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MIC7340 Chapitre 12 Filtres. Passe-basPasse-haut Passe-bandeCoupe-bande fcfc fcfc f c1 f c2 f c1 f c2 Idéal Réalisable Peuvent être réalisés par des moyens.

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1 MIC7340 Chapitre 12 Filtres

2 Passe-basPasse-haut Passe-bandeCoupe-bande fcfc fcfc f c1 f c2 f c1 f c2 Idéal Réalisable Peuvent être réalisés par des moyens analogiques ou numériques L’analyse de la réponse en fréquence se fait généralement avec la transformée de Fourier, la synthèse part de la transformée de Laplace Quatres types fondamentaux

3 Série de Fourier Permet de représenter tout signal périodique par une combinaison de signaux sinusoïdaux : où

4 Série et transformée de Fourier L’égalité sin(  ) + j cos(  )=e j   permet aussi d’écrire : où – Chaque terme se distingue par une amplitude c k et un angle de phase  k =k  0 t Lorsque s(t) n’est pas périodique ou T est infini, on utilise la transformée de Fourier : où – s(t) comprend un nombre infini de composant et F(  ) est une fonction continue La transformée de Fourier est aussi applicable aux fonctions de durée finie ou périodiques; F(  ) est alors discontinu Dans tous les cas, les paires (c k,  k ) ou F(  ) décrivent le spectre de fréquences de s(t)

5 Transformée de Lapla ce Définie par: où et Peut être vue comme une extension de la transformée de Fourier où j  est remplacé par s=  + j  L’usage de s au lieu de j  permet de rendre compte aussi du comportement transitoire d’un circuit  permet d’étudier la réponse transitoire et j  la réponse permanente Utile pour déterminer la stabilité d’un circuit pour différente conditions d’opération On passe souvent de la transformée de Fourier à la transformée de Laplace en remp;açant j  par s dans l’une ou l’autre En pratique, la transformée de Fourier est plus facile d’usage

6 Propriété fondamentale Les relations s(t)  F(  ) s(t)  F(s) sont bi-univoques Pour chaque s(t), le F(  ) ou F(s) correspondant est unique s’il existe, et vice-versa Par conséquent l’impact d’un circuit sur un signal s(t) peut se faire de manière équivalente en faisant une analyse dans le temps ou dans l’un des espaces j  ou s, dépendant de qui est le plus avantageux

7 Fonction de transfert Définie par H(s)=Y(s)/X(s) ou Y(s) et X(s) sont la sortie et l’entrée du circuit étudié Joue un rôle similaire à celui la fonction de réponse en fréquence, mais dans le domaine de Laplace Dans tous les cas : En pratique, on retrouve aussi souvent l’une que l’autre formulation

8 Filtres numériques : implémentés par microprocesseur, microcontrôleurs, FPGA ou autre moyen numérique Le filtre calcule directement la fonction de réponse en fréquence en matériel ou logiciel Filtres analogiques : la mise en œuvre est basée sur des composants analogiques qui réalisent la fonction de réponse en fréquence Les filtres passifs utilisent uniquement R, L et C et ont un gain inférieurs à 1. Les filtre analogiques actifs ajoutent des composants actifs (habituellement des amplificateurs operations) pour un gain arbitraire Moyens de mise en oeuvre des filtres

9 R CVIVI VOVO + _ + _ Filtre passe-bas de permier ordre Filtre analogiques passifs 0 dB 1   0 1/RC Diagramme de Bode Diagramme linéaire. -3 dB x Réponse en amplitude

10 C R ViVi VOVO + _ + _ Filtre passe-haut de premier ordre Filtre analogiques passifs 0 dB.. -3 dB 0   1/RC Bode Linéaire x

11 CL R ViVi VOVO + _ + _ Filtre passe-bande du second-ordre Filtre analogiques passifs   0 0 dB -3 dB  lo  hi Bode Linéaire  lo  hi

12 R L C + _ VOVO + _ ViVi Filtre coupe-bande de second-ordre : Filtre analogiques passifs Example Matlab: num = [ ]; den = [ ]; w = 1 : 5 : 10000; Bode(num,den,w) Bode Matlab

13 Filtre analogiques actifs Filtre passe-bas du 1er ordreFiltre passe-haut du 1er ordre Filtre coupe-bande du 2nd ordre Filtre passe-bande du 2nd ordre Rappel : Pour un ampli-op inverseur : G=-Z f /Z i

14 Filtres numériques Deux types fondamentaux – À réponse impulsionnelle de durée finie (RIF) – À réponse impulsionnelle de durée infinie (RII) Analysés et conçus à l’aide de la transformée z – Adaptation de la transformée de Laplace aux systèmes à temps échantillonnés avec le changement de variable z = e Ts – Permet donc de : Déterminer la réponse d’un filtre numérique à un signal d’entrée Étudier sa réponse en fréquence Étudier sa stabilité

15 Transformée Z La transformée z d’un signal à temps échantillonné quelconque x[n] est définie par où z = e sT e, s étant la variable de Laplace et T e la période d’échantillonnage ; pour un signal causal k 0 =0. Il existe une relation biunivoque entre le signal et sa transformée z :

16 Fonctions de transfert numériques Si x[n] est l’excitation, h[n] la fonction de réponse du filtre á une impulsion et y [n] sa sortie, alors et H( ) est la fonction de transfert du système. Résultat similaire à ceux trouvés pour les transformée de Fourier et Laplace :

17 Ex. : donne L’effet du numérateur et du dénominateur peut être représenté par des vecteurs qui partent de pôles ou zéros et se rejoignent en un point commun sur le cercle unité. Les rapports d’amplitudes et les angles des vecteurs définissent la réponse en fréquence. Diagrammes de placement des pôles-zéros et réponse en fréquence Re Im 1 pôle zéro cercle unité -1/3

18 Comparaison entre RII et RIF RIFRII  Stable par défaut  Demande n>> 1 pour une bonne performance  Peut demander un temps de calcul escessif  La gamme dynamique se calcule facilement  Réponse en phase linéaire si filtre causal  Ne possède pas d’équivalent analogique stable  La stabilité dépend de la position des pôles de H(z)  Peut donner une performance adéquate pour n=1 ou 2  La gamme dynamique se calcule difficilement  Peut nuire à la performance  Réponse en phase non linéaire en général  Effets de quantification et d’arrondi plus prononcés que pour RIF.  Possède un équivalent analogique

19 Propriétés d’un filtre RIF Équation d’e/s : x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée, b k représente les coefficients de la fonction de transfert du filtres, y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie, N est le nombre de coefficients du filtre (l’ordre).

20 Réponse en fréquence d’un filtre FIR La transformée z de  La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by e j  Te : est:  La similarité de H(  ) avec une série de Fourier suggère une méthode pour trouver h[n] !

21 Propriétés d’un filtre RII Équation d’e/s : x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée, a k, b k représentent les coefficients de la fonction de transfert du filtres, y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie, N, M représentent les ordres du numérateur et du dénominateur de H(Z) (M est souvent appelé l’ordre du filtre).

22 Réponse en fréquence d’un filtre RII  La transformée z de  La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by e j  Te : est :

23  Puisque e -j2  k = 1, on a :  La réponse en fréquence est périodique avec période 2  /T e dans le cercle de rayon unité. Si on normalise T e à 1, on a Propriétes de la réponse en fréquence numérique

24 Conception d’un filtre numérique  Cinq étapes requises : 1. Spécification du filtre 2. Calcul des coefficients. 3. Choix d’une architecture de mise en oeuvre. 4. Simulation (option). 5. Implémentation.  Dans la suite, on discute les filtres RII

25 Étape 1 : spécification du filtre

26 Il existe deux approches : – Placement direct des pôles et zeros dans la plan z – Conversion d’un filtre analogique : Par transformation bilinéaire En utilisant le principe de l’invariance de la réponse impulsionnelle Dans le cas de la transformation d’un filtre analogique, on part souvent de l’équation d’un filtre passe bas normalisé que l’on adapte au type désiré (passe haut, passe bande, etc.) avant la conversion. Étape 2 : calcul des coefficients

27 Méthode du placement des pôles et zéros Basée sur le principe que, dans le plan z : – Le placement d’un zéros ~ |z|=1 minimise la fonction de réponse en fréquence du filtre à cet endroit. – Le placement d’un pôle ~ |z|=1 maximise la fonction de réponse en fréquence du filtre à cet endroit. – Pour obtenir un filtre avec des coefficients réels (donc réalisable), il faut que les pôles et zéros soient à valeurs réelles ou qu’ils apparaissent pas paires conjuguées. Méthode intuitive mais qui demande un réglage fin

28 Méthode du placement des pôles et zéros Exemple :

29 Méthode du placement des pôles et zéros % Conception et simulation d’un filtre par placement de pôles et zéros pole1 = i; % création de deux paires de pôles conjugués pole2 = i; pole3 = conj(pole1); pole4 = conj(pole2); poles = [pole1 pole2 pole3 pole4]; zero1 = i; % création de deux paires de zéros conjugués zero2 = i; zero3 = conj(zero1); zero4 = conj(zero2); zeros = [zero1 zero2 zero3 zero4]; denz=poly(poles);% conversion des pôles en dénominateur de H(z) numz=poly(zeros); % numérateur de H(z) = 1 zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zéros figure(2); freqz(numz,denz,256);% affichage de la réponse en fréquence t=[0:1:127];% test avec 128 valeurs d’un sinus corrompu x=sin(2*pi*t/24); x=x+rand(1,128)-0.5; y=filter(numz,denz,x); figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([ ]);axis('normal');

30 Méthode du placement des pôles et zéros

31 % Autre exemple en utilisant des coordonnées polaires angl=[0.2: 0.1: 0.5]*pi/2; % création de 4 paires conjuguées de pôles poles=0.85*exp(j*angl); poles=[poles 0.85*exp(-j*angl)]; denz=poly(poles) % conversion des pôles en dénominateur de H(z) numz=[1]; % numérateur de H(z) = 1 zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zéros figure(2); freqz(numz,denz,256);% affichage de la réponse en fréquence t=[0:1:127];% test avec 128 valeurs d’un sinus bruité x=sin(2*pi*t/24); x=x+rand(1,128)-0.5; y=filter(numz,denz,x); figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([ ]);axis('normal'); Méthode du placement des pôles et zéros

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33 Conversion d’un filtre analogique Méthode la plus « simple » Exploite le fait qu’il existe des méthodes établies de conception de filtres analogiques. Consiste à concevoir un filtre analogique et à le convertir en filtre numérique. Les deux méthodes les plus utilisés sont : – L’invariance de la réponse impulsionnelle : – La transformation bilinéaire :

34 Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle % Conception d’un filtre par la méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle [num,den]=butter(15,2*pi,'s');% Filtre Passe Bas de Butterworth dans le domaine s avec N=15, fc=1 Hz [a,p,K] = residue(num,den); % Décomposition en fractions élémentaires par la méthode des résidus : figure(1); plot(p,'xk');% digramme des pôles maqués par des x noirs figure(2); freqs(num,den);% réponse en fréquence analogique % dans s donne dans t, ce qui donne dans z : % Te=0.05; % fe=20Hz (=> fc normalisé = 1Hz/(fe/2) =0.1) pz=exp(p*Te); % conversion des pôles dans s en des pôles dans z az=-a.*pz; % détermination des coefficients des fractions élémentaires correspondantes K=K*sum(a); % Terme continu [numz,denz] = residue(az,pz,K); % détermination de H(z) à partir des fractions élementaires dans z figure(3); zplane(numz, denz); % digramme des pôles et zéros dans le plan z figure(4); freqz(numz,denz); % réponse en fréquence numérique

35 f c =  c /2  =1 Hz f c =  (  c /2  )=1 Hz f c =  (  c /2  )f e =1 Hz Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle

36  Normalement  On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation  Cette transformation donne des équations compliquées  La transformation bilinéaire utilise l’approximation d’une surface continue par un ensemble de surfaces trapézoïdales. Méthode de la transformation bilinéaire

37  Si, alors et jouent le même rôle dans les domaines s et z  On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation Méthode de la transformation bilinéaire k-1 k t=kT e y(t) y((k-1)T e ) y(kT e ) A((k-1)T e )

38 /* /*IIR.c IIR filter using cascaded Direct Form II. y(n)=S ax(n-k)-by(n-j)*/ Void IIR_Isr(void) { short a1 = 0x0; // coefficients du filtre short a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d; short b1 = 0x4afd; short b2 = 0x257d; static short p1=0, p2=0;// variables persistentes short xn, p0, y0;// variables d’e/s int prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termes intermédiaires xn = input_sample(); pn=xn-((b0*p1)>>15)-((b1*p2)>>15); yn=((a0*pn)>>15) + ((a1*p1)>>15) + ((a2*p2)>>15); p2 = p1; p1 = p0; output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel }  >>15 non requis si calculs fait en virgule flottante  Noter l’absence de boucles for. Étape 5 : mise en oeuvre

39 Code c plus rapide void IIR_Isr (void) { short a1 = 0x0; // coefficients du filtre short a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d; short b1 = 0x4afd; short b2 = 0x257d; static short p1=0, p2=0;// variables persistentes short xn, p0, y0;// variables d’e/s int prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termes intermédiaires xn = input_sample(); prod1 = _mpy(p2,a2); prod2 = _mpy(p1,a1); p0 = xn + (short)((prod1 + prod2)>>15); prod3 = _mpy(p1,b1); prod4 = _mpy(p2,b2); prod5 = _mpy(p0,b0); y0 = (short)((prod3+prod4+prod5)>>15); p2 = p1; p1 = p0; output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel } >>15 non requis si calculs fait en virgule flottante

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