Algorithme de DIJKSTRA Recherche d’un chemin minimal.

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1 Algorithme de DIJKSTRA Recherche d’un chemin minimal

2 On se donne un graphe orienté où chaque arrête est affectée d’un poids. L’objectif est de trouver un chemin de poids minimum entre deux sommets choisis.

3 Exemple 1 : quel est le chemin minimal entre A et H ? A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4

4 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif

5 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH (4,A)(3,A)(5,A) A

6 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C)C3C3

7 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C)C3C3 (5,B)(7,B)B4B4

8 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C)C3C3 (5,B)(7,B)B4B4 -(9,D)D5D5

9 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C)C3C3 (5,B)(7,B)B4B4 -(9,D)D5D5 -(8,E)E5E5

10 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C) C3C3 (5,B)(7,B) B4B4 -(9,D) D5D5 -(8,E) E5E5 -(13,F) F7F7

11 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C) C3C3 (5,B)(7,B) B4B4 -(9,D) D5D5 -(8,E) E5E5 -(13,F) F7F7 (12,G) G8G8

12 A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C) C3C3 (5,B)(7,B) B4B4 -(9,D) D5D5 -(8,E) E5E5 -(13,F) F7F7 (12,G) G8G8 H 12

13 ABCDEFGH Définitif (4,A)(3,A)(5,A) A (6,C) C3C3 (5,B)(7,B) B4B4 -(9,D) D5D5 -(8,E) E5E5 -(13,F) F7F7 (12,G) G8G8 H 12 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à H est 12 et il provient de G, lui-même distant de 8 et provenant de E, lui-même distant de 5 et provenant de B, lui-même distant de 4 et provenant de A. Un chemin minimal est donc de poids 12 : A B E G H

14 Un chemin minimal est donc de poids 12 : A-B-E-G-H A C E H G B F D 5 3 4 1 3 3 3 3 3 5 6 4 4

15 Exemple 2 : quel est le chemin minimal entre A et G ? A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3

16 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A

17 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3

18 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4

19 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4 (6,D)(7,D)(9,D)D5D5

20 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4 (6,D)(7,D)(9,D)D5D5 -(8,E)E6E6

21 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4 (6,D)(7,D)(9,D)D5D5 -(8,E)E6E6 -F7F7

22 A C E G B F D 5 3 4 4 4 5 1 2 3 5 4 2 2 3 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4 (6,D)(7,D)(9,D)D5D5 -(8,E)E6E6 -F7F7 G8G8

23 ABCDEFG Définitif (4,A)(3,A)(5,A)A (5,C)(8,C)C3C3 -(8,B) B4B4 (6,D)(7,D)(9,D)D5D5 -(8,E)E6E6 -F7F7 G8G8 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à G est 8 et il provient de E, lui-même distant de 6 et provenant de D, lui-même distant de 5 et provenant de A ou C, C lui-même distant de 3 et provenant de A. Un chemin minimal est donc de poids 8 : A C D E G ou A D E G

24 Exemple 3 : quel est le chemin minimal entre A et I ? A C E G B F D 5 6 4 4 4 1 1 2 3 5 6 2 3 3 H I 4 4 4 4

25 Solution…

26 ABCDEFGHI Définitif (4,A)(6,A)(5,A)A -(8,B) B4B4 (6,D)(8,D)(11,D)D5D5 --C6C6 -(8,E)E6E6 -(12,F) F8F8 (12,G)G8G8 -H 12 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12.

27 ABCDEFGHI Définitif (4,A)(6,A)(5,A)A -(8,B) B4B4 (6,D)(8,D)(11,D)D5D5 --C6C6 -(8,E)E6E6 -(12,F) F8F8 (12,G)G8G8 -H 12 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12. Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.

28 ABCDEFGHI Définitif (4,A)(6,A)(5,A)A -(8,B) B4B4 (6,D)(8,D)(11,D)D5D5 --C6C6 -(8,E)E6E6 -(12,F) F8F8 (12,G)G8G8 -H 12 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12. Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.

29 ABCDEFGHI Définitif (4,A)(6,A)(5,A)A -(8,B) B4B4 (6,D)(8,D)(11,D)D5D5 --C6C6 -(8,E)E6E6 -(12,F) F8F8 (12,G)G8G8 -H 12 Conclusion : le plus court chemin pour aller de A à I est de poids 12. Un chemin minimal est donc : ADEGI ou ABFI ou ADFI.