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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Espaces.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Espaces vectoriels S Cliquer pour la suite. Revenir à la diapositive précédente. Aller à la diapositive suivante. Légende

2 Nous présentons maintenant la notion despace vectoriel qui est fondamentale en algèbre linéaire. Introduction Nous verrons à quelles conditions un ensemble a une structure despace vectoriel et à quelles conditions un sous-ensemble dun espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel. Nous utiliserons également les notions de base et de dimension dun espace et dun sous-espace vectoriel.

3 Structure despace vectoriel SS Un ensemble V Addition, Fermée sur V, K, un corps de scalaires Addition, Fermée sur K, Multiplication, Fermée sur K, Multiplication par un scalaire, V a une structure de groupe abélien. Fermée sur V, associative, possède un neutre, chaque élément a un opposé, commutative. associative, possède un neutre, chaque élément a un opposé, commutative. distributive sur +, associative, possède un neutre, chaque élément, sauf 0, a un inverse. distributive sur +, distributive sur, associative avec Le neutre de est neutre pour. Les éléments de V sont appelés vecteurs. Les éléments de K sont appelés scalaires.

4 Remarques Dans cette présentation imagée de la notion despace vectoriel, nous avons utilisé le symbole,, pour désigner laddition des vecteurs et le symbole,, pour désigner la multiplication dun vecteur par un scalaire. Notre souci est de bien distinguer les opérations sur les vecteurs de celles sur les scalaires. On remarque également que nous avons déjà présenté des ensembles qui forment des espaces vectoriels. lensemble des matrices de dimension m n forme un espace vectoriel sur R; Donnons une définition plus formelle dun espace vectoriel. les vecteurs géométriques du plan, ainsi que ceux de lespace, forment des espaces vectoriels sur R; les vecteurs algébriques, de R 2, de R 3 et de R n, forment des espaces vectoriels sur R.

5 Structure despace vectoriel Soit K, un ensemble muni dune structure de corps (appelé corps de scalaires), et V, un ensemble non vide (dont les éléments sont appelés vecteurs) tel que V est muni : dune opération interne : V V V appelée addition vectorielle. dune opération externe : appelée multiplication par un scalaire. K V V DÉFINITION Espace vectoriel On dit que V est un espace vectoriel sur K, lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

6 3. Associativité de laddition des vecteurs Addition 1.Fermeture de laddition sur lensemble des vecteurs 4.Existence dun élément neutre pour laddition des vecteurs 5.Existence dun élément opposé ( symétrique) pour laddition des vecteurs Pour tout vecteur V, et pour tout scalaire r et s K : u,u,vetw R 2 u v v = uvu Il existe, dans V, un vecteur nul, noté 0, tel que : 2. Commutativité de laddition des vecteurs = u u 00 = u ( ) = uvuvww ( ) u) = (–0uuu (– )= Pour tout vecteur R 2, il existe, dans V, un vecteur opposé, u u tel que :noté –

7 Multiplication par un scalaire 6.Fermeture de la multiplication par un scalaire sur lensemble des vecteurs 7.Distributivité de la multiplication dun vecteur sur une somme de scalaires 8.Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs 9.Associativité de la multiplication dun vecteur avec le produit de scalaires 10.Élément neutre pour la multiplication dun vecteur par un scalaire V, et pour tout scalaire r et s K : Pour tout vecteur u,u,vetw r u R 2 uuu) (r + s) = (r (s(s) (r(r )) = (r( ) uuvv r uu (s(s ) = (rs) r uu 1 =

8 Sous-espace vectoriel DÉFINITION Sous-espace vectoriel Soit U, un sous-ensemble dun espace vectoriel V. On dit que U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si U est lui-même un espace vectoriel. Pour démontrer quun sous-ensemble dun espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel, il nest pas nécessaire de vérifier toutes les propriétés. Le théorème suivant indique quil est suffisant de montrer que le sous-ensemble est non vide et que laddition et la multiplication par un scalaire sont fermées sur le sous-ensemble. Lorsque ces conditions sont satisfaites, on peut conclure que le sous-ensemble forme un sous-espace vectoriel.

9 Sous-espace vectoriel THÉORÈME Sous-espace vectoriel Soit U, un sous-ensemble dun espace vectoriel V. Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites : 1.U est non vide. 2.Lopération daddition de vecteurs est fermée sur U : 3.Lopération de multiplication dun vecteur par un scalaire est fermée sur U : uv Pour tout U, et u v U u Pour tout et pour tout k K, (k u)u) U U

10 Sous-espace vectoriel Idée de la preuve Soit U, un sous-espace vectoriel dun espace vectoriel V sur K. Alors, les dix conditions dun espace vectoriel sont satisfaites et les deux opérations sont fermées sur U. Soit U, un sous-ensemble dun espace vectoriel V sur K, tel que les deux opérations daddition de vecteurs de V et de multiplication dun vecteur de V par un scalaire sont fermées sur U. Alors, si u est un vecteur quelconque de U, 0 u = U, puisque U est fermé pour la multiplication par un scalaire. Le vecteur nul est donc un élément du sous-ensemble U. De plus, –1 u = –u U, puisque U est fermé pour la multiplication par un scalaire. Chaque vecteur de U a donc un opposé dans U. Toutes les autres propriétés sont satisfaites pour tous les éléments de V, à plus forte raison pour ceux du sous-ensemble U.

11 Base Définition Base dun espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de V. Lensemble B forme une base de V si : 1.les vecteurs de B sont linéairement indépendants; 2.tout vecteur de V peut sécrire comme combinaison linéaire des vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les vecteurs de B).

12 Dimension Définition Dimension dun espace vectoriel Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V, est définie comme suit : dim V= n si une base de V contient n vecteurs. 0 si le seul élément de V est le vecteur nul. Remarque On peut montrer, mais nous ne le ferons pas dans ce cours, que si une base dun espace vectoriel contient n vecteurs, alors toutes les bases de cet espace vectoriel contiennent n vecteurs.

13 Exemple Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 2. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 2. S S En posant, par exemple, x = 1 dans la forme générale, on obtient le vecteur (1; 2). Ce vecteur est un élément de R 2 et il est également un élément de U puisquil satisfait à la condition y = 2x. Par conséquent, (1; 2) U, et U est non vide. Montrons que U est non vide = (a; 2a) + (b; 2b) = (a (a + b; 2a 2a + 2b)2b) = (a (a + 2(a + b)) Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition y = 2x Montrons que U est fermé pour laddition où a et b R. En additionnant, on obtient : U. Alors uv Soitet u = (a; 2a) et v = (b; 2b), uv+ uv On peut donc conclure que + U pour tout uv. et Le sous-ensemble U est donc fermé pour laddition. = k(a; 2a)2a) = (ka; k(2a)) = (ka; 2ka) Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition y = 2x Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient : u k u On peut donc conclure que k U pour tout u U et pour tout k R. Le sous-ensemble U est donc fermé pour la multiplication par un scalaire. u U et k R. Alors u = (a; 2a) où a R. Soit SS Les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; 2x) Conclusion Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R 2.

14 Exemple Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 2. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 2. Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le représenter graphiquement. S Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; 2x). Les opérations sur les vecteurs permettent décrire : (x; 2x) = x(1; 2) Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par le vecteur (1; 2) et celui-ci est linéairement indépendant, car en posant (x; 2x) = (0; 0) on a une solution unique x = 0. Une base de ce sous-espace vectoriel est : BU BU = {(1; 2)} S Puisquune base de U contient un seul vecteur, la dimension de lespace vectoriel U est 1. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est une droite dans R 2 passant à lorigine. Graphiquement, U est lensemble des vecteurs engendrés par le vecteur (1; 2). Ces vecteurs ont tous leur extrémité sur la droite déquation y = 2x. Le sous-espace vectoriel U est donc lensemble des vecteurs algébriques dont les extrémités forment la droite déquation y = 2x. Lextrémité de chacun de ces vecteurs est un point dont la position est décrite par le vecteur. Représentation graphique

15 Exemple Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 2. Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R 2 ? S S En posant, par exemple, x = 1 dans la forme générale, on obtient le vecteur (1; 3). Ce vecteur est un élément de R 2 et il est également un élément de U puisquil satisfait à la condition y = 2x + 1. Par conséquent, (1; 3) U, et U est non vide. Montrons que U est non vide = (a; 2a + 1) + (b; 2b + 1) = (a + b; 2a + 2b + 2) = (a + b; 2(a + b) + 2) Les composantes du vecteur somme ne satisfont pas à la condition y = 2x + 1 Vérifions si U est fermé pour laddition où a et b R. En additionnant, on obtient : uv Soit U. Alors et u = (a; 2a + 1) et v = (b; 2b + 1), uv+ Le sous-ensemble U nest pas fermé pour laddition, ce nest donc pas un sous-espace vectoriel de R 2. Dès que lune des conditions nest pas satisfaite, on peut conclure que le sous-ensemble nest pas un sous-espace vectoriel. S Les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; 2x + 1) Remarque Une représentation graphique de la situation va nous aider à comprendre pourquoi U nest pas un sous-espace vectoriel de R 2.

16 Exemple Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 2. Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R 2 ? Représentation graphique Soit des vecteurs quelconques de U : uv = (a; a + 1) et= (b; b + 1). Lextrémité de chacun de ces vecteurs est un point de la droite y = 2x 2x + 1. Lensemble U est lensemble des vec- teurs dont lextrémité est sur cette droite. Cependant, lorsquon additionne deux vecteurs de U le vecteur obtenu na pas son extrémité sur cette droite. Il ne fait pas partie de U. Lensemble nest donc pas fermé pour laddition. On observe la même chose pour la multiplication par un scalaire.

17 Exemple Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 3. S S En posant, par exemple, x = 1 et y = –2 dans la forme générale, on obtient (1; –2; –1). Ce vecteur est un élément de R 3 et il est également un élément de U puisquil satisfait à la condition 3x + 2y – z = 0. Par conséquent, (1; –2; –1) U, et U est non vide. Montrons que U est non vide = (a; b; 3a + 2b) + (c; d; 3c + 2d) Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition 3x + 2y – z = 0 Montrons que U est fermé pour laddition où a, b, c et d R. En additionnant, on obtient : uv Soit U. Alors et u = (a; b; 3a + 2b) et v = (c; d; 3c + 2d), uv+ Le sous-ensemble U est donc fermé pour laddition. SS En isolant z dans la condition 3x + 2y – z = 0, on a z = 3x + 2y. On peut alors dire que les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; y; 3x + 2y) = (a + c; b + d; 3a + 2b + 3c + 2d) = (a + c; b + d; 3(a + c) + 2(b + d)) = k(a; b; 3a + 2b) Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition 3x + 2y – z = 0 Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient : u k u On peut donc conclure que k U pour tout u U et pour tout k R. Le sous-ensemble U est donc fermé pour la multiplication par un scalaire. u U et k R. Alors u = (a; b; 3a + 2b). Soit = (ka; kb; 3ka + 2kb) = (ka; kb; k(3a + 2b)) Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R 3. Conclusion

18 SS Exemple Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 3. Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le représenter graphiquement. Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; y; 3x + 2y). Les opérations sur les vecteurs permettent décrire : (x; y; 3x + 2y) Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par les vecteurs (1; 0; 3) et (0; 1; 2) et ceux-ci sont linéairement indépendants, car en posant (x; y; 3x + 2y) = (0; 0; 0) on a une solution unique x = 0 et y = 0. Une base de ce sous-espace vectoriel est : B U = {(1; 0; 3), (0; 1; 2)} Puisquune base de U contient deux vecteurs, la dimension de lespace vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est un plan dans R 3 passant à lorigine. = (x; 0; 3x) + (0; y; 2y) = x(1; 0; 3) + y(0; 1; 2) Représentation graphique Le sous-espace vectoriel U est un plan passant par lorigine.

19 S SSSS Exercice Soit U = {(x; y; z)| 4x – 5y + z = 0}, un sous-ensemble de lespace vectoriel R 3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R 3. En posant, par exemple, x = 1 et y = 0 dans la forme générale, on obtient (1; 0; –4). Ce vecteur est un élément de R 3 et il est également un élément de U puisquil satisfait à la condition 4x – 5y + z = 0. Par conséquent, (1; 0; –4) U, et U est non vide. Montrons que U est non vide = (a; b; –4a + 5b) + (c; d; –4c + 5d) = (a + c; b + d; –4a + 5b – 4c + 5d) = (a + c; b + d; –4(a + c) + 5(b + d)) Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition 4x – 5y + z = 0 Montrons que U est fermé pour laddition où a, b, c et d R. En additionnant, on obtient : uv Soit U. Alors et u = (a; b; –4a + 5b) et v = (c; d; –4c + 5d), uv+ u v On peut donc conclure que + U pour tout uv. et Le sous-ensemble U est donc fermé pour laddition. = k(a; b; –4a + 5b) = (ka; kb; k(–4a + 5b)) = (ka; kb; –4ka + 5kb) Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition 4x – 5y + z = 0 Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient : u k u On peut donc conclure que k U pour tout u U et pour tout k R. Le sous-ensemble U est fermé pour la multiplication par un scalaire. u U et k R. Alors u = (a; b; –4a + 5b).Soit En isolant z dans la condition 4x – 5y + z = 0, on a z = –4x + 5y. On peut alors dire que les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; y; –4x + 5y) Conclusion Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R 3. Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel. Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; y; –4x + 5y). Les opérations sur les vecteurs permettent décrire : (x; y; 3x + 2y) = (x; 0; –4x) + (0; y; 5y) = x(1; 0; –4) + y(0; 1; 5) Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par les vecteurs (1; 0; –4) et (0; 1; 5) et ceux-ci sont linéairement indépendants, car en posant (x; y; –4x + 5y) = (0; 0; 0) on a une solution unique x = 0 et y = 0. Une base de ce sous-espace vectoriel est : B U = {(1; 0; –4), (0; 1; 5)} Puisquune base de U contient deux vecteurs, la dimension de lespace vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est un plan dans R 3 passant à lorigine.

20 Conclusion Pour montrer quun ensemble muni des opérations daddition et de multiplication par un scalaire forme un espace vectoriel, il faut montrer que les dix propriétés sont satisfaites. Cependant, pour montrer quun sous-ensemble dun espace vectoriel forme un sous- espace vectoriel, il suffit de vérifier que le sous-ensemble est non nul et montrer que les deux opérations sont fermées sur le sous- ensemble. Dans R 2, les sous-espaces vectoriels sont lespace R 2 lui-même, les droites passant par lorigine et le sous-ensemble ne contenant que le vecteur nul. Dans R 3, les sous-espaces vectoriels sont lespace R 3 lui-même, les plans passant par lorigine, les droites passant par lorigine et le sous-ensemble ne contenant que le vecteur nul.

21 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.2, p. 192 et 194. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.2, p. 179 et 180. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.1, p. 179 à 192. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.1, p. 173 à 179.


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