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Télédétection et Traitement des images

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Présentation au sujet: "Télédétection et Traitement des images"— Transcription de la présentation:

1 Télédétection et Traitement des images
La résolution

2 Mauvaise restitution des détails Bonne restitution des détails

3 Introduction (2/8) Qu’est-ce que la résolution ?
la réponse n’est pas facile : terme vague pour lequel on rencontre plusieurs « définitions » capacité d ’un système imageur à restituer l’information contenue dans le paysage observé ( par exemple, la netteté) quelques « définitions » usuelles : pouvoir séparateur : distance mini pour séparer 2 objets voisins (lignes, points ....) taille du détecteur élémentaire projeté au sol et/ou pas d ’échantillonnage champ de vue instantané (IFOV en anglais) : taille angulaire du détecteur élémentaire nombre maximal perceptible de paires de lignes par unité de longueur d’un motif périodique ( = fréquence spatiale maximale perceptible)

4 Introduction (3/8) Traduction quantitative de notions subjectives :
Détecter  moindre résolution Reconnaître  haute résolution Identifier des objets présents dans une image  très haute résolution Difficile car dépendant de l’application Ne peut se résumer à un chiffre car interviennent : Les performances instrumentales la capacité de l ’instrument à restituer les détails les plus fins le niveau de bruit (cf. radiométrie des images) La grille d’échantillonnage

5 Introduction (4/8) Effet d’une mauvaise restitution des contrastes
FTM élevée FTM moyenne FTM faible

6 Introduction (5/8) Trop de bruit peut noyer un détail haute fréquence
Aucun bruit Bruit important Bruit très important

7 Introduction (6/8) Echantillonnage inadapté à l’instrument
Image bien échantillonnée Image sous-échantillonnée

8 Introduction (7/8) Point important de vocabulaire :
« résolution RADIOMETRIQUE » : capacité à distinguer deux zones étendues de réflectances voisines exprimée en pas de quantification ou en unité physique « résolution SPATIALE » : restitution fidèle des détails du paysage (netteté des images + échantillonnage correct) exprimée en mètres

9 Résolution mesurée dans le plan de Fourier
Introduction (8/8) Comment aborder la notion de résolution ? on passe en revue les différents éléments constituant le système on privilégie le comportement vis à vis des variables d’espace en simplifiant : radiométrie  comportement du système face à un paysage uniforme résolution spatiale  comportement du système face aux variations spatiales suivant x et y du paysage résolution = couplage des deux Démarche adoptée : Analyse de la chaîne Image : modélisation des différents contributeurs physiques On aboutira à un modèle où la convolution joue un rôle central Analyse plus aisée dans le domaine de Fourier : TF(h*g)=TF(h).TF(g) Résolution mesurée dans le plan de Fourier

10 Plan de l’exposé (1/2) Analyse de la chaîne image
Vue d’ensemble L’atmosphère Le télescope Les détecteurs Le reste de la chaîne de prise de vue Le modèle de prise de vue dans le domaine spatial Passage au domaine fréquentiel Le modèle de prise de vue dans le domaine de Fourier Les fonctions de transfert des éléments de la chaîne et la fonction de transfert globale

11 Plan de l’exposé (2/2) Effet de l’échantillonnage
Rappels théoriques (1D) Cas de la grille image (2D) Adaptation échantillonnage / instrument Traitement des images Interpolation des images Déconvolution des images Débruitage des images Bibliographie Annexe : Rappels d’analyse de Fourier

12 Analyse de la chaîne image

13 Analyse de la chaîne image (1/25) Vue d’ensemble
Cas typique : système pushbroom type SPOT Paysage L Instrument Image I détecteurs électronique n bits CAN optique (x,y) continus L(x,y) continu (x,y) continus I(x,y) continu (x,y) échantillonnés I(x,y) continu (x,y) échantillonnés I(x,y) quantifié

14 Analyse de la chaîne image (2/25) Vue d’ensemble
Chacun des éléments constituant la chaîne instrumentale est assimilé à un système linéaire et spatialement invariant linéarité : I(aP1 + bP2) = aI(P1)+bI(P2) invariance spatiale : I(Pdécalé) = (I(P))décalé L’effet de chaque contributeur i est alors modélisable par un produit de convolution avec une fonction hi appelée réponse impulsionnelle : Si(e) = e*hi hi est par définition l’image d’un point par le contributeur i, en général une tache La réponse impulsionnelle globale est le produit de convolution des réponses impulsionnelles des divers contributeurs

15 Analyse de la chaîne image (3/25) L’atmosphère
Les phénomènes et leur impact : absorption gazeuse  atténuation, pas d’impact sur la résolution diffusion par les molécules et les aérosols lumière issue du sol n’atteignant pas le télescope : atténuation lumière n’ayant pas rencontré le sol : fond lumière issue de l’environnement du point visé : fond ou dégradation de la résolution turbulence  modification de l’indice de réfraction : scintillement : bruit flou : dégradation de la résolution

16 Analyse de la chaîne image (4/25) L’atmosphère
La diffusion : la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale décroissante hdif dont le rayon du support S est l’ordre du km effet de fond pour les échelles inférieures à  100 m : effet de flou pour les échelles supérieures à  100 m

17 Analyse de la chaîne image (5/25) L’atmosphère
La turbulence : variations d’indice  déformation de la surface d’onde  trajet non rectiligne de la lumière  effet d’environnement on peut reprendre le formalisme vu pour la diffusion la contribution de l’environnement fait intervenir une fonction radiale décroissante hturb dont le rayon du support S est l’ordre de quelques centimètres  effet négligeable aux échelles supérieures ou égales à 20 cm  effet de flou aux échelles inférieures ou égales à 20 cm l’impact est d’autant plus fort que la turbulence est loin de la source  fort en astronomie  faible pour l’observation de la terre

18 Analyse de la chaîne image (6/25) L’atmosphère
Rôle de la distance entre la source et les turbulences : Source loin des turbulences (astronomie) : Turbulence Le front d’onde varie localement selon la turbulence source capteur

19 Analyse de la chaîne image (7/25) L’atmosphère
Source près des turbulences (observation de la terre) : Turbulence Le front d’onde varie assez peu localement source capteur

20 Analyse de la chaîne image (8/25) Le télescope
Cf cours diffraction et optique de Fourier : le télescope est un système linéaire vis à vis des luminances (lumière incohérente) et spatialement invariant l’image d’un point lumineux est une tache même pour un télescope parfait du fait de la diffraction : sa réponse impulsionnelle hopt(x,y) la connaissance de hopt(x,y) suffit pour caractériser le télescope : paysage = somme de points lumineux pondérés juxtaposés image = somme pondérée des réponses impulsionnelles juxtaposées plus hopt est large, moins l’instrument est résolvant dans le cas réel, d’autres phénomènes que la diffraction vont contribuer à élargir hopt : aberrations, défauts de réalisation ....

21 Analyse de la chaîne image (9/25) Le télescope
Notations : i_géom = image prévue par l ’optique géométrique i = image réelle P = paysage hopt = réponse impulsionnelle g = grandissement Optique géométrique : i_geom représente le paysage au grandissement près Optique de Fourier : LISSAGE de i_geom par la réponse impulsionnelle

22 Analyse de la chaîne image (10/25) Le télescope
Analogie avec l ’électronique : Temps t (seconde) fréquence f d’une sinusoïde temporelle (hertz) stationnarité réponse impulsionnelle h(t) Position x,y (mètre) fréquence spatiale (fx,fy) d’un motif périodique (mètre-1) invariance spatiale tache image h(x,y)

23 Analyse de la chaîne image (11/25) Le télescope
Point lumineux en entrée de l’instrument physiquement : « impulsion » optique mathématiquement : dirac d(x,y) Résultat dans l’image: physiquement : réponse à un point lumineux = tache image mathématiquement : h(x,y)* d(x,y)=h(x,y) Normalisation de la réponse impulsionnelle entrée = paysage uniforme de luminance L sortie = image uniforme de niveau normalisation de h pour que sortie = entrée lorsque le paysage est uniforme

24 Analyse de la chaîne image (12/25) Le télescope
Interprétation physique (suite) : correspondance entre tache image et surface contribuant au niveau du pixel dans l’image : Voisinage de B contribuant à la mesure en B ’ Image du point A = tache centrée sur A ’  A’ = image géométrique de A Altitude Focale A’ A B’ B

25 Analyse de la chaîne image (13/25) Le télescope
Exemple : réponse impulsionnelle d’un télescope à pupille circulaire limité par la diffraction théorie : réponse impulsionnelle = |TF(circ(r))|² = fonction d’Airy TF 1

26 Analyse de la chaîne image (14/25) Les détecteurs
Surface photosensible du détecteur élémentaire rectangle de côtés px et py Distance entre détecteurs élémentaires = x Distance entre les lignes = y y=Vsol .te, en général on règle te (temps d’échantillonnage) pour que x= y px py x y

27 Analyse de la chaîne image (15/25) Les détecteurs
Intégration sur la surface élémentaire : Luminance équivalente L Surface du détecteur Sd Quantité de charges Q cette quantité peut s’écrire comme un produit de convolution avec une fonction hdétecteur,valant idéalement 1 sur sa surface photosensible et 0 en dehors. Convolution (1D) *

28 Analyse de la chaîne image (16/25) Les détecteurs
Intégration sur la surface élémentaire hdétecteur est la réponse impulsionnelle associée au détecteur détecteur parfait tout le détecteur est photosensible la sensibilité est constante sur toute la surface photosensible un détecteur n’a pas d’influence sur ses voisins hdétecteur idéal = 1 sur la surface normalisée du détecteur, 0 à l’extérieur hdétecteur idéal = produit séparable d’une fonction porte en x par une fonction porte en y détecteur réel un détecteur influe sur ses voisins (diffusion des charges) h détecteur réel ne vaut pas strictement 0 à l’extérieur du détecteur

29 Analyse de la chaîne image (17/25) L’effet de filé
Déplacement durant le temps d’intégration : effet de filé un bougé durant la prise de vue introduit du flou cas général d’un satellite défilant : satellite défilant sur paysage fixe = paysage défilant et satellite fixe effet = moyennage du paysage dans la direction de défilement cas particulier du pushbroom défilement orthogonal à la ligne détectrice : vitesse sol V, temps de pose ti Dist=Vti en général ti = te moyennage du paysage dans la direction y sur une distance égale à Vti convolution avec une fonction porte 1D de la variable y, de largeur Vti

30 Analyse de la chaîne image (18/25) L’effet de filé
Illustration du filé: effet de flou monodimensionnel Mire horizontale floue Contour vertical flou référence Filé vertical 5 pixels Filé horizontal 5 pixels

31 Analyse de la chaîne image (19/25) Echantillonnage du signal continu
Signal issu d’un détecteur : résultat d’un produit de convolution en (x0,y0) valeur du pixel (i,j) Signal du détecteur voisin : valeur du même produit de convolution pris au point (x0+x,y0) valeur du pixel (i,j+1) Signal sur la ligne suivante : valeur du même produit de convolution pris au point (x0,y0+y) valeur du pixel (i+1,j) barrette x y Colonne j Colonne j+1 Ligne i+1 Ligne i déplacement

32 Analyse de la chaîne image (20/25) Echantillonnage du signal continu
En sortie détecteur, l’image correspond donc au produit de convolution obtenu pris sur une grille: NB: dans tout ce qui suit, les réponses impulsionnelles sont normalisées (intégrale = 1) A est le coefficient d ’étalonnage absolu( conversion luminance / compte numérique )

33 Analyse de la chaîne image (21/25) le reste de la chaîne de prise de vue
Les phénomènes linéaires intervenant après l’échantillonnage par le détecteur ex : diffusion, inefficacité de transfert peuvent être restitués par des réponses impulsionnelles élémentaires convolution discrète Regroupement des réponses impulsionnelles élémentaires avant le peigne représentant l’échantillonnage : Commutativité de l’échantillonnage et de la convolution discrète

34 Analyse de la chaîne image (22/25) le reste de la chaîne de prise de vue
L’amplification, la mise en forme du signal ne joue que sur l’amplitude globale du signal et ne modifie pas la réponse impulsionnelle La chaîne d’acquisition ajoute au signal convolué/échantillonné différents bruits (cf radiométrie)

35 Analyse de la chaîne image (23/25) modèle de prise de vue dans le domaine spatial
Notations : h1, h2 … hn réponses impulsionnelles élémentaires normalisées h = h1*h2*…*hn réponse impulsionnelle globale normalisée A : coefficient d’étalonnage absolu Modèle :

36 Analyse de la chaîne image (24/25) modèle de prise de vue dans le domaine spatial
Exemple : SPOT pas d’effet lié à l’atmosphère télescope : hopt(x,y)  tache d’Airy = (plan focal) intégration détecteur : filé : réponse impulsionnelle globale = hopt* hdétecteur*hfilé

37 Analyse de la chaîne image (25/25) résumé
L'instrument est assimilé à un système linéaire et spatialement invariant L’effet de chaque élément de la chaîne instrumentale i est alors modélisable par un produit de convolution avec une fonction hi appelée réponse impulsionnelle Les détecteurs provoquent un échantillonnage Au final : sortie = entrée*(réponse impulsionnelle).peigne

38 Passage dans le domaine fréquentiel

39 Le domaine fréquentiel (1/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
Modèle dans le domaine spatial  produits de convolution Passage dans le domaine de Fourier pour : transformer ces produits de convolution en produits simples interpréter plus facilement le modèle en termes de fréquences spatiales Modèle dans le domaine fréquentiel : on l’obtient par Transformation de Fourier du modèle dans le domaine spatial :

40 Le domaine fréquentiel (2/18) Les fréquences spatiales
x y x y Domaine spatial Domaine de Fourier fx fy fx fy

41 Le domaine fréquentiel (3/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
fx,fy sont des fréquences spatiales et s’expriment en mètre-1 H(fx,fy) = fonction de transfert globale, produit des fonctions de transfert élémentaires : H(fx,fy) = H1(fx,fy).H2(fx,fy). … Hn(fx,fy) |H (fx,fy) |=Fonction de Transfert de Modulation (FTM) peigne de pas

42 Le domaine fréquentiel (4/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
fex et fey sont les fréquences d’échantillonnage (m-1) et sont des fréquences spatiales normalisées Propriétés : H(0,0) = 1 puisque par normalisation Hors traitement, FTM(fx,fy) = fonction décroissante h(x,y) réelle et paire  H(x,y) réelle et paire Attention ! par abus de langage on confond souvent FTM et Fonction de transfert .

43 Le domaine fréquentiel (5/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
Interprétation physique de la FTM : mire sinusoïdale de période a variant selon x  fréquence pure fx=1/a (contraste image de la mire) / (contraste de la mire) = FTM(fx=1/a, fy=0) d’où FTM élevée  bonne restitution des contrastes  netteté FTM faible  mauvaise restitution des contrastes  flou

44 Le domaine fréquentiel (6/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
Entrée Sortie instrument A A’ Si on fixe le contraste A et que l’on mesure le contraste A’ à chaque fréquence, la courbe A’/A est la FTM

45 Le domaine fréquentiel (7/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
Image en entrée le contraste diminue lorsque la fréquence augmente Image filtrée

46 Le domaine fréquentiel (8/18) Le modèle dans le domaine de Fourier
Effet de la FTM sur l’image : restitution des contrastes “Bonne” FTM : image nette “Mauvaise” FTM : image floue

47 Le domaine fréquentiel (9/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
FTM de l’atmosphère : Diffusion : Turbulences :

48 Le domaine fréquentiel (10/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
FTM optique : Limitation théorique due à la diffraction optique : Pupille circulaire : taille angulaire de la tache de diffraction = 1.22 / D D : diamètre de l'optique collectrice et  la longueur d'onde taille = dans le plan focal (F, focale du télescope) taille = au sol Les fréquences spatiales au-delà de ne sont pas transmises. Les fréquences spatiales sont atténuées entre 0 et fc Ordre de grandeur : SPOT PA l=0.6 µm, D=0.33 m f=1.082 m diamètre de la tache=2.4 µm A comparer à la taille du détecteur (13x13 µm2) !

49 Réponse impulsionnelle théorique de l’optique
Le domaine fréquentiel (11/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale FTM optique (suite) Cas général : la FTM optique est la fonction d’autocorrélation de la pupille d’entrée (aire de l’intersection en fonction du décalage) Pour l’intrument à pupille circulaire limité par la diffraction: Réponse impulsionnelle théorique de l’optique FTM théorique de l’optique f < fc f > fc Pas de recouvrement si f > diamètre fréquentiel du disque Fréquence de coupure fc = D/l

50 Le domaine fréquentiel (12/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
FTM optique (fin): Chaque combinaison optique théorique possède une FTM dégradée par rapport à ce cas idéal (astigmatisme, aberrations, occultation) Les problèmes de réalisation (homogénéité, polissages...) et de positionnements relatifs (défocalisation, tilts...) des optiques dégradent encore la performance. Diverses modélisations : linéaire diffraction dégradation % diffraction Modèle linéaire

51 Le domaine fréquentiel (13/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
FTM Détecteur : Le détecteur va intégrer le signal sur sa surface : sa réponse impulsionnelle théorique est une fonction porte bidimensionnelle dont la transformée de Fourier est : avec fx et fy les fréquences spatiales suivant les axes X (barrette) et Y (défilement) et px et py les tailles du détecteur selon X et Y Réponse impulsionnelle théorique du détecteur FTM théorique du détecteur En réalité, la FTM est dégradée, surtout dans la direction fx (diffusion de charges interdétecteurs)

52 Réponse impulsionnelle du filé Réponse impulsionnelle de filé
Le domaine fréquentiel (14/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale FTM de Filé : Le détecteur bouge par rapport au paysage pendant le temps d'intégration ti : ce déplacement va moyenner le signal selon l'axe Y sur une longueur de V.ti. La FTM associée est donc : Réponse impulsionnelle du filé Réponse impulsionnelle de filé FTM de Filé

53 Le domaine fréquentiel (15/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
FTM globale : La FTM est essentiellement le produit de 3 contributeurs : Télescope : la FTM est d’autant meilleure que le rapport focale/diamètre est petit coupure de l’optique : D/l en rad-1, D/(lF) en m-1 dans le plan focal Détecteur : la FTM est liée à la taille du détecteur (px; py) coupure du détecteur : (F/px; F/py) en rad -1, (1/px; 1/py) en m-1 dans le plan focal Filé : la FTM est liée au déplacement du point visé pendant le temps d’intégration coupure du filé selon l’avancement : H/(Vti) en rad -1, H/(FVti) dans le plan focal L’instrument est un filtre passe-bas pour les fréquences spatiales, sa fonction de transfert est globalement décroissante

54 Le domaine fréquentiel (16/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale
Exemple : allure de la courbe de FTM globale (coupes) pour SPOT :

55 Réponse impulsionnelle
Le domaine fréquentiel (17/18) Fonctions de transfert élémentaires et globale Récapitulatif : Où : Téléscope à pupille circulaire Détecteur rectangulaire Filé Réponse impulsionnelle élémentaire Fonction de transfert (Au plan focal)

56 Le domaine fréquentiel (18/18) Résumé
La Transformation de Fourier transforme : le produit de convolution en multiplication simple un peigne de pas p en un peigne de pas 1/p Au final : TF(sortie) = TF(entrée)(fonction de transfert)*peigne(1/p) Instrument = filtre passe-bas

57 L’échantillonnage

58 L’échantillonnage des images (1/24)
Modèle fréquentiel de prise de vue : Peigne fréquentiel Analyse fréquentielle des effets de la convolution par le peigne d’échantillonnage

59 L’échantillonnage des images (2/24)
Introduction : un exemple monodimensionnel Signal initial 3 échantillonnages différents : (n points par période) n = 8 on “reconnaît” la sinusoïde n = 2 Perte de l’information de phase et d’amplitude n < 1 Perte de la fréquence

60 L’échantillonnage des images (3/24)
Analyse empirique de l’exemple précédent : Soit fe la fréquence d’échantillonnage Fréquences accessibles limitées à [-fe/2, fe/2] Le choix de la fréquence d’échantillonnage est déterminant : fe grande : on reconstitue le signal continu original fe petite : on ne reconstitue pas le signal continu original fe doit être comparée aux fréquences présentes dans le signal non échantillonné L’analyse mathématique du problème fait appel à la transformée de Fourier des signaux discrets et conduit au théorème de Shannon

61 L’échantillonnage des images (4/24)
Analyse de Fourier des fonctions périodiques : T-périodicité spectre de raies de pas 1/T (harmoniques) Réciproquement : La fonction périodique est la TF_inverse de son spectre discret Série de Fourier T x n La Transformée de Fourier échange Périodicité et discrétisation

62 L’échantillonnage des images (5/24)
Le peigne de Dirac: pics de Dirac positionnés sur les échantillons : Modélisation de l ’échantillonnage: soit f le signal continu, fd le signal discret : La Transformée de Fourier d ’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac Formule de Poisson Le spectre est donc périodique de période fe

63 L’échantillonnage des images (6/24)
Mise en évidence de la formule de Poisson : Tracé des sommes partielles pour différentes valeurs de n n=5 sinusoïdes n=20 sinusoïdes n=100 sinusoïdes n=500 sinusoïdes Lorsque n augmente, la Série tend vers le peigne de Dirac

64 L’échantillonnage des images (7/24)
Le théorème de Shannon monodimensionnel Toute l’information est contenue dans le motif périodique [-fe/2, fe/2] Cette information représente le spectre du signal continu ssi les termes de la somme ne se recouvrent pas : spectre du signal continu = 0 en dehors de [-fe/2, fe/2] Si spectre  [-fmax,fmax], il faut échantillonner avec fe  2fmax Non-respect de la condition de SHANNON : les signaux de fréquence  fe/2 ne sont pas transmis par l’échantillonnage => perte d’information Pire encore, les signaux de fréquence  fe/2 sont interprétés comme des signaux à basse fréquence (c’est-à-dire de fréquence inférieure à fe/2) : repliement de spectre => fausse information

65 L’échantillonnage des images (8/24)
y Retour à la sinusoïde 1D : Y=Sin(2px) Pas=0.1  fe=10 f_max=1 TF(y) 1 point sur 2 : 5 pts/période 1 point sur 8 : 1.25 pts/période y2 y8 TF(y2) TF(y8)

66 L’échantillonnage des images (9/24)
Effets de l'échantillonnage : cas fe < 2fmax En monodimensionnel : Le spectre du signal échantillonné est la somme des répliques du spectre du signal continu. L’espacement entre ces répliques est inversement proportionnel à la finesse de l’échantillonnage (peigne de Dirac). Si l’espacement entre ces répliques est trop faible (échantillonnage trop lâche), il y a pollution de la zone fréquentielle accessible [-fe/2;fe/2] par les répliques : repliement de spectre Spectre du signal échantillonné -2.fe -fe fe 2.fe Motif périodique Répliques Spectre du signal continu

67 L’échantillonnage des images (10/24)
Effets de l'échantillonnage : cas critique fe=2fmax En monodimensionnel : Pas de repliement si le spectre du signal continu est nul en dehors de [-fe/2;fe/2] Il est inutile d’augmenter fe au-delà de 2fmax (Augmentation inutile du nombre d’échantillons) Spectre du signal continu Réplique -fe fe f e/2 -fe/2 Motif périodique Echantillonnage critique Débit minimum et Reconstruction parfaite

68 L’échantillonnage des images (11/24)
Reconstruction du signal continu : INTERPOLATION Isoler le motif périodique du spectre du signal discret sur [-fe/2, fe/2] Multiplication par une porte fréquentielle à support [-fe/2, fe/2] Spectre de l’image continue Réplique -fe fe fe/2 -fe/2 Motif périodique fe/2 -fe/2 Multiplication TF Spectre du signal échantillonné Spectre du signal continu Convolution Signal échantillonné Signal continu

69 L’échantillonnage des images (12/24)
Conclusion sur l ’échantillonnage monodimensionnel Echantillonner f, c’est la multiplier par un peigne de Dirac Par Transformée de Fourier, cela équivaut à PERIODISER son spectre Reconstruction = Interpolation = convolution par un peigne fe -fe On retrouve par troncature du support fe grand fe -fe On ne retrouve pas par troncature du support : repliement de spectre fe petit

70 L’échantillonnage des images (13/24)
Echantillonnage de l’image : L'image, continue dans le plan focal, est échantillonnée dans les deux directions : par les détecteurs selon l'axe X DX= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne par un échantillonnage temporel (barrette) ou les détecteurs (matrice) selon l'axe Y DY= taille entre centres de détecteurs adjacents en colonne (matrice) ou Vte (barrette) Dans le cas standard, la grille est carrée : DX=DY dans le cas matrice, les détecteurs sont carrés dans le cas barrette, on fixe te tel que Vte=DX On peut imaginer d’autres grilles : rectangulaire, quinconce, hexagonale ...

71 L’échantillonnage des images (14/24)
Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque Réseau d ’échantillonnage défini par deux vecteurs Peigne de Dirac associé au réseau : Echantillonnage de l ’image = multiplication par le peigne associé au réseau : V1 V2

72 L’échantillonnage des images (15/24)
Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque La transformée de Fourier du peigne associé au réseau d’échantillonnage est un peigne fréquentiel dont les pics sont localisés sur un réseau « réciproque » R-1 : Le spectre de l’image échantillonnée est représentée par le produit du spectre de l’image continue par ce peigne fréquentiel :

73 L’échantillonnage des images (16/24)
Modélisation d’un échantillonnage 2D quelconque Le spectre de l’image échantillonnée est donc la convolution du spectre de l’image continue par le peigne « réciproque » spectre périodique, invariant par toute translation du type motif contenu dans une cellule de surface égale à la densité d ’échantillonnage repliement de spectres si les spectres translatés selon le réseau réciproque se recouvrent plus l’échantillonnage est dense, plus les points du réseau réciproque sont éloignés les uns des autres, diminuant le risque de repliement U2 U1

74 Echantillonnage trop lâche
L’échantillonnage des images (17/24) Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2 Echantillonnage trop lâche TF[image continue] TF[image échantillonnée] Cellule réciproque = [-fe/2,fe/2]2 Echantillonnage suffisamment dense

75 L’échantillonnage des images (18/24)
Condition de Shannon bidimensionnelle : condition nécessaire et suffisante : le spectre de l’image continue doit être inclus dans une forme géométrique F de surface det(U) réalisant un pavage du plan fréquentiel (pas de recouvrement ! ! !) par translation selon les vecteurs du réseau réciproque condition suffisante : pas de directions fréquentielles privilégiées (FTM isotrope) forme F la plus isotrope Spectre de l’image continue inclus dans la Cellule réciproque

76 L’échantillonnage des images (19/24)
Définition de la cellule réciproque : Construction des médiatrices des segments joignant l ’origine (fréquences nulles) aux voisins du réseau réciproque Chaque médiatrice divise le plan en deux demi-plans Cellule réciproque = intersection de tous les demi plans contenant l’origine cas général : un hexagone grille spatiale carrée un carré Spectre débordant de la cellule Repliement de spectres

77 L’échantillonnage des images (20/24)
Impact d’un échantillonnage insuffisamment dense Pertes des fréquences de l’image continue situées en dehors de la cellule réciproque Pollution des fréquences situées à l’intérieur de la cellule réciproque par repliement de spectres un motif sinusoïdal de fréquence (fx,fy), d’orientation et de module située à l’extérieur de la cellule va devenir un motif sinusoïdal basse fréquence dont l’orientation aura changé les contours (objets haute fréquence) sont hachés Le rééchantillonnage n’est plus mathématiquement justifié

78 L’échantillonnage des images (21/24)
Paysage Haute fréquence Grille d’échantillonnage

79 L’échantillonnage des images (22/24)
Exemple de repliement de spectre bidimensionnel 2 images d’un même paysage, obtenues avec une même FTM instrumentale, mais avec un échantillonnage 2 fois plus lâche : Echantillonnage adapté : contours continus, bonne restitution de la mire Echantillonnage trop lâche : contours hâchés, mire modifiée en fréquence et orientation

80 L’échantillonnage des images (23/24)
Notion de Support Utile de la FTM : La FTM quantifie la capacité instrumentale à transmettre les fréquences spatiales L’image est par ailleurs perturbée par les bruits radiométriques (supposés blancs fréquentiellement) Pour qu’une fréquence (fx,fy) d’amplitude S puisse être distinguée du bruit : Le support utile de la FTM est le domaine où elle est supérieure à k/(S/B) Adaptation cellule réciproque / Support utile de la FTM ...

81 L’échantillonnage des images (24/24) Résumé
Echantillonnage 1D: signal continu échantillonné au pas pe : TF(signal) périodique de période fe=1/pe Echantillonnage à fe  bande de fréquences accessibles = [-fe/2, fe/2]= [-1/(2.pe), 1/(2.pe) ] Théorème de Shannon: pour reconstituer le signal continu à partir des échantillons, la fréquence de coupure de la TF du signal continu doit être inférieure à fe/2 Echantillonnage 2D : TF(image) périodique dans le plan fréquentiel Bande de fréquences accessible par l'échantillonnage = cellule réciproque Théorème de Shannon: le support de la TF du signal continu doit être contenu dans la cellule réciproque Repliement de spectre = artefact induit par un échantillonnage trop lâche perte d'information ou fausse information

82 Adaptation échantillonnage / instrument

83 Adaptation Echantillonnage/Instrument (1/23)
Echantillonnage défini par la cellule réciproque La cellule réciproque doit épouser le support utile de la FTM Les fréquences perdues sont indiscernables du bruit : on exploite au mieux les capacités de l’instrument de prise de vue Le repliement reste minime et la reconstruction exacte par interpolation est possible avec une très bonne approximation On minimise la densité d’échantillonnage, donc le débit Les problèmes Choix limité des échantillonnages (donc des cellules) Déterminer le facteur k du support utile (expérimentations) Couplage entre échantillonnage/détecteur Restauration sol pour compenser l’affaiblissement des hautes fréquences spatiales par la FTM sans remonter le bruit

84 Adaptation Echantillonnage / Instrument (2/23)
Mode de prise de vue “classique” (pousse-balai) : Pour une acquisition par barrette CCD, une ligne de l’image brute correspond à des pixels acquis simultanément par la barrette et une colonne correspond à des pixels acquis successivement par un même détecteur de la barrette. La géométrie d’acquisition classique impose alors : Réseau d’échantillonnage carré selon X (axe barrette) et Y (axe de défilement) DX= taille entre centres de détecteurs adjacents en ligne Pour une altitude et une focale données, cette condition fixe px (dimension détecteur) DY= déplacement du point subsatellite en un temps d ’échantillonnage. Pour une altitude donnée imposant la vitesse, cette condition fixe te. Pour la Haute Résolution, on est confronté à un manque de signal. Si l’altitude H est fixée, alors ti aussi (ti  te) et on ne peut qu’augmenter D, le diamètre de l’optique collectrice.

85 Adaptation Echantillonnage / Instrument (3/23)
Mode de prise de vue “classique” : Cette géométrie de prise de vue impose donc un instrument de grande taille pour faire de la haute résolution avec un rapport S/B correct Avec ce dimensionnement classique : la FTM optique a des valeurs très élevées à fe/2 (de l’ordre de 0,5) : la fréquence de coupure est élevée car D grand la FTM instrument selon X vaut donc 0,32 à fe/2 : la FTM instrument selon Y vaut donc 0,2 à fe/2 (en supposant le détecteur carré) : En revanche, la FTM est nulle à fe (en X et en Y à cause des sinus cardinaux) et très faiblement négative ensuite (second lobe des sinus cardinaux)

86 Adaptation Echantillonnage / Instrument (4/23)
Mode de prise de vue “classique” : la FTM sort de la cellule !!!

87 Adaptation Echantillonnage / Instrument (5/23)
Mode de prise de vue “classique” : On aboutit à un instrument avec repliement de spectre et sous utilisé : toute l’information utile transmise par l’instrument n’est pas rendue accessible du fait d’un échantillonnage insuffisament dense… Problème insoluble en échantillonnage classique : coupure optique lointaine car D grand pour avoir S/B raisonnable coupure imposée par la taille du détecteur mais pas d’échantillonnage = taille détecteur Couplage coupure/échantillonage SHANNON non satisfait

88 Adaptation Echantillonnage / Instrument (6/23)
Pour parvenir à adapter l’échantillonnage à l’instrument (c’est-à-dire adapter le support utile de la FTM à la cellule réciproque de l’échantillonnage), il faut donc découpler coupure et échantillonnage Concept HIPERMODE (91) : échantillonnage double en ligne et en colonne Concept SUPERMODE (94) : échantillonnage quinconce Concept SUPERMODE Piloté (95) : suréchantillonnages encore plus élevés La réalisation pratique de ces échantillonnages est délicate Densification de l’échantillonnage à iso coupure fréquentielle

89 Adaptation Echantillonnage / Instrument (7/23)
Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : en spatial : en fréquentiel :

90 Adaptation Echantillonnage / Instrument (8/23)
Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE :

91 Adaptation Echantillonnage / Instrument (9/23)
Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : Réalisation pratique : HIPERMODE : 4 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 dans les deux directions ou 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce et temps d’intégration ti divisé par deux / cas standard densification de l’échantillonnage d’un facteur 4 SUPERMODE : 2 barrettes dans le plan focal décalées de x/2 en quinconce (ti inchangé) : Solution adoptée par SPOT5 réalise un échantillonnage quinconce : grille carrée de pas réduit d’un facteur tournée de 45 degrés densification de l’échantillonnage d’un facteur 2

92 Adaptation Echantillonnage / Instrument (10/23)
Barrette 1 3,5 lignes Barrette 2 0,5 pixel Vitesse du satellite Détecteur panchromatique

93 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

94 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

95 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

96 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

97 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

98 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

99 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

100 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

101 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

102 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

103 Génération de la grille
Adaptation Echantillonnage / Instrument (11/23) Génération de la grille d’échantillonnage en quinconce

104 Adaptation Echantillonnage / Instrument (12/23)

105 Adaptation Echantillonnage / Instrument (13/23)
Les concepts HIPERMODE / SUPERMODE : comparaison Hipermode/Supermode : deux fois moins de débit pour le supermode meilleur rapport S/B pour le supermode FTM dégradée en colonne (filé) pour le supermode car ti deux fois plus long qu’Hipermode, compensée par une réduction de la zone photosensible en y meilleure adaptation de la cellule réciproque à la zone utile de la FTM réalisation bien plus aisée (fréquence de travail des CCD) Extension du supermode : Pilotage de la ligne de visée : ralenti en tangage et variation du roulis => SUPERMODES Pilotés Choix du mode Supermode pour SPOT5

106 Adaptation Echantillonnage / Instrument (14/23)
Justification du SUPERMODE sur SPOT 5 : Image différence : information différentielle ténue mais capitale (contours) Seconde image 5 m (décalée de 2,5 m en ligne et colonne) Première image 5 m

107 Adaptation Echantillonnage / Instrument (15/23)
Traitement des images SUPERMODE SPOT 5 Image 1 Image finale Image intermédiaire Entrelacement Interpolation Restauration Image 2 Echantillonnage 5 m Echantillonnage 2.5 m Echantillonnage 2.5 m

108 Adaptation Echantillonnage / Instrument (16/23)
Images SUPERMODE SPOT 5 : Image entrelacée et interpolée Image restaurée Une des 2 images initiales

109 Adaptation Echantillonnage / Instrument (17/23)
Extensions du mode supermode SPOT5 : Mode QI : le mode Supermode fonctionne encore même si le décalage entre images est différent de 0.5 pixels, à condition d’être localement constant. entrelacement de deux images standard décalées, acquises simultanément par deux instruments différents (possible sur SPOT1 à 4) traitement rendu difficile par la variabilité du décalage dans le champ Modes supermodes pilotés : densification de l’échantillonnage sans changer l’instrument par pilotage de la ligne de visée en roulis et tangage permet de réaliser des grilles carrés tournées de pas arbitrairement fins, sous réserve de la manoeuvrabilité de la plate forme

110 Adaptation Echantillonnage / Instrument (18/23)
Traitement des images Mode QI SPOT : Acquisition simultanée du même paysage par les deux instruments Décalages entre ces deux images non prédictibles et variables dans le champ : Corrélation pour déterminer les décalages Interpolation pour ramener les deux images dans une grille commune Restauration (débruitage / déconvolution) de l’information contenue dans l’image Im 1 Corrélation Interpolation Image entrelacée Image interpolée Image finale Restauration Im 2

111 Adaptation Echantillonnage / Instrument (19/23)
Images Mode QI SPOT : Image panchromatique 10 m Image Mode QI 5 m

112 Adaptation Echantillonnage / Instrument (20/23)
Images Mode QI SPOT : Image multispectrale 20 m Image Mode QI 10 m

113 Adaptation Echantillonnage / Instrument (21/23)
Conception d’instruments futurs : Il ne s’agit plus seulement d’adapter l’échantillonnage à un instrument existant mais de concevoir l’optique, la détection et l’échantillonnage en harmonie => équivalence des domaines fréquentiels accessibles : par l’optique (=> joue sur le diamètre D) par le détecteur (=> joue sur la taille du détecteur) par l’échantillonnage Parallèlement à cette optimisation du domaine fréquentiel accessible, il faut maintenir le S/B admissible grâce à : diamètre de la pupille pas trop petit ralenti en tangage détecteurs TDI sommation de plusieurs acquisitions

114 Adaptation Echantillonnage / Instrument (22/23)
Conception d’instruments futurs : Spécifications types pour une résolution objectif « p0 » (en mètres) : définition d’un domaine fréquentiel visé : couronne fréquentielle de rayon le support utile de la FTM doit inclure le domaine fréquentiel visé. Il est défini par : FTMxS/B > k, k de l’ordre de 10 mais dépendant de la mission FTM>FTMmin, de l’ordre de 0.05 S/B >S/Bmin, de l’ordre de 100 aux luminances moyennes (L2) on dimensionne en général l’instrument au plus juste : le support utile de la FTM est le plus proche possible du domaine fréquentiel visé Echantillonnage : la cellule réciproque associée à l’échantillonnage doit inclure de domaine fréquentiel visé le support utile de la FTM doit occuper significativement la surface de la cellule réciproque pour optimiser le débit (pas trop de suréchantillonnage)

115 Adaptation Echantillonnage / Instrument (23/23) Résumé
Dimensionnement classique : FTM optique élevée et couplage échantillonnage/FTM par le détecteur (fe=fc) L'instrument est sous-utilisé Images brutes nettes et sans bruit, mais information fausse (repliement de spectre) Optimisation d'un instrument existant : densification de l'échantillonnage sans changer la FTM : Supermode (2 barrettes décalées) Conception optimisée globale : Critère QI pour la résolution à la fréquence spatiale fo: FTM(fo). S > k. Bruit Information échantillonnée "de qualité" : respect du critère de Shannon fe/2  fc L'instrument est utilisé optimalement Images brutes floues et bruitées Traitement Sol de restauration

116 Traitements des images

117 1 L’interpolation (1/14) Reconstruction de l’image continue :
Justifiée ssi condition de Shannon vérifiée, ou au moins approchée Consiste à isoler la cellule réciproque dans l’espace fréquentiel multiplication du spectre périodique par c, fonction caractéristique de la cellule réciproque convolution de l’image échantillonnée par la transformée de Fourier inverse de c Dans la pratique, on rééchantillonne selon une autre grille par convolution discrète Zooms, rotation Rendre superposable à une autre image, à une carte … Rendre « lisible » tout échantillonnage non carré ou rectangulaire !!! fy fx 1

118 L’interpolation (2/14) Principe du zoom fréquentiel
I1: 256x256 I2: 512x512 Zoom 2 par un filtre de type sinx/x Domaine spatial de Fourier TF TF-1 On entoure le spectre de zéros : pas d’ajout d ’information

119 L’interpolation (3/14) Impact de l’insertion de 0
I2: 1024x1024 I1: 256x256 Insertion de 4 zéros entre chaque pixel Les zéros sont interpolés Domaine spatial de Fourier TF-1 TF -2fe 2fe -2fe 2fe On isole le motif BF Extension du domaine fréquentiel: de [-fe/2;fe/2] à [-2fe ;2fe] Périodisation du spectre : 16 répliques centrées sur (kfe, lfe), k={-1,0,1,2}, l={-1,0,1,2}

120 L’interpolation (4/14) Zoom quinconce dans Fourier
Entrelacement de I1 et I2 en quinconce Une image 512x512 interpolée 2 images I1 et I2 256X256 décalées de 0.5 pixels Les zéros sont interpolés Domaine spatial de Fourier TF TF-1 On isole le motif BF Extension du domaine fréquentiel: du carré bleu à [-fe ;fe] Périodisation du spectre : 2 répliques centrées sur

121 L’interpolation (5/14) Filtres 1D
Le plus proche voisin Porte idéale Aucun calcul : fonction constante par morceaux ... Inconvénient : fort repliement de spectre

122 L’interpolation (6/14) Filtres 1D
Interpolation linéaire Porte idéale Remarque : h1 = h0 * h0 d ’où TF(h1) = TF(h0)2 Un peu plus de calcul Moins de repliement mais atténuation dans la bande passante

123 L’interpolation (7/14) Filtres 1D
Le filtre bicubique : compromis petit support / fidélité fréquentielle approximation polynomiale de degré 3 du sinc sur [-2,2] Porte idéale pente en 1= -1 Porte idéale pente en 1= -0.5

124 L’interpolation (8/14) Filtres 1D
Sinus cardinal et sinus cardinal régularisé : Porte idéale Porte idéale

125 L’interpolation (9/14) Filtres 2D
Exemples de filtres d’interpolation : hexagonal régulier Filtre adapté au rééchantillonnage sur un réseau carré d’une image acquise sur un réseau hexagonal

126 L’interpolation (10/14) Filtres 2D
Exemples de filtres d’interpolation : quinconce Filtre adapté au rééchantillonnage sur un réseau carré d’une image acquise sur un réseau supermode

127 L’interpolation (11/14) Filtres 2D
Exemples de filtres d ’interpolation : grille carrée Filtre adapté au rééchantillonnage sur un réseau carré d ’une image acquise sur un réseau rectangle

128 L’interpolation (12/14) Choix d’un interpolateur
Importance du filtre interpolateur : Rotation de 15 ° bilinéaire bicubique Plus proche voisin

129 L’interpolation (13/14) Mise en œuvre 2D
Mathématiquement : reconstitution de la fonction continue à partir des échantillons réechantillonnage selon une autre grille de points = interpolation Interpolation en = pondération des échantillons voisins coefficients de pondération = = échantillonnage du filtre d’interpolation

130 L’interpolation (14/14) Mise en œuvre 2D avec le filtre bilinéaire
x -1 1

131 La restauration des images (1/21)
La Déconvolution des images : Contrairement aux images standard, la FTM des images “bien échantillonnées” est très faible au voisinage de la frontière de la cellule réciproque : une image bien échantillonnée est floue en sortie instrument. Il faut donc déconvoluer, c’est-à-dire inverser la FTM qui a atténué les composantes Haute Fréquence : Comme la FTM tend vers 0 à fe/2, la déconvolution va fortement amplifier les hautes fréquences : on parle de “réhaussement des contrastes” Cette déconvolution est légitime : pas de repliement de spectre => on amplifie des hautes fréquences “propres”

132 La restauration des images (2/21)
Notion d’image de référence pour un échantillonnage donné c’est l’image “idéale” obtenue avec un instrument “parfait” vérifiant les propriétés suivantes : instrument non bruité réponse impulsionnelle positive (l’instrument est physique) et la plus compacte possible instrument bien échantillonné FTM très faible hors de la cellule réciproque instrument atténuant peu les fréquences FTM proche de 1 à l’intérieur de la cellule réciproque remarque : les trois dernières propriétés sont difficiles à concilier (la TF d’une fonction à support compact est à support infini). Deux possibilités : compromis par régularisation de la réponse fréquentielle (apodisation) concentration conjointe espace/fréquence optimale : la prolate

133 La restauration des images (3/21)
Image en sortie instrument Exemple d’image idéale objectif : prolate

134 La restauration des images (4/21)
Définition de la prolate Soient CD et CR les cellules directes et réciproques de l’échantillonnage La prolate P est la fonction qui maximise la concentration d’énergie conjointement dans les deux cellules : Elle est calculée numériquement de manière itérative maximal maximal et Concentration spatiale dans CD Concentration fréquentielle dans CR

135 La restauration des images (5/21)
Mise en oeuvre de la déconvolution : Dans la pratique, la déconvolution repose sur le modèle suivant : avec SB le spectre du bruit radiométrique SIR le spectre de l’image de référence FTMI la FTM idéale correspondant à l’image de référence On obtient donc une estimation de l’image de référence par :

136 La restauration des images (6/21)
Mise en oeuvre de la déconvolution : premier problème Application du filtre déconvolueur filtre théorique : Fréquentiellement, il est à variations rapides dans les hautes fréquences lorsque le dénominateur est proche de 0 Son support fréquentiel est théoriquement compact Les rebonds de sa réponse impulsionnelle s’atténuent lentement au voisinage des transitions (transitions fantômes) problèmes de temps calcul Génération de filtres par apodisation de la réponse fréquentielle

137 La restauration des images (7/21)
Exemples de filtres déconvolueurs : FTMI = FTMobjectif D Réponse fréquentielle modifiée Troncature spatiale FTM D tronqué

138 La restauration des images (8/21)
Phénomène de Gibbs : intérêt de l’apodisation Filtre1 Filtre1 apodisé Filtre1 tronqué Filtre1 apodisé tronqué

139 La restauration des images (9/21)
Phénomène de Gibbs : intérêt de l’apodisation Apodisation => déconvolution satisfaisante Pas d’apodisation => artefacts notables

140 La restauration des images (10/21)
Mise en oeuvre de la déconvolution : deuxième problème Le bruit radiométrique va être amplifié en même temps que les hautes fréquences utiles : soit on déconvolue normalement et on amplifie fortement le bruit soit on déconvolue mollement pour éviter de trop amplifier le bruit et les détails haute fréquence sont insuffisamment amplifiés soit on essaie de discerner le signal utile du bruit Restauration = Déconvolution + Débruitage

141 La restauration des images (11/21)
Le Débruitage des images : La déconvolution, en amplifiant les hautes fréquences de l’image brute, ne change pas le rapport signal sur bruit, mauvais dans les hautes fréquences Deux familles de débruitages : Bruits structurés : égalisation, compression ... => traitements spécifiques, adaptés à chaque type de bruit Bruits fréquentiellement blancs : bruit photonique + bruit d’amplification + bruit de quantification (hors compression) Modèle : => débruitage dépendant de la position spatiale car le S/B varie du fait de la variation de B mais surtout de S !!! => débruitage dépendant de la position fréquentielle : on veut débruiter plus fortement dans les hautes fréquences Nécessité d ’une analyse Espace-Fréquence de l’image : ondelettes

142 La restauration des images (12/21)
La Transformée en Ondelettes : Les décompositions Temps-Fréquence : La Transformée de Fourier décompose les signaux selon des fonctions élémentaires à support infini qui ne s’atténuent jamais : les exponentielles complexes Utilisation de fonctions “atomes temps-fréquence” : Transformée de Fourier à Fenêtre (Gabor 46) : fonctions fenêtre (réelles, symétriques et à support compact) modulées en fréquence Transformée en Ondelettes : à partir de fonctions  de moyenne nulle Description inadéquate pour une image

143 La restauration des images (13/21)
La Transformée en Ondelettes : Les décompositions Temps-Fréquence : Elles associent une fonction à deux dimensions à une fonction mono-dimensionnelle Il y a redondance de la décomposition Notion de résolution Temps-Fréquence Relation d’incertitude d’Heisenberg : Cette relation limite la finesse d’analyse Temps-Fréquence puisqu’elle limite la localisation conjointe Temps-Fréquence des “atomes” gu, ou u,s cas extrêmes : la représentation habituelle par des diracs spatiaux ou par des diracs fréquentiels (Fourier) La reconstruction (transformée inverse) est possible sous certaines conditions

144 La restauration des images (14/21)
La Transformée en Ondelettes : Les “pavages” Temps-Fréquence : t t t Transformée de Fourier Aucune localisation spatiale Localisation fréquentielle optimale Transformée de Fourier à Fenêtre Pavage régulier Transformée en Ondelettes Faible résolution fréquentielle en HF Bonne résolution fréquentielle en BF

145 La restauration des images (15/21)
Généralités sur les ondelettes : Reconstruction du signal Comme pour la TF, on peut reconstruire un signal à partir de sa TO Cette reconstruction est naturelle pour les images car les fonctions de base de la décomposition sont localisées Une TO concentre l’énergie du signal sur peu de coefficients d’ondelettes, et ce d’autant mieux que le signal est localement régulier (propriétés de décorrélation) Un comportement anormal local (discontinuité du signal ou de sa dérivée …) impacte localement sur la transformée, au contraire de la TF. Décomposition multirésolution Méthode systématique de construction de bases d’ondelettes orthonormées => suppression de la redondance, minimisation des calculs Applicable aux traitements numériques = application de filtres passe-haut et passe-bas en cascade avec décimation Paquets d’ondelette Liberté accrue de pavage temps-fréquence (toujours limité par Heisenberg)

146 La restauration des images (16/21)
Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition dyadique : filtres passe-bas h et passe-haut g Seule la Basse Fréquence est redécomposée Deuxième niveau Image de départ Premier niveau fx fe/2 fe/4 fy gx.hy(I) gx.gy(I) hx.gy(I) hx.hy(I) fe/8 hx.hy (hx.hy (I)) gx.hy (hx.hy (I)) hx.gy (hx.hy (I)) gx.gy (hx.hy (I))

147 La restauration des images (17/21)
Exemple de décomposition au premier niveau : « contours » verticaux  « contours » diagonaux  Image résumée « contours » horizontaux 

148 La restauration des images (18/21)
Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition dyadique : Niveau ultime atteint lorsque l’image résumée ne contient plus qu’un pixel Problème : aucune finesse fréquentielle pour les hautes fréquences, là où elle s’avère nécessaire pour la déconvolution !!!! fx fe/2 fe/4 fe/8 gx.hy (hx.hy (I)) hx.gy (hx.hy (I)) gx.gy (hx.hy (I)) fy gx.gy(I) hx.gy(I) gx.hy(I)

149 La restauration des images (19/21)
Utilisation des ondelettes en traitement d’images : Décomposition en paquets d’ondelettes bidimensionnelles : fx fy gx.hy(I) gx.gy(I) hx.gy(I) hx.hy (hx.hy (I)) gx.hy (hx.hy (I)) hx.gy (hx.hy (I)) gx.gy (hx.hy (I)) hx.hy (gx.hy (I)) gx.hy (gx.hy (I)) hx.gy (gx.hy (I)) gx.gy (gx.hy (I)) hx.hy (hx.gy (I)) gx.hy (hx.gy (I)) hx.gy (hx.gy (I)) gx.gy (hx.gy (I)) hx.hy (gx.gy (I)) gx.hy (gx.gy (I)) hx.gy (gx.gy (I)) gx.gy (gx.gy (I)) Premier niveau = dyadique Deuxième niveau fe/2 fe/4 fe/8 3fe/8 hx.hy(I) fy fe/2 fx fe/2 ... Niveau “ultime” : <=> Transformée de Fourier On redécompose aussi la Haute Fréquence

150 La restauration des images (20/21)
Utilisation des ondelettes pour le débruitage : Utilisation de la relation Espace-Fréquence pour le filtrage : fy 2 coefficients à même localisation spatiale fe/2 Image initiale vue dans la bande [6fe/16;7fe/16]x [6fe/16;7fe/16] => finesse fréquentielle limitée par la taille des paquets : fe/2 j+1 (hypothèse de FTM constante sur chaque paquet) => finesse spatiale limitée par l’agglomération de l’image résumée : 2j x 2j pixels • Débruitage par seuillage des « petits » coefficients d’ondelettes : - connaissant la FTM à la fréquence correspondante (la déconvolution a amplifié le bruit) - connaissant le bruit dû au signal image (modèle 2 = a.S+b) on retrouve le compromis Espace-Fréquence : choix du niveau de décomposition j (astuce : débruiter un peu à tous les niveaux) fe/4 fe/8 fe/16 fx fe/16 fe/8 fe/4 Image initiale avec pixels agglomérés 16 fois

151 La restauration des images (21/21)
Utilisation des ondelettes pour le débruitage : Image bruitée Image débruitée

152 Traitement des images: Résumé
Interpolation = passer du discret au continu Calcul de image(x,y) connaissant les échantillons {image(l,c)} : c'est une convolution Le filtre interpolateur a pour TF la fonction indicatrice de la zone fréquentielle transmise. Déconvolution = rendre l'image plus nette Compensation du flou instrumental ~ Inversion de la FTM C'est une convolution par h = TF-1 [ FTM_idéale / FTM_réelle] Débruitage = rendre les zones uniformes moins "granuleuses" Nécessaire en raison de l'augmentation du bruit haute fréquence après la déconvolution La discrimination bruit / signal_utile nécessite une décomposition dans une base à la fois: spatiale (bruit variable localement) fréquentielle (bruit amplifié différemment selon les fréquences par la déconvolution) Décomposition de l'image en paquets d'ondelettes

153 BIBLIOGRAPHIE Optique : Traitement du signal et des images:
Goodman : Introduction to Fourier Optics, Mc Graw-Hill Maréchal : Diffraction , structure des images, Masson Marion : Acquisition et visualisation des images, Eyrolles Traitement du signal et des images: Roddier : Transformée de Fourier et Distributions, Mc Graw-Hill Mallat : A Wavelet Tour of Image Processing, Academic Press Max : Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, Masson Pratt : Digital Image Processing, Wiley-Interscience Strang/Nguyen : Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press Echantillonnage 2D quelconque : Gersho/Grey : Vector quantization and signal compression, KAP

154 Annexe : rappels d’analyse de Fourier

155 La transformée de Fourier continue
Représentation spatiale des fonctions : base de diracs spatiaux : base orthonormée au sens du produit scalaire habituel : décomposition dans la base :

156 La transformée de Fourier continue
Représentation fréquentielle des fonctions : Base d’exponentielles complexes : base orthonormée au sens du produit scalaire habituel : décomposition dans la base : TF TFinverse

157 La transformée de Fourier continue
Avantages de la représentation fréquentielle : Les exponentielles complexes sont les « bonnes » fonctions pour tout système linéaire et spatialement invariant (SLSI), représenté par un opérateur de convolution. L’image par un SLSI d ’une exponentielle complexe lui est proportionnelle (math : exponentielle complexe = fonction propre de l’opérateur de convolution) Le coefficient de proportionnalité (math : la valeur propre associée) est , transformée de Fourier de h en n0

158 La transformée de Fourier continue
Avantages de la représentation fréquentielle : dans la base fréquentielle, les coordonnées de l’entrée sont : et les coordonnées de la sortie : le produit de convolution se transforme donc en produit simple : SLSI Transformation de Fourier Transformation de Fourier SLSI

159 La transformée de Fourier continue
Transformée de Fourier continue : décomposition d ’une fonction sur les exponentielles complexes transformée directe (espace fréquence) : transformée inverse (fréquence espace) : Propriétés de base : f réelle (notre cas) TF à symétrie hermitienne : f réelle et paire TF réelle et paire f réelle et impaire TF imaginaire pure et impaire

160 La transformée de Fourier continue
Translation spatiale : = multiplication du spectre par une « rampe de phase » Translation fréquentielle : = modulation du signal Changement d’échelle spatiale : = changement d’échelle inverse en fréquentiel

161 La transformée de Fourier continue
Dérivation par rapport à x : Dérivation par rapport à n : Convolution : La transformée de Fourier d’un produit de convolution est le produit simple des transformées de Fourier

162 La transformée de Fourier continue
Conservation du produit scalaire : Parseval Application : conservation de l ’énergie (f = g) est la densité spectrale d’énergie l’énergie totale est l’intégrale de la densité spectrale : impact d’une convolution :

163 La transformée de Fourier continue
Petit dictionnaire de transformées de fonctions usuelles :

164 La transformée de Fourier continue
dualité espace/fréquence support spatial étroit support fréquentiel étendu gaussienne spatiale s gaussienne fréquentielle dirac spatial constante dilatation spatiale contraction fréquentielle relation d’heisenberg : La localisation parfaite simultanément dans les domaines spatial et fréquentiel est impossible

165 La transformée de Fourier continue
dualité espace/fréquence porte de largeur a sinus cardinal infini (premier zéro : 1/a) support spatial fini de largeur a support fréquentiel infini support fréquentiel fini support spatial infini Transformation de Fourier Produit multiplicatif Produit de convolution

166 La transformée de Fourier continue
dualité espace/fréquence f régulière à décroissance rapide f continue jusqu’à sa dérivée n-ième décroit en 1/nn+1 interprétation physique : la régularité implique un faible contenu haute fréquence exemples : une porte (discontinuité de niveau 0) a pour TF un sinus cardinal décroissant en 1/n une gaussienne (toutes les dérivées sont bornées) a pour TF une autre gaussienne pour régulariser une fonction, on peut convoluer avec une fonction régulière, à TF rapidement décoissante

167 La transformée de Fourier continue
TF Support ~fini troncature TF Support infini

168 Passage continu/discret : échantillonnage
Echantillonnage (rappel) : Prélevement de l’information pour x={kTe}, k entier relatif mathématiquement : dans le domaine spatial : multiplication de f(x) par un peigne de diracs dans le domaine de Fourier : TF d’un peigne de diracs de période Te = peigne fréquentiel de période 1/Te TF du signal échantillonné : convolution de la TF du signal continu par le peigne fréquentiel signal périodique, de période la fréquence d’échantillonnage TF

169 Passage continu/discret : échantillonnage
Dualité discrétisation/périodisation Discrétisation spatiale Périodisation fréquentielle TF Périodisation spatiale Discrétisation fréquentielle

170 Passage continu/discret : échantillonnage
Application : développement en série de Fourier soit g(x) le motif périodique de f(x) de période T TF-1 TF Les coefficients du développement en série de Fourier d’une fonction périodique de période T et de motif périodique g(x) sont les valeurs obtenues par échantillonnage du spectre de g(x) avec une période 1/T,multipliées par 1/T

171 Périodisation du spectre
Passage continu/discret : échantillonnage Domaine spatial Echantillonnage Domaine continu Domaine discret TF continue TF continue TF discrète Périodisation du spectre Domaine de Fourier

172 La transformée de Fourier discrète
TFD=TF des signaux échantillonnés (suite de nombres) Définition Interprétation : TFD

173 La transformée de Fourier discrète
Propriétés de base TFD = fonction périodique de période 1 Transformation linéaire : {uk} réelle (notre cas) TFD à symétrie hermitienne {uk} réelle et paire : TFD réelle et paire {uk} réelle et impaire : TFD imaginaire pure et impaire

174 La transformée de Fourier discrète
Propriétés de base Translation spatiale (décalage d’indice) Translation fréquentielle : Multiplication par kp: = dérivation à l’ordre p en fréquentiel

175 La transformée de Fourier discrète
Propriétés de base conservation du produit scalaire : application : conservation de l’énergie

176 La transformée de Fourier discrète
Propriétés de base convolution de deux suites : définition du produit de convolution discret de deux suites, cohérente de la représentation mathématique d’une suite d’échantillons par des peignes de diracs Définition de la convolution discrète

177 La transformée de Fourier discrète
Propriétés de base TFD d’un produit de convolution discret = produit simple des TFD si les deux suites sont issues d’un « bon » échantillonnage de f et g échantillonnage et convolution commutent : le passage des échantillons à la fonction continue correspondante est possible (interpolation) échantillonnage du produit de convolution de deux fonctions continues = produit de convolution discret des deux fonctions échantillonnées TF du produit de convolution de deux fonctions continues = motif périodique de la TFD du produit de convolution discrète des deux fonctions échantillonnées TFD Echantillonnages à Shannon Filtrage discret = Filtrage continu

178 La transformée de Fourier discrète
Echantillonnage fréquence ne=1/Te=1 (sinon, fn=f(Tex)) Convolution discrète Convolution continue Égalité en cas de « bons » échantillonnages Echantillonnage fréquence ne=1/Te=1 (sinon, fn=f(Tex))

179 La transformée de Fourier discrète finie
Dans la pratique, nombre d’échantillons fini : calcul numérique sur un nombre fini de points taille finie des signaux et des images Définition de la TFD finie A une suite de n échantillons correspond une suite de coefficients fréquentiels

180 La transformée de Fourier discrète finie
Relation entre la TFD et la TFD finie TFD périodisation TFD finie de {uk} TFD finie =échantillonnage au pas 1/N de la TF des N échantillons périodisés

181 La transformée de Fourier discrète finie
En résumé : approximation de la TF par la TFD remplacement de f(x) par un nombre infini d’échantillons spectre périodique continu de période 1/Te , approximant le spectre de f(x) sur mais perte du spectre de f(x) au delà de repliement de spectres si l’échantillonnage ne se fait pas à Shannon approximation de la TFD par la TFDfinie limitation du nombre d’échantillons sur un horizon donné spectre périodique de période 1/Te échantillonné au pas 1/Nte, approximant le spectre donné par la TFD mais hypothèse implicite : échantillons supposés périodiques au delà de l’horizon introduction d’une discontinuité, donc de fréquences parasites si

182 La transformée de Fourier discrète finie
Interprétation pour les échantillons réels vm est la composante de fréquence m/N v0 (somme des échantillons) est le « continu » la composante la plus HF est vn/2 (n pair) ou v n/2-1(n impair) et correspond à 0.5 ou /2N si n-k >n/2, vn-k correspond à la fréquence n-k/n ou aussi -k/n (péiodicité de 1)

183 La transformée de Fourier discrète finie
Propriétés de base : on retrouve celles de la TFD TFD = fonction périodique de période 1 Transformation linéaire : {uk} réelle (notre cas) TFD à symétrie hermitienne {uk} réelle et paire : TFD réelle et paire {uk} réelle et impaire : TFD imaginaire pure et impaire

184 La transformée de Fourier discrète finie
Propriétés de base Translation spatiale (décalage d’indice avec permutation circulaire) : Translation fréquentielle (décalage d’indice avec permutation circulaire) :

185 La transformée de Fourier discrète finie
Propriétés de base conservation du produit scalaire : application : conservation de l’énergie

186 La transformée de Fourier discrète finie
Propriétés de base convolution circulaire de deux suites finies de taille N1 et N2 on reprend la formule précédente pour les suites infinies problème de bords : il faut étendre les signaux jusqu’à N1+N2-1 convolution circulaire (notée ) = convolution avec extension par périodisation La TF d’un produit de convolution circulaire est le produit des TF

187 La transformée de Fourier discrète finie
Utilisation de la TFDfinie seule TF utilisée dans le traitement numérique utilisation intéressante car il existe des algorithmes très rapides (FFT : Fast Fourier Transform) dont la complexité est en NLogN applications : calcul numérique de la TF d’une fonction continue synthèse de filtres numériques (interpolation, déconvolution) définition d ’un gabarit fréquentiel régularisation éventuelle TF inverse analyse du comportement des filtres convolution rapide par passage dans le domaine de Fourier

188 Conclusions sur la transformée de Fourier
Outil majeur produit de convolution devenant un produit simple algorithmes de calcul rapide (FFT) « Plusieurs » TF TF d ’une fonction continue : spectre continu pas de perte d ’information TFD = TF d’une fonction continue/échantillonnée avec une période Te : spectre continu périodique de période 1/Te perte totale d ’information au delà de 1/2Te et éventuel repliement de spectres TFDfinie =TF d’une fonction continue/échantillonnée en un nombre restreint de points : implicitement, périodisation des échantillons echantillonnage du spectre périodique continu précédent


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