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Eric Andres et Philippe Carré David Helbert DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform Laboratoire IRCOM-SIC.

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1 Eric Andres et Philippe Carré David Helbert DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform Laboratoire IRCOM-SIC

2 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

3 Introduction Une nouvelle implantation de la transformée Ridgelet avec des droites discrètes analytiques est proposée : DART But de la transformation Ridgelet : permettre une analyse « optimale » des ruptures linéaires dans une image. Problème : peu d’implantations discrètes, pas forcément efficaces ou simples à mettre en œuvre. Notre but : Proposer une transformation ridgelet aisée à implanter et inversible (à propriétés contrôlées). Un des domaines d’applications privilégié semble être le débruitage

4 Contexte : transformation Transformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une autre représentation des données (démarche non structurelle) 1. Définition de fonctions (formes) constituant la base 2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases  Transformée (produit scalaire) Fourier But de la nouvelle représentation  Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données

5 Contexte : continue vs. discret Transformation continue  Fonctions de base continues Discrétisation de l’intégrale Application aux données discrètes Non respect des propriétés de la base Complexité algorithme Opération adjointe absente Transformation discrete  Fonctions de base discrètes Représentation orthogonale Algorithme rapide Opération adjointe parfaite

6 Contexte : ondelette Fréquence : 0.15, Longueur : Fréquence : 0.05, Longueur : 61 Idée Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à une fréquence d ’oscilation précise Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction

7 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

8 Définition de la transformation Ridgelet 2D SignalReprésentation ondelettes Contrairement à Fourier, les ondelettes sont très efficaces pour représenter / analyser des singularités ponctuelles Mais nettement moins efficace pour représenter des singularités linéaires

9 [Candès98] bord Image Domaine de Radon Point Transformée ondelette Transformée de Radon Domaine des Ridgelets Domaine de Radon Idée : en 2D, les points et les droites sont liées via la transformation de Radon La transformation Ridgelet a été créé spécifiquement pour représenter efficacement les arêtes dans une image. Définition de la transformation Ridgelet 2D

10 Les coefficients ridgelet sont donnés par une transformation ondelette 1D des projections de Radon Définition de la transformation Ridgelet 2D

11 La transformée de Radon Définir les lignes radiales passant par l’origine de l’image Transformée de Fourier 2D de l’image Transformée de Fourier 1D inverse le long des lignes Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes Définition de la transformation Ridgelet 2D Stratégie classique Stratégie de Fourier

12 1. Calcul de la transformée de Radon discrète : Difficile à réaliser. 2. Appliquer une transformée discrète en ondelettes sur chaque projection : facile à implanter, stable et inversible avec les bancs de filtres. Stratégie pour la transformation Ridgelet 2D discrète

13 Stratégie de Lausanne[Do&Vetterli2001] Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes Décomposition du domaine de Fourier 3D en 3 cônes Stratégie de Stanford Conversion de la grille cartésienne en une grille pseudo-polaire [Averbuch Coifman Donoho Israeli Waldén2000] iFFT 1D le long des lignes définies dans le domaine de Fourier

14 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

15 Stratégie de Poitiers Stratégie de calcul de la DART 2D : Coefficients de Fourier iFFT FFT 2D Définition des droites discrètes Projection de l’image Extraction des coefficients de Fourier Transformée ondelette 1D le long des projections Ridgelet [Carré&Andres2002] Extraction des coefficients de Fourier

16 16 Transformation de Radon analytique discrète DART : Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon Droites L [p,q] sont définies à l’aide de géométrie analytique discrète Nous avons besoin d’une droite discrète avec : une symétrie centrale, formant une « bonne » approximation de la droite euclidienne. 0 0 f1f1 f2f2 Domaine de Fourier

17 17 Les droites analytiques discrètes que nous avons utilisées sont définies par : avec [p,q] la direction de projection de Radon et , une fonction de (p,q), l’épaisseur arithmétique Droites naïves fermées (8-connexes) Droites supercouvertures (4-connexes) Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes) Transformation de Radon analytique discrète

18 0 0 Nous avons besoin d’un ensemble de directions [p,q] qui permettent une représentation complète (une couverture du domaine de Fourier) Transformation de Radon analytique discrète

19 Le facteur de redondance varie avec l’épaisseur arithmétique de la droite (par exemple 2.05 pour les droites naïves fermées et 3.05 pour les droites supercouvertures) Naïf Supercouverture Transformation de Radon analytique discrète

20 Coefficients de Fourier iFFT 1D FFT 2D Définition des droites discrètes Projection de l’image Ridgelet DART Inverse Coeffs ridgelets modifiés Traitements (débruitage) FFT 1D iFFT 2D Remise en place des coeffs de Fourier Extraction des coefficients de Fourier Transformée ondelette 1D le long des projections

21 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

22 Pourquoi la DART est performante en débruitage La transformée Ridgelet code efficacement les contours rectilignes Droite discrète 1 Droite discrète 2 Pixels couverts par les deux droites discrètes Domaine de Fourier 2D couverts par deux droites analytiques discrètes La DART est une transformée redondante Répétition des informations dans le domaine des Ridgelets

23 Stratégie pour le débruitage Seuillage des coefficients Ridgelet Calcul de la DART inverse. Le seuillage utilise une décomposition en ondelettes non-décimée La variance du bruit est estimée par la valeur médiane absolue des coefficients de la première échelle d ’ondelette pour chaque projection radiale Paramètre de Donoho

24 24 Influence de l’épaisseur analytique sur le débruitage (a)(b) (SNR=15 dB) naïve pythagoricienne supercouverture

25 Image Femme + bruit (  =60) Noisy Fwt : ondelettes ortho Uwt : ondelettes redond EPFL DART LDART

26 Image Maison + bruit (  =70) Noisy Classical Wavelet Undecimated Wavelet EPFL DART LDART

27 DART pas efficace pour toutes les applications Reconstruction partielle d ’une image artificielle à partir des 512 plus grands coefficients OndeletteEPFLDART La redondance de la DART n’est pas un avantage ici

28 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

29 Définition de la DART 3D La transformée Radon 3D de s est définie par : La transformée de Radon 3D Définir les lignes radiales passant par l’origine de l’image Transformée de Fourier 3D de l’image Transformée de Fourier 1D inverse le long des lignes Définition de la transformée Ridgelet 3D bord Image 3D Domaine de Radon Point Transformée ondelette Transformée de Radon 3D Domaine des Ridgelets Domaine de Radon

30 La transformée de Radon discrète 3D 1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image 3. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète 3D : 2. Définition des droites discrètes 3D passant par l'origine pour chaque paramètre angulaire θ et 

31 La transformée de Radon discrète 3D Définition d’une droite analytique discrète 3D Droite naïveDroite supercouvertureDroite pythagoricienne

32 La transformée de Radon discrète 3D Couverture du volume par les droites discrètes 3D => Domaine de Fourier 3D couvert par des droites supercouvertures => Domaine de Fourier 3D non couvert par des droites naïves et pythagoriciennes

33 Autre approche pour la Radon discrète 3D 1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image 4. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite 3. Couvrir le plan par des droites analytiques discrètes 2D passant par l’origine et définies pour chaque paramètre angulaire  2. Définir des plans discrets passant par l’origine pour chaque paramètre angulaire 

34 Définition des objets analytiques discrets Les plans discrets : Autre approche pour la Radon discrète 3D x y z, t naïf pythagoricien supercouverture

35 Définition des objets analytiques discrets Les droites discrètes 3D au final : Autre approche pour la Radon discrète 3D La projection du plan est pavé de droites 2D x z y

36 Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion

37 Débruitage d’une image synthétique Image originale Image bruitée Image débruitée par une transformée en ondelette Image débruitée par une DART SNR=13,45 dB SNR=18,62 dB SNR=9,62 dB

38 Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (1/2) Image débruitée par une DART Image originaleImage bruitée Image débruitée par une transformée ondelette

39 Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (2/2) Image débruitée par une DART Image originale Image bruitée Image débruitée par une transformée en ondelette

40 Débruitage de la vidéo 1 (1/2) SNR=0.051 dB Vidéo originaleVidéo bruitée

41 Débruitage de la vidéo 1 (2/2) SNR=6.17 dB SNR=7.47 dB Vidéo débruitée par une DART Vidéo débruitée par une transformée en ondelette redond.

42 Conclusion (1/3) La DART est facile à mettre en œuvre facile à inverser paramétrable avec l ’épaisseur arithmétique illustre l’intérêt de la géométrie discrète et constitue un bon outil de débruitage en 2D, 3D et ? 4D

43 Conclusion (2/3) Les perspectives - Droites analytiques discrètes 3D plus fines pour limiter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en reconstruction partielle - Droites analytiques discrètes 3D plus épaisses pour augmenter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en débruitage - Loi d’interpolation pour pallier la non-couverture du domaine de Fourier par les droites 3D naïves et pythagoriciennes

44 Conclusion (3/3) La DART à fenêtres DART 3D sur toutes les fenêtres Traitement DART 3D inverse sur toutes les fenêtres Image 3D reconstruite


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