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1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Interpolation f(x)

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1 1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Interpolation f(x)

2 Approximation de fonctions •Soit une fonction f (inconnue explicitement) –connue seulement en certains points x 0,x 1 …x n –ou évaluable par un calcul coûteux. •Principe : –représenter f par une fonction simple, facile à évaluer •Problème : –il existe une infinité de solutions !

3 Approximation de fonctions •Il faut se restreindre à une famille de fonctions –polynômes, –exponentielles, –fonctions trigonométriques…

4 4 Quelques méthodes d'approximation •Interpolation polynomiale –polynômes de degré au plus n •polynômes de Lagrange •différences finies de Newton •Interpolation par splines –polynômes par morceaux •Interpolation d'Hermite –informations sur les dérivées de la fonction à approcher •...voir le groupe de TT…

5 5 Théorème d’approximation de Weierstrass Interpolation :

6 6 Interpolation polynomiale •Le problème : les données, la solution recherchée •mauvaise solution : résoudre le système linéaire •la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme

7 7 Interpolation polynomiale : Lagrange •Théorème –Soient n+1 points distincts x i réels et n+1 réels y i, il existe un unique polynôme p  P n tel que p(x i ) = y i pour i = 0 à n –Construction de p : avec L i polynôme de Lagrange –Propriétés de L i •L i (x i )=1 •L i (x j )=0 (j  i) L est un polynôme d’ordre n démonstration

8 8 •Exemple avec n=1 –on connaît 2 points (x 0,y 0 ) et (x 1,y 1 ) –on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1) qui passe par les 2 points : •y 0 = a x 0 + ba = (y 0 - y 1 ) / (x 0 - x 1 ) •y 1 = a x 1 + bb = (x 0 y 1 - x 1 y 0 ) / (x 0 - x 1 ) – Lagrange : exemple n°1 L 0 (x)L 1 (x) x0x0 x1x1 y1y1 y0y0

9 9 Lagrange : exemple n°2 •Exemple avec n=2 –on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17) –polynômes de Lagrange associés :

10 10 Lagrange : exemple n°2 –calcul du polynôme d'interpolation • p(x)=L 0 (x) + 5 L 1 (x) + 17 L 2 (x) •en simplifiant, on trouve p(x)=x 2 +1

11 11 Lagrange : l’algorithme Complexité du calcul : n 2 Fonction y = lagrange(x,x i,y i )

12 Lagrange : exemple n°3 •Exemple avec n=2 (fonction à approcher y=e x ) –on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4, ) –Polynôme d'interpolation •p(x) =L 0 (x) L 1 (x) L 2 (x)

13 13 Lagrange : exemple n°3 –Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)

14 14 Lagrange : erreur d'interpolation •Théorème : –si f est n+1 dérivable sur [a,b],  x  [a,b], notons : •I le plus petit intervalle fermé contenant x et les x i •  (x)=(x-x 0 )(x-x 1 )…(x-x n ) –alors, il existe   I tel que –NB :  dépend de x •Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc. la qualité de l’approximation

15 15 Lagrange : choix de n •Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour approcher f … faut-il tous les utiliser ? –(calculs lourds) •Méthode de Neville : –on augmente progressivement n –on calcule des L i de manière récursive –on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil (d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)

16 16 La méthode de Neuville •Définition •Théorème •Démonstration •Application systématique

17 17 L’algorithme de Neuville Complexité du calcul : n 2 Fonction y = Neuville(x,x i,y i )

18 18 Interpolation polynomiale : Newton •Polynômes de Newton : –base = {1, (x-x 0 ), (x-x 0 )(x-x 1 ), …, (x-x 0 )(x-x 1 )…(x-x n-1 )} –on peut ré-écrire p(x) : p(x)=a 0 + a 1 (x-x 0 ) + a 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+…+ a n (x-x 0 )(x-x 1 )…(x-x n-1 ) –calcul des a k : méthode des différences divisées

19 19 Newton : différences divisées •Définition : –Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points distincts a, b, c, … –On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n les expressions définies par récurrence sur l’ordre k : –k=0f [a] = f (a) –k=1f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a ) –k=2f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b ) –… f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a ) a  X, b  X, a  b

20 20 Newton : différences divisées •Théorèmes : –détermination des coefficients de p(x) dans la base de Newton : f [x 0, x 1,…, x k ] = a k avec k = 0 … n –erreur d'interpolation : e(x) = f [x 0, x 1,…, x n, x]  (x)

21 21 Newton : différences divisées a0a0 a1a1 a2a2 anan •Calcul pratique des coefficients : x 0 f [x 0 ] x 1 f [x 1 ]f [x 0, x 1 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1, x 2 ] … … …... … … … f [x n-3, x n-2, x n-1 ] x n f [x n ]f [x n-1, x n ] f [x n-2, x n-1, x n ] …f [x 0,..., x n ]

22 22 Newton : exemple a0a0 a2a2 p(x)=1 + 2x + x(x-2) (et on retombe sur p(x) = 1 + x 2 ) a1a1 •(ex. n°2) : n=2 (0,1), (2,5) et (4,17) 0 f [x 0 ]=1 2 f [x 1 ]=5 f [x 0, x 1 ] =(1-5)/(0-2)=2 4 f [x 2 ]=17 f [x 1, x 2 ]f [x 0, x 1, x 2 ] =(5-17)/(2-4)=6 = (2-6)/(0-4)=1

23 23 Newton : l’algorithme Complexité du calcul : n 2 Fonction a = Newton(x i,y i )

24 24 A bas les polynômes •Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points –entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut… et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !

25 25 Interpolation par splines cubiques •Principe : –on approche la courbe par morceaux (localement) –on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les oscillations

26 26 Splines cubiques : définition •Définition : –On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée g, qui vérifie les propriétés suivantes : •g  C 2 [a;b] (g est deux fois continûment dérivable), •g coïncide sur chaque intervalle [x i ; x i+1 ] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, •g(x i ) = y i pour i = 0 … n •Remarque : –Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline d’interpolation de façon unique –Ex. de conditions supplémentaires : •g"(a) = g"(b) = 0spline naturelle.

27 27 Splines : illustration P 1 (x)=  1 x 3 +  1 x 2 +  1 x+  1 =a 1 (x-x 1 ) 3 +b 1 (x-x 1 ) 2 +c 1 (x-x 1 ) +d 1 P 2 (x)=a 2 (x-x 2 ) 3 +b 2 (x-x 2 ) 2 +c 2 (x-x 2 ) +d 2

28 28 Splines cubiques : détermination •Détermination de la spline d’interpolation –g coïncide sur chaque intervalle [x i ; x i+1 ] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 è g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs: •m i = g"(x i ) et m i+1 = g"(x i+1 ) (moment au noeud n°i) –Notations : •h i = x i+1 - x i pour i = 0 … n-1 •  i = [x i ; x i+1 ] •g i (x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle  i

29 29 Splines cubiques : détermination –g" i (x) est linéaire : •  x   i •on intègre (a i constante) •on continue (b i constante) –g i (x i ) = y i –g i (x i+1 ) = y i+1 1 2

30 30 Splines cubiques : détermination –g'(x) est continue : – et –on remplace les a i dans : –Rappel : on cherche les m i (n+1 inconnues) è on a seulement n-1 équations grâce à è il faut rajouter 2 conditions, par exemple èm 0 = m n =0(spline naturelle)

31 31 Splines cubiques : détermination –Ex de résolution avec h i = x i+1 - x i constant : • •forme matricielle : Tm=f •T inversible (diagonale strictement dominante) 4

32 32 Splines cubiques : l’algorithme Complexité du calcul : complexité du solveur

33 33 Splines cubiques : exemple •Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points spline polynôme de degré 8

34 34 Conclusion •Interpolation polynomiale –évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange -> méthode de Neville –compiler la fonction : Polynôme de Newton •Interpolation polynomiale par morceau : splines –spline cubique d’interpolation –spline cubique d’approximation (on régularise) –b spline –spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle) •approximation - apprentissage


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