Propriété 3.10 Soit. Soit A une matrice symétrique. Considérons la forme quadratique: Alors nous avons le résultat suivant: Dans un tel cas.

11 STT-2400; Régression linéaire 11 Propriété 3.11: Indépendance entre deux formes quadratiques Soit. Soient A 1 et A 2 deux matrices symétriques. Considérons les deux formes quadratiques suivantes: On a alors le résultat suivant:

12 STT-2400; Régression linéaire 12 Propriété 3.12: Théorème de Cochran Soit. Considérons les p formes quadratiques suivantes: où: Le Théorème de Cochran affirme que sont mutuellement indépendantes,


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